第二章圓錐曲線

2.3.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程1、能通過實(shí)驗(yàn)探究，理解拋物線的定義；2、類比橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的建立過程，運(yùn)用坐標(biāo)法推導(dǎo)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并解決簡(jiǎn)單的問題；3、體會(huì)拋物線來源于生活，服務(wù)于生活.學(xué)習(xí)目標(biāo)生活中存在著各種形式的拋物線我們知道,橢圓、雙曲線的有共同的幾何特征：

都可以看作是,在平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)的距離和一條定直線的距離的比是常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡.·MFl0＜e

＜1(2)當(dāng)e＞1時(shí)，是雙曲線;(1)當(dāng)0<e<1時(shí),是橢圓;(其中定點(diǎn)不在定直線上)lF·Me＞1那么,當(dāng)e=1時(shí)，它又是什么曲線？

問題:平面內(nèi)，到一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是什么？(1)若定點(diǎn)在定直線上

(2)若定點(diǎn)不在定直線上演示動(dòng)畫

新知探究定直線

叫做拋物線的準(zhǔn)線.定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn).焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為

思考：類比橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，如何建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，使拋物線的方程更簡(jiǎn)潔，并嘗試推導(dǎo)出拋物線的方程？

可能的建系方法

不同的建系方法，導(dǎo)致不同的方程，請(qǐng)比較那種建系方程最簡(jiǎn)潔？y2=2px(p>0)想一想?

這種坐標(biāo)系下的拋物線方程形式怎樣?

一條拋物線，由于它在坐標(biāo)平面內(nèi)的位置不同，方程也不同，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式.

問題

：

一條拋物線，由于它在坐標(biāo)平面內(nèi)的位置不同，方程也不同。請(qǐng)同學(xué)們歸納出開口分別向左、向上、向下，頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，分別寫出它們的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.lFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2px（p>0）15圖象開口方向標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)準(zhǔn)線向右向左向上向下﹒yxo﹒yxoyxo﹒yxo﹒第一:一次項(xiàng)的變量如為x(或y),則x軸(或y軸)為拋物線的對(duì)稱軸,焦點(diǎn)就在對(duì)稱軸上.第二:一次項(xiàng)的系數(shù)的正負(fù)決定了開口方向.

▲如何確定各曲線的焦點(diǎn)位置？拋物線：1.看一次項(xiàng)(X或Y)定焦點(diǎn)

2.一次項(xiàng)系數(shù)正負(fù)定開口橢圓：看分母大小雙曲線：看符號(hào)例1答案：例2答案：21典例解析例2求過點(diǎn)A（－3，2）的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程練習(xí)：根據(jù)下列條件，寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：

（2）焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是2；y2=xy2=4x、y2=-4x、x2=4y或x2=-4y(3)過點(diǎn)P（4,-2）的拋物線；y2=x或x2=-8y(4)過點(diǎn)P（-2,-1）且關(guān)于y軸對(duì)稱的拋物線；x2=-4y(5)焦點(diǎn)在直線x-2y-4=0上。y2=16x或x2=-8y第二章圓錐曲線

2.3.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程25圖象開口方向標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)準(zhǔn)線向右向左向上向下﹒yxo﹒yxoyxo﹒yxo﹒思考：你能說明二次函數(shù)y=ax2（a≠0）的圖象是拋物線嗎？指出它的焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程.所以二次函數(shù)y=ax2的圖象是拋物線.

思考:M是拋物線y2=2px（p＞0）上一點(diǎn)，若點(diǎn)

M

的橫坐標(biāo)為x0，則點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離是

————————————x0+—2pOyx．FM．這就是拋物線的焦半徑公式!例1

定義指路，化歸與轉(zhuǎn)化思想

練習(xí):已知拋物線的焦點(diǎn)在x軸上，拋物線上的點(diǎn)M(-3,m)到焦點(diǎn)的距離等于5，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.解:因?yàn)槭墙裹c(diǎn)在x軸上且過M點(diǎn)的拋物線,所以設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為由拋物線的定義知-(-3)=5即p=4.所以所求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=-8xy2=-2px(p>0)例2例2點(diǎn)M與點(diǎn)F(4,0)的距離比它到直線l：x+5=0的距離小1，求點(diǎn)M的軌跡方程.解：如圖,設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),依題意可知點(diǎn)M與點(diǎn)F的距離等于它到直線x+4=0的距離，根據(jù)拋物線的定義，點(diǎn)M的軌跡是以F（4,0）為焦點(diǎn)的拋物線.∵焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，∴點(diǎn)M的軌跡方程為：y2=16xll’MxOyF變式：平面上動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F(1，0)的距離比它到y(tǒng)軸的距離小1，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡？例3二、拋物線的定義的應(yīng)用

C

例4

如圖，已知拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)是F，點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，又有點(diǎn)A(3，2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)．

題型二

拋物線定義的應(yīng)用解

如圖，作PQ⊥l于Q，由定義知，拋物線上點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離等于點(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離d，由圖可知，求|PA|＋|PF|的最小值的問題可轉(zhuǎn)化為求|PA|＋d的最小值的問題．例5

D

例6

4

例68．

已知直線l1：4x－3y＋6＝0和直線l2：x＝－1，拋物線y2＝4x上一動(dòng)點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是(

)．A．2B．3C.D.

解析直線l2：x＝－1為拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線，由拋物線的定義知，P到l2的距離等于P到拋物線的焦點(diǎn)F(1，0)的距離，故本題化為在拋物線y2＝4x上找一個(gè)點(diǎn)P使得P到點(diǎn)F(1，0)和直線l1的距離之和最小，最小值為F(1，0)到直線l1：4x－3y＋6＝0的距離，即dmin＝＝2，故選擇A.答案A例73.動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)A(0,2)的距離比到直線l:y=-4的距離小2，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為________x2=8y例2.一種衛(wèi)星接收天線的軸截面如圖所示，衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入軸截面為拋物線的接收天線，經(jīng)反射聚集到焦點(diǎn)處，已知接收天線的口徑（直徑）為4.8m，深度為0.5m．（1）試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)．（2）為了增強(qiáng)衛(wèi)星波束的接收，擬將接收天線的口徑增大為5.2m，求此時(shí)星波束反射聚集點(diǎn)的坐標(biāo)．典例解析解：（1）以頂點(diǎn)為原點(diǎn)，焦點(diǎn)所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系xOy，設(shè)拋物線的方程為y2＝2px（p＞0），代入點(diǎn)（0.5，2.4），可得2.42＝2p?0.5，解得p＝5.76，即拋物線的方程為y2＝11.52x，焦點(diǎn)為（2.88，0）；（2）設(shè)拋物線的方程為y2＝2mx（m＞0），代入點(diǎn)（0.5，2.6），可得2.62＝2m?0.5，解得m＝6.76，即有拋物線的方程為y2＝13.52x，焦點(diǎn)為（3.38，0）．拋物線方程左右型標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=±2px(p>0)開口向右:y2=2px(x≥0)開口向左:y2=-2px(x≤0)標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=±2py(p>0)開口向上:x2=2py(y≥0)開口向下:x2=-2py(y≤0)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程上下型1、