安徽省合肥市第三十一中學高一數(shù)學理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.A為三角形ABC的一個內角，若sinA+cosA=，則這個三角形的形狀為（）A．銳角三角形 B．鈍角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形參考答案：B【考點】三角形的形狀判斷．【分析】將已知式平方并利用sin2A+cos2A=1，算出sinAcosA=﹣＜0，結合A∈（0，π）得到A為鈍角，由此可得△ABC是鈍角三角形．【解答】解：∵sinA+cosA=，∴兩邊平方得（sinA+cosA）2=，即sin2A+2sinAcosA+cos2A=，∵sin2A+cos2A=1，∴1+2sinAcosA=，解得sinAcosA=（﹣1）=﹣＜0，∵A∈（0，π）且sinAcosA＜0，∴A∈（，π），可得△ABC是鈍角三角形故選：B2.若，，，則(

)A．

B．

C．

D．參考答案：C略3.若角600°的終邊上有一點（﹣4，a），則a的值是(

)A． B． C． D．參考答案：A【考點】運用誘導公式化簡求值；任意角的三角函數(shù)的定義．【專題】計算題．【分析】先利用誘導公式使tan600°=tan60°，進而根據(jù)求得答案．【解答】解：∵，∴．故選A【點評】本題主要考查了用誘導公式化簡求值的問題．屬基礎題．4.如圖，M是△ABC的邊AB的中點，若，，

則

A．

B．

C．

D．

參考答案：B5.已知M是平行四邊形ABCD的對角線的交點，P為平面ABCD內任意一點，則+++等于（）A．4 B．3 C．2 D．參考答案：A【考點】向量的三角形法則．【分析】根據(jù)向量的三角形的法則和平行四邊形的性質即可求出答案【解答】解：∵M是平行四邊形ABCD的對角線的交點，P為平面ABCD內任意一點，∴=+，=+，=+，=+，∵M是平行四邊形ABCD對角線的交點，∴=﹣，=﹣，∴+++=+++++++=4，故選：A6.若，，則，2，，中最大一個是（

）

A．

B．2

C．

D．參考答案：A略7.函數(shù)在區(qū)間內有零點，則

（A）

（B）

（C）

（D）的符號不定參考答案：D8.已知首項a1=1，公差d=-2的等差數(shù)列{an}，當an=-27時，n=

.參考答案：15略9.不等式的解集是

（）A.

B.C.

D.參考答案：B10.ΔABC中,a=1,b=,∠A=30°,則∠B等于

（

）

A．60°

B．60°或120°

C．30°或150°

D．120°參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=2，動點P，Q，R分別在邊AB、BC、CA上，且滿足PQ=QR=PR，則線段PQ的最小值是．參考答案：【考點】不等式的實際應用．【分析】設∠BPQ=α，PQ=x，用x，α表示出AP，∠ARP，在△APR中，使用正弦定理得出x關于α的函數(shù)，利用三角函數(shù)的性質得出x的最小值．【解答】解：∵PQ=QR=PR，∴△PQR是等邊三角形，∴∠PQR=∠PRQ=∠RPQ=60°，∵矩形ABCD中，AB=2，BC=2，∴∠BAC=30°，∠BCA=60°，設∠BPQ=α（0＜α＜90°），PQ=x，則PR=x，PB=xcosα，∠APR=120°﹣α，∴∠ARP=30°+α，AP=2﹣xcosα．在△APR中，由正弦定理得，即，解得x==．∴當sin（α+φ）=1時，x取得最小值=．故答案為：．12.已知函數(shù)f（x）的定義域為[0，2]，則f（2x﹣1）的定義域．參考答案：[，]【考點】函數(shù)的定義域及其求法．【分析】由題意得不等式0≤2x﹣1≤2，解出即可．【解答】解：∵0≤2x﹣1≤2，∴≤x≤，故答案為：[，]．13.已知冪函數(shù)f（x）=x（k∈Z）滿足f（2）＜f（3），若函數(shù)g（x）=1﹣q，f（x）+（2q﹣1）x在區(qū)間[﹣1，2]上是減函數(shù)，則非負實數(shù)q的取值范圍是．參考答案：0≤q≤【考點】函數(shù)單調性的判斷與證明．【專題】計算題；函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質及應用．【分析】先表示出函數(shù)g（x）的表達式，結合函數(shù)的單調性通過討論q的范圍，從而得到答案．【解答】解：依題意可知，﹣k2+k+2＞0，解得：﹣1＜k＜2，又k∈Z，所以k=0或1，則﹣k2+k+1=2，所以：f（x）=x2．g（x）=﹣qx2+（2q﹣1）x+1，（q≥0），當q=0時，g（x）=﹣x+1在[﹣1，2]單調遞減成立；當q＞0時，g（x）=﹣qx2+（2q﹣1）x+1開口向下，對稱軸右側單調遞減，所以≤﹣1，解得0＜q≤；綜上所述，0≤q≤，故答案為：0≤q≤．【點評】本題考查了函數(shù)解析式的求法，考查函數(shù)的單調性問題，是一道基礎題．14.函數(shù)（且）恒過定點

．參考答案：(2,1)

15.若函數(shù)f（x）=（x∈[2，6]），則函數(shù)的值域是．參考答案：[]考點： 函數(shù)的值域．專題： 函數(shù)的性質及應用．分析： 由x的范圍可以得出x﹣1的范圍，進一步得到的范圍，即得出該函數(shù)的值域．解答： 解：x∈[2，6]；∴x﹣1∈[1，5]；∴；∴該函數(shù)的值域為．故答案為：[]．點評： 考查函數(shù)值域的概念，根據(jù)不等式的性質求函數(shù)值域的方法，反比例函數(shù)的單調性16.下列冪函數(shù)中：①；②y=x﹣2；③；④；其中既是偶函數(shù)，又在區(qū)間（0，+∞）上單調遞增的函數(shù)是．（填相應函數(shù)的序號）．參考答案：③【考點】奇偶性與單調性的綜合．【專題】方程思想；定義法；函數(shù)的性質及應用．【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質進行判斷即可．【解答】解：：①的定義域為[0，+∞），為非奇非偶函數(shù)，不滿足條件．；②y=x﹣2=定義域為（﹣∞，0）∪（0，+∞），f（﹣x）==f（x），則函數(shù)是偶函數(shù)，在（0，+∞）上單調單調遞減，不滿足條件．③=，函數(shù)的定義域為（﹣∞，+∞），則f（﹣x）=f（x），則函數(shù)為偶函數(shù)，則（0，+∞）上單調遞增，滿足條件．；④的定義域為（﹣∞，+∞），函數(shù)為奇函數(shù)，不滿足條件；故答案為：③【點評】本題主要考查冪函數(shù)的性質，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調性的定義進行判斷是解決本題的關鍵．17.P是棱長為4的正方體ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中點，沿正方體表面從點A到點P的最短路程是_______.參考答案：【分析】從圖形可以看出圖形的展開方式有二，一是以底棱BC，CD為軸，可以看到此兩種方式是對稱的，所得結果一樣，另外一種是以側棱為軸展開，即以BB1，DD1為軸展開，此兩種方式對稱，求得結果一樣，故解題時選擇以BC為軸展開與BB1為軸展開兩種方式驗證即可【詳解】由題意，若以BC為軸展開，則AP兩點連成的線段所在的直角三角形的兩直角邊的長度分別為4，6，故兩點之間的距離是若以BB1為軸展開，則AP兩點連成的線段所在的直角三角形的兩直角邊的長度分別為2，8，故兩點之間的距離是故沿正方體表面從點A到點P的最短路程是cm故答案為【點睛】本題考查多面體和旋轉體表面上的最短距離問題，求解的關鍵是能夠根據(jù)題意把求幾何體表面上兩點距離問題轉移到平面中來求三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）已知a∈R，函數(shù)．（1）求f（1）的值；

（2）證明：函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調遞增；

（3）求函數(shù)f（x）的零點．參考答案：考點： 函數(shù)單調性的判斷與證明；分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法；函數(shù)的零點．專題： 計算題．分析： （1）由函數(shù)解析式，令x=1求得f（1）的值．（2）先在（0，+∞）上任取兩變量，且界定大小，再作差變形看符號．（3）要求函數(shù)f（x）的零點，即求方程f（x）=0的根，根據(jù)對實數(shù)的討論即可求得結果．解答： （1）當x＞0時，，∴．…（2分）（2）證明：在（0，+∞）上任取兩個實數(shù)x1，x2，且，…（3分）則…（4分）==．…（5分）∵0＜x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，x1x2＞0．∴，即f（x1）﹣f（x2）＜0．∴f（x1）＜f（x2）．…（7分）∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調遞增．…（8分）（3）（?。┊攛＞0時，令f（x）=0，即，解得x=1＞0．∴x=1是函數(shù)f（x）的一個零點．…（9分）（ⅱ）當x≤0時，令f（x）=0，即（a﹣1）x+1=0．（※）當a＞1時，由（※）得，∴是函數(shù)f（x）的一個零點；

…（11分）當a=1時，方程（※）無解；當a＜1時，由（※）得，（不合題意，舍去）．…（13分）綜上所述，當a＞1時，函數(shù)f（x）的零點是1和；

當a≤1時，函數(shù)f（x）的零點是1．…（14分）點評： 本小題主要考查函數(shù)的性質、函數(shù)的零點等基本知識，考查運算求解能力和推理論證能力．19.某公司計劃2011年在甲、乙兩個電視臺做總時間不超過300分鐘的廣告，廣告費用不超過9萬元.甲、乙電視臺的廣告收費標準分別為500元/分鐘和200元/分鐘.假定甲、乙兩個電視臺為該公司每分鐘所做的廣告，能給公司帶來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元.問：該公司如何分配在甲、乙兩個電視臺的廣告時間，才能使公司收益最大，最大收益是多少萬元？參考答案：20.如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面是直角梯形，AB⊥AD，點E在線段AD上，且CE∥AB.求證：（1）CE⊥平面PAD；（2）若PA=AB=1，AD=3，CD=，∠CDA=45°，求四棱錐P-ABCD的體積.參考答案：（I）因為PA⊥底面ABCD，CE平面ABCD，所以PACE。又底面是直角梯形，AB⊥AD，且CE∥AB，所以CEAD，而PA,AD交于點A，所以CE⊥平面PAD。（II）因為PA=AB=1，AD=3，CD=，∠CDA=45°，所以BC=AD－CDcos45°=3－1=2，故四棱錐P-ABCD的體積為。略21.已知函數(shù)圖象的一條對稱軸為．（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若存在使得成立，求實數(shù)m的取值范