北京市徐悲鴻中學2023年高三4月第二次調(diào)研測試數(shù)學試題理試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知雙曲線的左、右焦點分別為，圓與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點為M，若．則該雙曲線的離心率為A．2 B．3 C． D．2．胡夫金字塔是底面為正方形的錐體，四個側面都是相同的等腰三角形．研究發(fā)現(xiàn)，該金字塔底面周長除以倍的塔高，恰好為祖沖之發(fā)現(xiàn)的密率．設胡夫金字塔的高為，假如對胡夫金字塔進行亮化，沿其側棱和底邊布設單條燈帶，則需要燈帶的總長度約為A． B．C． D．3．某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如圖所示，圓柱表面上的點在正視圖上的對應點為，圓柱表面上的點在左視圖上的對應點為，則在此圓柱側面上，從到的路徑中，最短路徑的長度為（）A． B． C． D．24．設函數(shù)，若在上有且僅有5個零點，則的取值范圍為（）A． B． C． D．5．已知表示兩條不同的直線，表示兩個不同的平面，且則“”是“”的()條件.A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要6．已知分別為雙曲線的左、右焦點，過的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點，若，則雙曲線的離心率為（）A． B．4 C．2 D．7．已知向量，滿足，在上投影為，則的最小值為()A． B． C． D．8．在我國傳統(tǒng)文化“五行”中，有“金、木、水、火、土”五個物質(zhì)類別，在五者之間，有一種“相生”的關系，具體是：金生水、水生木、木生火、火生土、土生金.從五行中任取兩個，這二者具有相生關系的概率是（）A．0.2 B．0.5 C．0.4 D．0.89．中，，為的中點，，，則（）A． B． C． D．210．《易經(jīng)》包含著很多哲理，在信息學、天文學中都有廣泛的應用，《易經(jīng)》的博大精深，對今天的幾何學和其它學科仍有深刻的影響．下圖就是易經(jīng)中記載的幾何圖形——八卦田，圖中正八邊形代表八卦，中間的圓代表陰陽太極圖，八塊面積相等的曲邊梯形代表八卦田．已知正八邊形的邊長為，陰陽太極圖的半徑為，則每塊八卦田的面積約為（）A． B．C． D．11．若集合，，則（）A． B． C． D．12．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{2，4}，B＝{3，4}，則＝（）A．{3，5，6} B．{1，5，6} C．{2，3，4} D．{1，2，3，5，6}二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．的展開式中，項的系數(shù)是__________．14．已知函數(shù)函數(shù)，其中，若函數(shù)恰有4個零點，則的取值范圍是__________．15．展開式中項系數(shù)為160，則的值為______.16．如圖，某地一天從時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)，則這段曲線的函數(shù)解析式為______________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓外有一點，過點作直線．(1)當直線與圓相切時，求直線的方程；(2)當直線的傾斜角為時，求直線被圓所截得的弦長．18．（12分）設函數(shù).（1）當時，求不等式的解集；（2）若不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.19．（12分）近年空氣質(zhì)量逐步惡化，霧霾天氣現(xiàn)象出現(xiàn)增多，大氣污染危害加重.大氣污染可引起心悸.呼吸困難等心肺疾病.為了解某市心肺疾病是否與性別有關，在某醫(yī)院隨機的對入院人進行了問卷調(diào)查得到了如下的列聯(lián)表：患心肺疾病不患心肺疾病合計男女合計已知在全部人中隨機抽取人，抽到患心肺疾病的人的概率為.（1）請將上面的列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有的把握認為患心肺疾病與性別有關？請說明你的理由；（2）已知在不患心肺疾病的位男性中，有位從事的是戶外作業(yè)的工作.為了指導市民盡可能地減少因霧霾天氣對身體的傷害，現(xiàn)從不患心肺疾病的位男性中，選出人進行問卷調(diào)查，求所選的人中至少有一位從事的是戶外作業(yè)的概率.下面的臨界值表供參考：（參考公式，其中）20．（12分）如圖，已知三棱柱中，與是全等的等邊三角形.（1）求證：；（2）若，求二面角的余弦值．21．（12分）在中，角的對邊分別為，若.（1）求角的大??；（2）若，為外一點，，求四邊形面積的最大值.22．（10分）如圖,設點為橢圓的右焦點，圓過且斜率為的直線交圓于兩點，交橢圓于點兩點，已知當時，（1）求橢圓的方程.（2）當時，求的面積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

本題首先可以通過題意畫出圖像并過點作垂線交于點，然后通過圓與雙曲線的相關性質(zhì)判斷出三角形的形狀并求出高的長度，的長度即點縱坐標，然后將點縱坐標帶入圓的方程即可得出點坐標，最后將點坐標帶入雙曲線方程即可得出結果?！驹斀狻扛鶕?jù)題意可畫出以上圖像，過點作垂線并交于點，因為，在雙曲線上，所以根據(jù)雙曲線性質(zhì)可知，，即，，因為圓的半徑為，是圓的半徑，所以，因為，，，，所以，三角形是直角三角形，因為，所以，，即點縱坐標為，將點縱坐標帶入圓的方程中可得，解得，，將點坐標帶入雙曲線中可得，化簡得，，，，故選D?！军c睛】本題考查了圓錐曲線的相關性質(zhì)，主要考察了圓與雙曲線的相關性質(zhì)，考查了圓與雙曲線的綜合應用，考查了數(shù)形結合思想，體現(xiàn)了綜合性，提高了學生的邏輯思維能力，是難題。2、D【解析】

設胡夫金字塔的底面邊長為，由題可得，所以，該金字塔的側棱長為，所以需要燈帶的總長度約為，故選D．3、B【解析】

首先根據(jù)題中所給的三視圖，得到點M和點N在圓柱上所處的位置，將圓柱的側面展開圖平鋪，點M、N在其四分之一的矩形的對角線的端點處，根據(jù)平面上兩點間直線段最短，利用勾股定理，求得結果.【詳解】根據(jù)圓柱的三視圖以及其本身的特征，將圓柱的側面展開圖平鋪,可以確定點M和點N分別在以圓柱的高為長方形的寬，圓柱底面圓周長的四分之一為長的長方形的對角線的端點處，所以所求的最短路徑的長度為，故選B.點睛：該題考查的是有關幾何體的表面上兩點之間的最短距離的求解問題，在解題的過程中，需要明確兩個點在幾何體上所處的位置，再利用平面上兩點間直線段最短，所以處理方法就是將面切開平鋪，利用平面圖形的相關特征求得結果.4、A【解析】

由求出范圍，結合正弦函數(shù)的圖象零點特征，建立不等量關系，即可求解.【詳解】當時，，∵在上有且僅有5個零點，∴，∴.故選:A.【點睛】本題考查正弦型函數(shù)的性質(zhì)，整體代換是解題的關鍵，屬于基礎題.5、B【解析】

根據(jù)充分必要條件的概念進行判斷.【詳解】對于充分性：若，則可以平行，相交，異面，故充分性不成立；若，則可得，必要性成立.故選：B【點睛】本題主要考查空間中線線，線面，面面的位置關系，以及充要條件的判斷，考查學生綜合運用知識的能力.解決充要條件判斷問題，關鍵是要弄清楚誰是條件，誰是結論.6、A【解析】

由已知得，，由已知比值得，再利用雙曲線的定義可用表示出，，用勾股定理得出的等式，從而得離心率．【詳解】.又，可令，則.設，得，即，解得，∴,,由得，，，該雙曲線的離心率.故選：A.【點睛】本題考查求雙曲線的離心率，解題關鍵是由向量數(shù)量積為0得出垂直關系，利用雙曲線的定義把雙曲線上的點到焦點的距離都用表示出來，從而再由勾股定理建立的關系．7、B【解析】

根據(jù)在上投影為，以及，可得；再對所求模長進行平方運算，可將問題轉化為模長和夾角運算，代入即可求得.【詳解】在上投影為，即又本題正確選項：【點睛】本題考查向量模長的運算，對于含加減法運算的向量模長的求解，通常先求解模長的平方，再開平方求得結果；解題關鍵是需要通過夾角取值范圍的分析，得到的最小值.8、B【解析】

利用列舉法，結合古典概型概率計算公式，計算出所求概率.【詳解】從五行中任取兩個，所有可能的方法為：金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土，共種，其中由相生關系的有金水、木水、木火、火土、金土，共種，所以所求的概率為.故選：B【點睛】本小題主要考查古典概型的計算，屬于基礎題.9、D【解析】

在中，由正弦定理得；進而得，在中，由余弦定理可得.【詳解】在中，由正弦定理得，得，又，所以為銳角，所以，，在中，由余弦定理可得，.故選：D【點睛】本題主要考查了正余弦定理的應用，考查了學生的運算求解能力.10、B【解析】

由圖利用三角形的面積公式可得正八邊形中每個三角形的面積，再計算出圓面積的，兩面積作差即可求解.【詳解】由圖，正八邊形分割成個等腰三角形，頂角為，設三角形的腰為，由正弦定理可得，解得，所以三角形的面積為：，所以每塊八卦田的面積約為：.故選：B【點睛】本題考查了正弦定理解三角形、三角形的面積公式，需熟記定理與面積公式，屬于基礎題.11、A【解析】

用轉化的思想求出中不等式的解集，再利用并集的定義求解即可．【詳解】解：由集合，解得，則故選：．【點睛】本題考查了并集及其運算，分式不等式的解法，熟練掌握并集的定義是解本題的關鍵．屬于基礎題．12、B【解析】

按補集、交集定義，即可求解.【詳解】＝{1，3，5，6}，＝{1，2，5，6}，所以＝{1，5，6}.故選：B.【點睛】本題考查集合間的運算，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、240【解析】

利用二項式展開式的通項公式，令x的指數(shù)等于3，計算展開式中含有項的系數(shù)即可.【詳解】由題意得：，只需，可得，代回原式可得，故答案：240.【點睛】本題主要考查二項式展開式的通項公式及簡單應用，相對不難.14、【解析】∵，∴，∵函數(shù)y=f(x)?g(x)恰好有四個零點，∴方程f(x)?g(x)=0有四個解，即f(x)+f(2?x)?b=0有四個解，即函數(shù)y=f(x)+f(2?x)與y=b的圖象有四個交點，，作函數(shù)y=f(x)+f(2?x)與y=b的圖象如下，，結合圖象可知，<b<2，故答案為.點睛：(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當出現(xiàn)f(f(a))的形式時，應從內(nèi)到外依次求值．(2)當給出函數(shù)值求自變量的值時，先假設所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應自變量的值，切記要代入檢驗，看所求的自變量的值是否滿足相應段自變量的取值范圍．15、-2【解析】

表示該二項式的展開式的第r+1項，令其指數(shù)為3，再代回原表達式構建方程求得答案.【詳解】該二項式的展開式的第r+1項為令，所以，則故答案為：【點睛】本題考查由二項式指定項的系數(shù)求參數(shù)，屬于簡單題.16、，【解析】

根據(jù)圖象得出該函數(shù)的最大值和最小值，可得，，結合圖象求得該函數(shù)的最小正周期，可得出，再將點代入函數(shù)解析式，求出的值，即可求得該函數(shù)的解析式.【詳解】由圖象可知，，，，，從題圖中可以看出，從時是函數(shù)的半個周期，則，.又，，得，取，所以，．故答案為：，．【點睛】本題考查由圖象求函數(shù)解析式，考查計算能力，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）或（2）．【解析】

(1)根據(jù)題意分斜率不存在和斜率存在兩種情況即可求得結果;(2)先求出直線方程，然后求得圓心與直線的距離,由弦長公式即可得出答案.【詳解】解:(1)由題意可得,直線與圓相切當斜率不存在時，直線的方程為,滿足題意當斜率存在時，設直線的方程為,即∴,解得∴直線的方程為∴直線的方程為或(2)當直線的傾斜角為時，直線的方程為圓心到直線的距離為∴弦長為【點睛】本題考查了直線的方程、直線與圓的位置關系、點到直線的距離公式及弦長公式，培養(yǎng)了學生分析問題與解決問題的能力.18、（1）（2）【解析】

(1)利用分段討論法去掉絕對值,結合圖象,從而求得不等式的解集;(2)求出函數(shù)的最小值,把問題化為,從而求得的取值范圍.【詳解】（1）當時，則所以不等式的解集為.（2）等價于，而，故等價于，所以或，即或，所以實數(shù)a的取值范圍為.【點睛】本題考查含有絕對值的不等式解法、不等式恒成立問題,考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想、分類討論思想,考查邏輯推理能力、運算求解能力，難度一般.19、（1）列聯(lián)表見解析，有的把握認為患心肺疾病與性別有關，理由見解析；（2）.【解析】

（1）結合題意完善列聯(lián)表，計算出的觀測值，對照臨界值表可得出結論；（2）記不患心肺疾病的五位男性中從事戶外作業(yè)的兩人分別為、，其余三人分別為、、，利用列舉法列舉出所有的基本事件，并確定事件“所選的人中至少有一位從事的是戶外作業(yè)”所包含的基本事件數(shù)，利用古典概型的概率公式可取得所求事件的概率.【詳解】（1）由于在全部人中隨機抽取人，抽到患心肺疾病的人的概率為，所以人中患心肺疾病的人數(shù)為人，故可將列聯(lián)表補充如下：患心肺疾病不患心肺疾病合計男女合計.故有的把握認為患心肺疾病與性別有關；（2）記不患心肺疾病的五位男性中從事戶外作業(yè)的兩人分別為、，其余三人分別為、、.從中選取三人共有以下種情形：、、、、、、、、、.其中至少有一位從事的是戶外作業(yè)的有種情形，分別為：、、、、、、、、，所以所選的人中至少有一位從事的是戶外作業(yè)的概率為.【點睛】本題考查利用獨立性檢驗的基本思想解決實際問題，同時也考查了利用列舉法求解古典概型的概率問題，考查計算能力，屬于中等題.20、（1）證明見解析；（2）．【解析】

（1）取BC的中點O，則，由是等邊三角形，得，從而得到平面，由此能證明（2）以，，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，利用向量法求得二面角的余弦值，得到結果.【詳解】（1）取BC的中點O，連接，，由于與是等邊三角形，所以有，，且，所以平面，平面，所以．（2）設，是全等的等邊三角形，所以，又，由余弦定理可得，在中，有，所以