湖南省郴州市市桂東縣橋頭中學(xué)高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.雙曲線x2﹣4y2=1的離心率為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】將雙曲線化為標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合雙曲線離心率的定義進(jìn)行求解即可．【解答】解：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2﹣=1，則焦點(diǎn)在x軸上，且a=1，b2=，則c2=a2+b2=1+=，即c==，則離心率e==，故選：C2.等差數(shù)列{an}中，已知a1﹣a4﹣a8﹣a12+a15=2，則此數(shù)列的前15項和S15等于（）A．﹣30 B．15 C．﹣60 D．﹣15參考答案：A【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項和．【分析】根據(jù)題意和等差數(shù)列的性質(zhì)化簡已知的等式，由等差數(shù)列的前n項和公式、等差數(shù)列的性質(zhì)求出S15的值．【解答】解：∵a1﹣a4﹣a8﹣a12+a15=2，∴a1﹣（a4+a8+a12）+a15=2，則2a8﹣3a8=2，解得a8=﹣2，∴S15==15a8=﹣30，故選：A．3.甲、乙兩人參加歌唱比賽，晉級概率分別為和，且兩人是否晉級相互獨(dú)立，則兩人中恰有一人晉級的概率為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D4.直線的傾斜角為，則直線的斜率為（

）A、 B、 C、 D、參考答案：A略5..8名學(xué)生和2位教師站成一排合影，2位教師不相鄰的排法種數(shù)為（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】本題選用“插空法”，先讓8名學(xué)生排列，再2位教師教師再8名學(xué)生之間的9個位置排列.【詳解】先將8名學(xué)生排成一排的排法有種，再把2位教師插入8名學(xué)生之間的9個位置（包含頭尾的位置），共有種排法，故2位教師不相鄰的排法種數(shù)為種.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合和計數(shù)原理，此題也可用間接法.特殊排列組合常用的方法有：1、插空法，2、捆綁法.6.由數(shù)字1，2，3，4，5，6可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)的個數(shù)是（）A．11 B．12 C．30 D．36參考答案：C【考點(diǎn)】計數(shù)原理的應(yīng)用．【專題】排列組合．【分析】用數(shù)字1，2，3，4，5，6可組成沒有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)，用兩步完成，第一步十位數(shù)字有6種選擇，然后第二步個位數(shù)字在剩下的5個數(shù)字中選擇有5種方法，運(yùn)用乘法原理，即可得解，【解答】解：第一步十位數(shù)字有6種選擇，然后第二步個位數(shù)字在剩下的5個數(shù)字中選擇有5種方法，運(yùn)用乘法原理得6×5=30．故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查了分步計數(shù)原理，屬于基礎(chǔ)題．7.已知，函數(shù)的最小值是

（

）A．4

B．5

C．6

D．8

參考答案：A略8.已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若a1+a3+a5=3，則S5=（）A． B．5 C．7 D．9參考答案：B【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項和．【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)模型法；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】由等差數(shù)列{an}的性質(zhì)，a1+a3+a5=3=3a3，解得a3．再利用等差數(shù)列的前n項和公式即可得出．【解答】解：由等差數(shù)列{an}的性質(zhì)，a1+a3+a5=3=3a3，解得a3=1．則S5==5a3=5．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了等差數(shù)列的通項公式及其性質(zhì)、前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．６、函數(shù)的定義域?yàn)椋╝,b），導(dǎo)函數(shù)在（a,b）內(nèi)的圖像如圖所示，則函數(shù)在（a,b）內(nèi)有極小值點(diǎn)的個數(shù)為（）A

4

B.

3

C.

2

D.1

參考答案：D略10.在中，，，，則B的值為()A．B．C．D．參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.．橢圓上一點(diǎn)與橢圓的兩個焦點(diǎn)、的連線互相垂直，則△的面積為______________.參考答案：24略12.如果的展開式中系數(shù)絕對值最大的項是第4項，則的系數(shù)為

。參考答案：－613.雙曲線的漸近線方程為

▲

.

參考答案：略14.若的終邊所在直線經(jīng)過點(diǎn)，則__▲

_．參考答案：【知識點(diǎn)】三角函數(shù)定義【答案解析】解析：解：由已知得直線經(jīng)過二、四象限，若的終邊在第二象限，因?yàn)辄c(diǎn)P到原點(diǎn)的距離為1，則，若的終邊在第四象限，則的終邊經(jīng)過點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，所以，綜上可知sinα=.【思路點(diǎn)撥】一般已知角的終邊位置求角的三角函數(shù)值通常利用三角函數(shù)的定義求值，本題應(yīng)注意所求角終邊所在的象限有兩個.15.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1=1，{Sn+nan}為常數(shù)列，則an=．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式．【專題】計算題；函數(shù)思想；數(shù)學(xué)模型法；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】由已知求出S1+a1=2，可得Sn+nan=2，當(dāng)n≥2時，（n+1）an=（n﹣1）an﹣1，然后利用累積法求得an．【解答】解：∵數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1=1，∴S1+1×a1=1+1=2，∵{Sn+nan}為常數(shù)列，∴由題意知，Sn+nan=2，當(dāng)n≥2時，Sn﹣1+（n﹣1）an﹣1=2兩式作差得（n+1）an=（n﹣1）an﹣1，從而=，∴（n≥2），當(dāng)n=1時上式成立，∴．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列的通項公式的求法，訓(xùn)練了累乘法求數(shù)列的通項公式，是中檔題．16.對于總有成立，則的范圍為．參考答案：略17.一束光線從點(diǎn)出發(fā)經(jīng)軸反射到圓C：上的最短路程是

.參考答案：4略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分13分）在△ABC中，，cosC是方程的一個根，求△ABC周長的最小值。參考答案：

又是方程的一個根

------5分由余弦定理可得：則：

----------9分當(dāng)時，c最小且

此時△ABC周長的最小值為

-----------13分19.已知等軸雙曲線的頂點(diǎn)在x軸上，兩頂點(diǎn)間的距離是4，右焦點(diǎn)為F．（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和漸近線方程；（2）橢圓E的中心在原點(diǎn)O，右頂點(diǎn)與F點(diǎn)重合，上述雙曲線中斜率大于0的漸近線交橢圓于A，B兩點(diǎn)（A在第一象限），若AB⊥AF，試求橢圓E的離心率．參考答案：【考點(diǎn)】KC：雙曲線的簡單性質(zhì)；K4：橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】（1）設(shè)出雙曲線方程，由題意可得a=2，即可得到雙曲線方程和漸近線方程；（2）設(shè)出橢圓方程，由題意可得a═2，再由兩直線垂直的條件：斜率之積為﹣1，解方程可得b，由橢圓的a，b，c的關(guān)系可得c，再由離心率公式即可得到．【解答】解：（1）設(shè)雙曲線的方程為=1（a＞0），則2a=4，解得a=2，∴雙曲線的方程為=1，漸近線方程為y=±x．（2）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1（a＞b＞0），由（1）知F（2，0），于是a=2．設(shè)A（x0，y0），則x0=y0．①∵AB⊥AF，且AB的斜率為1，∴AF的斜率為﹣1，故=﹣1．②由①②解得A（，）．代入橢圓方程有=1，解得b2=，∴c2=a2﹣b2=8﹣=，得c=，∴橢圓E的離心率為e==．20.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且.（1）求C；（2）若，求△ABC的面積.參考答案：（1）（2）【分析】（1）由正弦定理把已知角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，再由余弦定理求得，從而求得；（2）由(1)及代入可解得，再由求得面積．【詳解】解：（1）由及正弦定理得：，∴，由余弦定理得：，∵，∴（2）由，及，得，∴∴∴△ABC的面積為.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理和余弦定理，考查三角形面積公式，解題關(guān)鍵是由正弦定理把已知角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系．21.（本題滿分14分）如圖，四棱錐的底面是正方形，側(cè)棱⊥底面，，是的中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：//平面；（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值；（Ⅲ）在棱上是否存在點(diǎn)，使⊥平面？證明你的結(jié)論．參考答案：解：法一：（Ⅰ）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，設(shè)是平面BDE的一個法向量，則由

，得取，得． ∵，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知是平面BDE的一個法向量，又是平面的一個法向量．

設(shè)二面角的平面角為，由圖可知∴．故二面角的余弦值為． （Ⅲ）∵∴假設(shè)棱上存在點(diǎn)，使⊥平面，設(shè)，則，由得 ∴ 即在棱上存在點(diǎn)，，使得⊥平面．法二：（Ⅰ）連接，交于，連接．在中，為中位線，,//平面．（Ⅱ）⊥底面,平面⊥底面，為交線,⊥平面⊥平面，為交線,=，是的中點(diǎn)⊥⊥平面，⊥即為二面角的平面角．設(shè)，在中,故二面角的余弦值為（Ⅲ）由（Ⅱ）可知⊥平面，所以⊥，所以在平面內(nèi)過作⊥，連EF，則⊥平面．在中,，，，．所以在棱上存在點(diǎn)，，使得⊥平面22.在△ABC中，已知AC=3，三個內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列．（1）若cosC=，求AB；

（2）求△ABC的面積的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【分析】（1）由三個角成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)及內(nèi)角和定理求出B的度數(shù)，根據(jù)cosC的值求出sinC的值，再由sinB，AC的長，利用正弦定理即可求出AB的長；（2）利用余弦定理列出關(guān)系式，將AC，cosB的值代入，利用基本不等式求出ac的最大值，