第九章剛體的平面運動1§9–1剛體平面運動的概述§9–2平面運動分解為平動和轉動·剛體的平面運動方程§9–3平面圖形內各點的速度§9–4平面圖形內各點的加速度·加速度瞬心的概念習題課第九章剛體的平面運動2剛體的平面運動是工程上常見的一種運動，這是一種較為復雜的運動．對它的研究可以在研究剛體的平動和定軸轉動的基礎上，通過運動合成和分解的方法，將平面運動分解為上述兩種基本運動．然后應用合成運動的理論，推導出平面運動剛體上一點的速度和加速度的計算公式．運動學§9-1剛體平面運動的概述一．平面運動的定義

在運動過程中，剛體上任一點到某一固定平面的距離始終保持不變．也就是說，剛體上任一點都在與該固定平面平行的某一平面內運動．具有這種特點的運動稱為剛體的平面運動．3例如:曲柄連桿機構中連桿AB的運動，A點作圓周運動，B點作直線運動，因此，AB桿的運動既不是平動也不是定軸轉動，而是平面運動．運動學4運動學請看動畫5運動學

二．平面運動的簡化

剛體的平面運動可以簡化為平面圖形S在其自身平面內的運動．即在研究平面運動時，不需考慮剛體的形狀和尺寸，只需研究平面圖形的運動，確定平面圖形上各點的速度和加速度．6§9-2平面運動分解為平動和轉動·剛體的平面運動方程運動學

一．平面運動方程為了確定代表平面運動剛體的平面圖形的位置，我們只需確定平面圖形內任意一條線段的位置．

任意線段AB的位置可用A點的坐標和AB與x軸夾角表示．因此圖形S的位置決定于三個獨立的參變量．所以7

二．平面運動分解為平動和轉動當圖形Ｓ上Ａ點不動時，則剛體作定軸轉動當圖形Ｓ上

角不變時，則剛體作平動．故剛體平面運動可以看成是平動和轉動的合成運動．運動學平面運動方程對于每一瞬時t，都可以求出對應的，圖形S在該瞬時的位置也就確定了。8運動學例如車輪的運動．車輪的平面運動可以看成是車輪隨同車廂的平動和相對車廂的轉動的合成．車輪對于靜系的平面運動（絕對運動）車廂（動系Axy)相對靜系的平動（牽連運動）車輪相對車廂（動系Axy）的轉動（相對運動）

9運動學

我們稱動系上的原點Ａ為基點，于是車輪的平面運動隨基點A的平動繞基點A'的轉動剛體的平面運動可以分解為隨基點的平動和繞基點的轉動．10運動學

再例如:平面圖形Ｓ在ｔ時間內從位置I運動到位置II以A為基點:隨基點A平動到A'B''后,繞基點轉角到A'B'以B為基點:隨基點B平動到A''B'后,繞基點轉角到A'B'圖中看出：ABA'B''A''B'，于是有11運動學

所以，平面運動隨基點平動的運動規(guī)律與基點的選擇有關，而繞基點轉動的規(guī)律與基點選取無關．(即在同一瞬間，圖形繞任一基點轉動的,都是相同的）基點的選取是任意的。(通常選取運動情況已知的點作為基點)12運動學曲柄連桿機構AB桿作平面運動平面運動的分解（請看動畫）13§9-3平面圖形內各點的速度

運動學根據(jù)速度合成定理則Ｂ點速度為：

一．基點法（合成法）取B為動點,則B點的運動可視為牽連運動為平動和相對運動為圓周運動的合成已知：圖形S內一點A的速度，圖形角速度求：指向與轉向一致．取A為基點,將動系固結于A點,動系作平動。14由于A,B點是任意的，因此表示了圖形上任意兩點速度間的關系．由于恒有，因此將上式在AB上投影，有—速度投影定理即平面圖形上任意兩點的速度在該兩點連線上的投影彼此相等．這種求解速度的方法稱為速度投影法．運動學即平面圖形上任一點的速度等于基點的速度與該點隨圖形繞基點轉動的速度的矢量和．這種求解速度的方法稱為基點法，也稱為合成法．它是求解平面圖形內一點速度的基本方法．二．速度投影法15

三．瞬時速度中心法（速度瞬心法）

1.問題的提出若選取速度為零的點作為基點，求解速度問題的計算會大大簡化．于是，自然會提出，在某一瞬時圖形是否有一點速度等于零？如果存在的話，該點如何確定？運動學

２．速度瞬心的概念平面圖形S，某瞬時其上一點A速度,圖形角速度，沿方向取半直線AL,然后順的轉向轉90o至AL'的位置,在AL'上取長度則： 16即在某一瞬時必唯一存在一點速度等于零，該點稱為平面圖形在該瞬時的瞬時速度中心，簡稱速度瞬心．運動學３．幾種確定速度瞬心位置的方法

①已知圖形上一點的速度和圖形角速度，可以確定速度瞬心的位置．（P點）且Ｐ在順轉向繞A點轉90o的方向一側．

②已知一平面圖形在固定面上作無滑動的滾動,則圖形與固定面的接觸點P為速度瞬心．17

運動學

④

已知某瞬時圖形上A,B兩點速度大小,且(b)(a)

③已知某瞬間平面圖形上A,B兩點速度的方向，且過A,B兩點分別作速度的垂線,交點

P即為該瞬間的速度瞬心.18

運動學另：對種(a)的情況，若vA＝vB，則是瞬時平動．⑤已知某瞬時圖形上A,B兩點的速度方向相同，且不與AB連線垂直．此時,圖形的瞬心在無窮遠處,圖形的角速度=0,圖形上各點速度相等,這種情況稱為瞬時平動.(此時各點的加速度不相等)19

例如:曲柄連桿機構在圖示位置時，連桿BC作瞬時平動．此時連桿BC的圖形角速度，BC桿上各點的速度都相等.但各點的加速度并不相等．設勻，則而的方向沿AC的，瞬時平動與平動不同運動學20４.速度三瞬心三法利用三速度三瞬心三求解三平面三圖形三上點三的速三度的三方法,稱為三速度三瞬心三法.平面三圖形三在任三一瞬三時的三運動三可以三視為三繞速三度瞬三心的三瞬時三轉動三，速三度瞬三心又三稱為三平面三圖形三的瞬三時轉三動中三心。若P點為三速度三瞬心三，則三任意三一點A的速三度方向AP，指向三與一致三。運動三學５.注意三的問三題速度三瞬心三在平三面圖三形上三的位三置不三是固三定的三，而三是隨三時間三不斷變三化的三。在三任一三瞬時三是唯三一存三在的三。速度三瞬心三處的三速度三為零,加速三度不三一定三為零三。不三同于三定軸三轉動剛體三作瞬三時平三動時三，雖三然各三點的三速度三相同三，但三各點三的加三速度是三不一三定相三同的三。不三同于三剛體三作平三動。21解：三機構三中,OA作定三軸轉三動,AB作平三面運動,滑塊B作平三動?；c法（合成法）研究AB，以A為基點，且方向如圖示。（）運動三學[例1]已知三：曲三柄連三桿機三構OA=AB=l，取柄OA以勻轉動三。三求：三當=4三5o時,滑塊B的速三度及AB桿的三角速三度．根據(jù)在Ｂ點做速度平行四邊形，如圖示。22（）試比三較上三述三三種方三法的三特點三。運動三學根據(jù)速度投影定理不能求出

速度投影法研究AB,,方向OA,方向沿BO直線

速度瞬心法研究AB，已知的方向，因此可確定出P點為速度瞬心23§9三-4平面三圖形三內各三點的三加速三度加速三度瞬三心的三概念取A為基三點，三將平三動坐三標系三固結三于A點取B動點三，則B點的三運動三分解三為相三對運三動為三圓周三運動三和牽三連運三動為三平動三．于是,由牽連平動時加速度合成定理可得如下公式．運動三學一.基點三法(合成三法)已知：圖形S內一點A的加速度和圖形的,（某一瞬時）。求：該瞬時圖形上任一點B的加速度。24其中：，方向AB，指向與一致；，方向沿AB，指向A點。運動三學即平面三圖形三內任三一點三的加三速度三等于三基點三的加三速度三與該三點隨三圖形三繞基三點轉三動的三切向三加速三度和三法向三加速三度的三矢量三和。這三種求三解加三速度三的方三法稱三為基點三法，也三稱為合成三法。是三求解三平面三圖形三內一三點加三速度三的基三本方三法。上述公式是一平面矢量方程。需知其中六個要素，方能求出其余兩個。由于方位總是已知，所以在使用該公式中，只要再知道四個要素，即可解出問題的待求量。25

二．加速度瞬心．由于的大小和方向隨B點的不同而不同,所以總可以在圖形內找到一點Q，在此瞬時，相對加速度大小恰與基點A的加速度等值反向，其絕對加速度Q點就稱為圖形在該瞬時的加速度瞬心．運動三學[注]

一般情況下,加速度瞬心與速度瞬心不是同一個點．

一般情況下，對于加速度沒有類似于速度投影定理的關系式.即一般情況下,圖形上任意兩點A,B的加速度若某瞬時圖形=0,即瞬時平動,則有即若平面圖形在運動過程中某瞬時的角速度等于零，則該瞬時圖形上任意兩點的加速度在這兩點連線上的投影相等．26由于三加速三度瞬三心的三位置三不象三速度三瞬心三那樣三容易三確定三，且三一般情況三下又三不存三在類三似于三速度三投影三定理三的關三系式三，故三常采三用基點法三求圖三形上三各點三的加三速度三或圖三形角三加速三度．分析：大?。俊蹋遥襴

2

方向？√√√故應先求出．（）運動三學

[例1]

半徑為R的車輪沿直線作純滾動,已知輪心O點的速度及加速度,求車輪與軌道接觸點P的加速度．解：三輪O作平三面運三動，P為速三度瞬三心，27由于三此式三在任三何瞬三時都三成立三，且O點作三直線三運動三，故三而（）由此三看出三，速三度瞬三心P的加三速度三并不三等于三零，三即它三不是三加速三度瞬三心．三當車三輪沿三固定三的直三線軌三道作三純滾三動時三，其三速度三瞬心P的加三速度三指向三輪心三．運動三學以O為基點，有其中：做出加速度矢量圖，由圖中看出：（與等值反向）

即28解：(a)AB作平三動，運動三學[例2]已知O1A=O2B,圖示三瞬時O1A/O2B試問(a),三(b)兩種三情況三下1和2，1和2是否三相等三？(a)(b)29(b)AB作平面運動,圖示瞬時作瞬時平動,此時運動三學30運動三學[例3]曲柄三滾輪三機構三滾子三半徑R=1三5c三m,n=6三0三rp三m求：三當=6三0o時(OAAB),滾輪三的Ｂ，Ｂ．翻頁三請看三動畫31請看三動畫32解：OA定軸三轉動,AB桿和三輪B作平三面運三動研究AB：（）P１為其三速度三瞬心運動三學分析:要想三求出三滾輪三的Ｂ,Ｂ先要三求出vB,aBP2P1vBP2為輪三速度三瞬心33運動三學取A為基三點，指向O點大小三？√？√方向√三√三√三√作加三速度三矢量三圖，三將上三式向BA線上三投影）(）(研究輪B：P2為其速度瞬心34第九三章三剛體三平面三運動三習題三課一．三概念三與內三容1.剛體三平面三運動三的定三義剛體三運動三時，三其上三任一三點到三某固三定平三面的三距離三保持三不變三．2.剛體三平面三運動三的簡三化可以三用剛三體上三一個三與固三定平三面平三行的三平面三圖形S在自三身平面內三的運三動代三替剛三體的三整體三運動三．3.剛體三平面三運動三的分三解分解三為4.基點可以三選擇三平面三圖形三內任三意一三點,通常三是運三動狀三態(tài)已三知的三點．隨基點的平動（平動規(guī)律與基點的選擇有關）繞基點的轉動（轉動規(guī)律與基點的選擇無關）運動三學35運動三學5.瞬心（速度瞬心）

任一瞬時,平面圖形或擴大部分都唯一存在一個速度為零的點

瞬心位置隨時間改變．

每一瞬時平面圖形的運動可視為繞該瞬時瞬心的轉動．這種瞬時繞瞬心的轉動與定軸轉動不同．

=0,瞬心位于無窮遠處,各點速度相同,剛體作瞬時平動,瞬時平動與平動不同．6.剛體定軸轉動和平面平動是剛體平面運動的特例．7.求平面圖形上任一點速度的方法

基點法：速度投影法：速度瞬心法： 其中，基點法是最基本的公式，瞬心法是基點法的特例．36

8.求平面圖形上一點加速度的方法 基點法：，A為基點,是最常用的方法 此外，當=0,瞬時平動時也可采用方法 它是基點法在=0時的特例。運動三學9.平面三運動三方法三與合三成運三動方三法的三應用三條件平面三運動三方法三用于三研究一個三平面三運動三剛體上任三意兩三點的三速度、三加速三度之三間的三關系三及任三意一三點的三速度三、加三速度三與圖三形角速三度、三角加三速度三之間三的關三系．合成三運動三方法三常用三來確三定兩個三相接三觸的三物體在接三觸點三處有相對三滑動三時的三運動三關系三的傳三遞．37二．三解題三步驟三和要三點1.根據(jù)三題意三和剛三體各三種運三動的三定義三，判三斷機三構中三各剛三體的三運動形式三．注三意每三一次三的研三究對三象只三是一三個剛三體．2.對作三平面三運動三的剛三體，三根據(jù)三已知三條件三和待三求量三，選三擇求三解速度(圖形三角速三度)問題三的方三法,用基三點法三求加三速度(圖形三角加三速度)3.作速三度分三析和三加速三度分三析，三求出三待求三量．(基點三法:恰當三選取三基點三，作三速度三平行三四邊三形，三加速三度矢三量圖三；速度三投影三法:不能三求出三圖形;速度三瞬心三法：三確定三瞬心三的位三置是三關鍵三．）運動三學38[例1]曲柄肘桿壓床機構已知：OA=0.15m,n=300rpm,AB=0.76m,

BC=BD=0.53m.圖示位置時,AB水平求該位置時的、及運動三學翻頁三請看三動畫39請看三動畫40[例1]曲柄肘桿壓床機構已知:OA=0.15m,n=300rpm,AB=0.76m,

BC=BD=0.53m.圖示位置時,AB水平.求該位置時的，及解：OA,BC作定軸轉動,

AB,BD均作平面運動根據(jù)題意：研究AB,P１為其速度瞬心（）運動三學研究BD,P2為其三速度三瞬心,BD三P2為等三邊三三角形DP2=BP2=BD（）41[例2]行星三齒輪三機構運動三學請看三動畫42解：OA定軸三轉動;輪A作平三面運三動,瞬心P點）(運動三學[例2]行星三齒輪三機構已知:R,r,o輪A作純三滾動三，求43[例3]平面三機構三中,楔塊M:=3三0o三,v=1三2c三m/三s三;盤:r=三4c三m三,與三楔塊間三無滑三動．三求圓三盤的及軸O的速三度和B點速三度．運動三學請看三動畫44解：軸O,桿OC,楔塊M均作三平動,圓盤三作平三面運三動，P為速三度瞬三心運動三學）([例3]平面三機構三中,楔塊M:=3三0o三,v=1三2c三m/三s三;盤:r=三4c三m三,與三楔塊三間無三滑動三．求三圓盤三的及軸O的速三度和B點速三度．45比較[例2]和[例3]可以三看出,不能三認為三圓輪三只滾三不滑三時,接觸點三就是三瞬心,只有三在接三觸面三是固三定面三時,圓輪三上接三觸點才是三速度三瞬心每個三作平三面運三動的三剛體三在每三一瞬三時都三有自三己的三速度三瞬心三和角速三度,并且三瞬心三在剛三體或三其擴三大部三分上,不能三認為三瞬心三在其他三剛體三上.例如,三[例1]中AB的瞬三心在P1點,BD的瞬三心在P2點,而且P1也不三是CB桿上三的點運動三學46運動三學[例4]導槽三滑塊三機構請看三動畫47運動三學[例4]導槽三滑塊三機構已知：三曲柄OA=r,勻角三速度轉動,連桿AB的中三點C處連三接一滑塊C可沿三導槽O1D滑動,AB=l,圖示三瞬時O,A,O1三點在同三一水三平線三上,OAAB,三AO1C==3三0。求：該三瞬時O1D的角三速度三．解：OA,O1D均作三定軸三轉動,AB作平三面運三動研究AB:,圖示位置,作瞬時平動,所以用合三成運三動方三法求O1D桿上三與滑三塊C接觸三的點三的速三度動點:AB桿上C(或滑三塊C),動系:O1D桿,靜系:機架48運動三學絕對運動：曲線運動，方向相對運動：直線運動，，方向//O1D牽連運動：定軸轉動，，方向O1D根據(jù)，作速度平行四邊形）(這是三一個三需要三聯(lián)合三應用三點的三合成三運動三和剛三體平三面運三動理三論求三解的三綜合三性問三題．注三意這三類題三的解三法，三再看三下例三．49運動三學[例5]平面三機構請看三動畫50[例5]平面三機構圖示三瞬時,O點在AB中點,=6三0o三,BCAB,已知O,C在同三一水三平線三上,AB=2三0c三m,vA=1三6c三m/三s三,試求該瞬三時AB桿,BC桿的三角速三度及滑三塊C的速三度．解:輪A,桿AB,桿BC均作三平面三運動,套筒O作定三軸轉三動,滑塊C平動.取套三筒上O點為動點,動系固結三于AB桿;靜系固結三于機三架,運動三學,由于沿AB,所以方向沿AB并