1.1.2集合間的基本關(guān)系一、子集的有關(guān)概念1.Venn圖通常用平面上_________的內(nèi)部代表集合.用Venn圖表示集合的優(yōu)點(diǎn)：形象直觀.

封閉曲線2.子集(1)自然語(yǔ)言：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A，B，如果集合A中____一個(gè)元素____集合B中的元素，我們就說(shuō)這兩個(gè)集合有_____關(guān)系，稱(chēng)集合A為集合B的子集.(2)符號(hào)語(yǔ)言：記作______(或____)，讀作“_______”(或“B包含A”).(3)圖形語(yǔ)言：用Venn圖表示.任意都是A?BA含于B包含B?A3.真子集如果集合_____，但存在元素x∈B，且____，我們稱(chēng)集合A是集合B的真子集，記作_____(BA).4.集合相等如果集合A是集合B的____(A?B)，且集合B是集合A的____(B?A)，此時(shí)，集合A與集合B中的元素是____的，因此集合A和集合B相等，記作_____.思考：“∈”與“?”有什么區(qū)別？提示：“∈”表示元素與集合之間的關(guān)系，而“?”表示集合與集合之間的關(guān)系.A?Bx?A子集子集一樣A=B?AB二、空集及集合間關(guān)系具有的性質(zhì)1.空集：指的是____________的集合，記作__，并規(guī)定：空集是________的子集.2.集合間關(guān)系具有的性質(zhì)(1)任何一個(gè)集合是它本身的_____，即______.(2)對(duì)于集合A，B，C，如果A?B，且B?C,那么_____.不含任何元素?任何集合子集A?AA?C判斷：(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)集合{0}是空集.()(2)集合{x|x2+1=0,x∈R}是空集.()(3)空集沒(méi)有子集.()提示：(1)錯(cuò)誤.集合{0}含有一個(gè)元素0，是非空集合.(2)正確.由于方程x2+1=0在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)解，故此集合是空集.(3)錯(cuò)誤.空集是任何集合的子集，也是它本身的子集.答案：(1)×(2)√(3)×【知識(shí)點(diǎn)撥】

1.對(duì)子集概念的理解 (1)“A是B的子集”的含義是：集合A中的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B.(2)不能把“A?B”理解為“A是B中部分元素組成的集合”，因?yàn)楫?dāng)A=?時(shí)，A?B，但A中不含任何元素；又當(dāng)A=B時(shí)，也有A?B，但A中含有B中所有元素，這兩種情況都有A?B.2.對(duì)真子集的理解對(duì)真子集概念的理解關(guān)鍵是“真”字，它包括兩個(gè)方面：首先是某集合的子集，其次不能與原集合相等.3.對(duì)集合相等的理解(1)從元素的特征出發(fā)表達(dá)兩個(gè)集合相等，即集合A中的元素和集合B中的元素相同，則這兩個(gè)集合相等.(2)從兩個(gè)集合的關(guān)系出發(fā)表達(dá)兩個(gè)集合相等，即A?B，則對(duì)任意x∈A都有x∈B，同時(shí)B?A，則對(duì)任意x∈B都有x∈A，這說(shuō)明兩個(gè)集合的元素是相同的，即兩集合相等.4.對(duì)空集的理解(1)空集首先是集合，只不過(guò)此集合中不含任何元素.(2)規(guī)定空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.因此遇到諸如A?B，AB的問(wèn)題時(shí)，務(wù)必優(yōu)先考慮A=?是否滿足題意，這也是初學(xué)者極易出錯(cuò)的地方.5.對(duì)集合間關(guān)系具有的性質(zhì)的兩點(diǎn)說(shuō)明(1)對(duì)于任何一個(gè)集合是它本身的子集的性質(zhì)要時(shí)刻牢記.(2)集合間的包含關(guān)系滿足傳遞性，同樣，集合間的真包含關(guān)系也具有傳遞性，即AB,BC,則AC.類(lèi)型一子集的有關(guān)概念

【典型例題】1.(2013·邵陽(yáng)高一檢測(cè))集合{a,b}的子集個(gè)數(shù)為()A.1B.2C.3D.42.若集合{1,2}?M?{1,2,3,4}，試寫(xiě)出滿足條件的所有的集合M.【解題探究】1.一個(gè)集合的子集可以與其相等嗎？空集是它的子集嗎？2.題2中滿足條件的集合M一定含有哪些元素，可能含有哪些元素？探究提示：1.一個(gè)集合的子集可以與其相等，也可以是空集.2.據(jù)條件分析，集合M一定含有元素1，2，可能含有元素3，4.【解析】1.選D.當(dāng)子集不含元素時(shí)，即為?；當(dāng)子集中含有一個(gè)元素時(shí)，其子集為{a},；當(dāng)子集中有兩個(gè)元素時(shí)，其子集為{a,b}.2.由于{1,2}?M，故1,2∈M，又M?{1,2,3,4}，所以符合條件的集合M有：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}.【互動(dòng)探究】若把題2已知條件改為“已知{1，2}?M{1,2,3,4}”，則這樣的集合M又有幾個(gè)？【解析】∵{1,2}?M,∴M中至少有1，2兩個(gè)元素，又M{1,2,3,4}，故集合M可以是{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}.【拓展提升】求一個(gè)集合子集個(gè)數(shù)的規(guī)律及注意點(diǎn)(1)規(guī)律：含有n(n≥1且n∈N)個(gè)元素的集合的子集有2n個(gè)，有2n-1個(gè)真子集，有2n-2個(gè)非空真子集.(2)注意點(diǎn)：解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意兩個(gè)比較特殊的集合，即?和集合本身.【變式松訓(xùn)練】(2真01殼3·冀州古高一巴檢測(cè))同時(shí)碎滿足駱：①M(fèi)?{1勞,2情,3竭,4姜,5別},抽②若a∈趨M,則6-富a∈緞M的非禿空集剝合M有(擊)A.能16個(gè)B.絲式15個(gè)C.腳7個(gè)D.就6個(gè)【解析】選C.葡∵1具+5帆=2歷+4勸=3罪+3趕=6睜,∴集合M可能托為單皇元素糊集合?。簕3鄉(xiāng)豐}；二罵元素踢集合討：{1現(xiàn),5憐},怒{2及,4借}；三劇元素炕集合夏：{1錄,3掩,5打},君{損2,賀3,積4}乏,四元守素集第合:{揪1,犯2,強(qiáng)4,志5}吵,五元享素集蒸合：{1快,2極,3僻,4神,5器}，共7個(gè).類(lèi)型摸二集合杏間的昆包含既關(guān)系就的判洋斷【典型糠例題】1.萍(2榜01烤3·亳州蘿高一落檢測(cè))下列豈關(guān)系生中，鄙表示叢正確冠的是(舒)A.摟1∈流{0京,1缸}植B.厲1博{0絡(luò),1肚}C.害1?{0嫩,1川}棚D.耳{1鉤}∈呢{0虹,1狼}2.集合P=拘{x|我y=x2}，集胞合Q=姥{y|遺y=x2}，則P與Q的關(guān)漸系為(陵)A.反P?Q酷B.駛Q?PC.跳P=碗Q胸D賭.以上蹦都不庭對(duì)3.集合A＝{2談n＋1|盈n∈此Z}，集彈合B＝{4晌k±統(tǒng)1|易k∈及Z}，則A與B間的期關(guān)系告是(倆)A.拆A∈潔B醒B.貫A次BC.根A?B附D籃.A予=B【解題晴探究】1.表示湊元素賠與集賞合、狼集合誰(shuí)與集弄合之創(chuàng)間的閥關(guān)系炸分別戴用什驗(yàn)么符襪號(hào)表振示？2.題2中判紀(jì)斷兩絲式個(gè)集近合之沃間的鎖關(guān)系剖時(shí)，航應(yīng)先國(guó)怎樣隙處理亮集合期？3.題3當(dāng)n，k∈爛Z時(shí)，2n＋1，4k潛±1分別隙表示課什么聚數(shù)？探究書(shū)提示井：1.表示共元素更與集獎(jiǎng)合之芬間的父關(guān)系忽用符敬號(hào)∈始，?表示戒，表央示集表合與難集合護(hù)之間枕的關(guān)餓系用?,表示.2.在判汁斷兩小個(gè)集求合之滑間的衫關(guān)系識(shí)時(shí)，器要先尚對(duì)集秩合進(jìn)斜行分她析、族化簡(jiǎn)商，使遷每個(gè)噴集合皮的表喜現(xiàn)形核式最筐簡(jiǎn)潔.3.當(dāng)n，k∈慶Z時(shí)，2n＋1表示慣奇數(shù)云；4k妹±1也表闊示奇僑數(shù).【解析】1.選A.、?表示絲式集合廚之間敗的關(guān)羅系，勒故B,輪C錯(cuò)誤削；∈殊表示拜元素伴與集嗚合之撿間的胸關(guān)系詞，故D錯(cuò)誤.2.選B.伏∵P萌={x|親y=x2}=亞{x|潮x∈猶R}，Q=摧{y|格y=x2}=皇{y讀|y聯(lián)≥0鞭}，故Q?P.3.選D.時(shí)∵整數(shù)改包括設(shè)奇數(shù)改與偶冶數(shù)，泡∴n＝2k或2k－1(探k∈兼Z)，當(dāng)n＝2k時(shí)，2n＋1＝4k＋1，當(dāng)n＝2k－1時(shí)，2n＋1＝4k－1，故A＝B.【拓展荷提升】集合杏間關(guān)川系的曠判斷司方法(1匆)判斷A?B的常滑用方難法，晉一般遍用定覆義法慈，即宇說(shuō)明蜘集合A中的任何類(lèi)一個(gè)弟元素露都是敘集合B中的腹元素.(2爸)判斷A坡B的方午法，蘆可以問(wèn)先判洗斷A?B，然頂后說(shuō)猴明集朵合B中存在元進(jìn)素不駁屬于致集合A.(3州)判斷A=京B的方冷法，腳可以匪證明A?B，且B?A；也慶可以范證明基兩個(gè)集捷合的柄元素跪完全污相同.【變式病訓(xùn)練】(2碰01茶3·肇慶躺高一魂檢測(cè))下列米各組捏集合M與N中，茄表示危相等至集合劫的是(消)A.砍M=飽{(掌0,宜1)圈},挎N=性{0蝦,1飾}B.浩M=帽{(卸0,隆1)斗},離N=讓{(緒1,犧0)丹}C.緒M=零{(棚0,蜂1)績(jī)},婚N=陷{(x,蠶y)拍|x=0且y=芽1}D.嬌M=痰{π}還,N={鏈3.卸14乳}【解析】C.對(duì)A，由畜于集住合M是點(diǎn)到集，睛集合N是數(shù)擁集，拔故M和N不相反等；裹對(duì)B，雖黎然都貌是點(diǎn)慮集，另但元忽素表風(fēng)示不企同的網(wǎng)點(diǎn)，襖故M和N不相零等；煙對(duì)D，由推于π是無(wú)先理數(shù)安，3.顏14是有筑理數(shù)夸，故M和N不相際等.類(lèi)型巨三由集柔合間查的關(guān)保系求討參數(shù)斃問(wèn)題【典型沈例題】1.奧(2勒01僵3·長(zhǎng)春奔高一槽檢測(cè))已知并集合A=忘{2合,9酒},躁B=猛{m2,2樣}，若A=描B,則實(shí)耀數(shù)m的值傻為(異)A.養(yǎng)3叨B病.2球C.掀±廁D.陳±32.已知血集合A=刪{x|餅a＜x＜5}饞,B王={散x|檔x≥亦2}，且衡滿足A?B，求系實(shí)數(shù)a的取手值范角圍.【解題紅探究】1.兩個(gè)憤集合鄙相等爪，其劈燕元素拼有什庫(kù)么關(guān)勞系？2.當(dāng)兩遺集合晝是連疤續(xù)數(shù)宴集時(shí)遠(yuǎn)，如城何確嚼定它鍬們的支包含灑關(guān)系屠？探究蠢提示獻(xiàn)：1.兩個(gè)經(jīng)集合寨相等武，其凝元素棚是相諷同的.2.兩個(gè)粒集合拍為連引續(xù)數(shù)封集時(shí)儲(chǔ)，可幟用數(shù)鄉(xiāng)豐軸來(lái)業(yè)分析驢它們盟的關(guān)柳系，遺并以鹽此來(lái)辱確定辭它們角的包西含關(guān)驗(yàn)系.【解析】1.選D.搖∵A嘉={偉2,陪9}撿,B翻={哥m2,2野},濕A=怨B，∴m2=9，m=謊±3顧.2.氣①當(dāng)a≥偽5時(shí)，A=?，此甲時(shí)有A?B;②當(dāng)a＜5時(shí)，拴要使A?B，如健圖，來(lái)需a≥繼2，所匙以2≤都a＜5.綜上浸，a的取抄值范口圍為a≥拐2.【拓展經(jīng)提升】由集公合間蓮的關(guān)泡系求矮參數(shù)茅的方行法及構(gòu)注意稱(chēng)點(diǎn)(1答)對(duì)于叨用列痰舉法獨(dú)表示番的集握合，垃根據(jù)詢集合眾間的晉包含分關(guān)系疊，可遠(yuǎn)直接脂轉(zhuǎn)為池元素絮間的器關(guān)系兇，此紙時(shí)應(yīng)兼注意考元素迫的互傘異性.(2縫)對(duì)于危用描堵述法霸表示繡的集斃合，多特別芹是元猶素個(gè)艱數(shù)無(wú)栽限的扇數(shù)集賓，可餡借助伐于數(shù)棟軸，翁利用驢數(shù)軸費(fèi)分析容法，老將各竊個(gè)集桿合在聰數(shù)軸坐上表套示出婦來(lái)，挎以形璃定數(shù)背，此滿時(shí)要遞注意點(diǎn)對(duì)端皺點(diǎn)值霞驗(yàn)證.【變式置訓(xùn)練】已知皇集合A=旬{x千|-糠3≤曲x≤確4}，集帆合B=搶{x偷|2壓m-唉1＜x＜m+棗1}，且B?A，求迫實(shí)數(shù)m的取滾值范武圍.【解題均指南】可就未集合B是否橫為空董集進(jìn)喊行討據(jù)論，賽根據(jù)B?A列出有關(guān)陪不等寄式(或組)，進(jìn)任而求挨出實(shí)伶數(shù)m的取猾值范迎圍.【解析】∵B?A，(1拳)當(dāng)B=?時(shí)，雖即2m命-1辮≥m徹+1，亦帆即m≥繡2時(shí)，滿足勇要求.(2妨)當(dāng)B≠?時(shí)，在則有煙解泄得-1線≤m＜2.綜上叔所述痰，實(shí)告數(shù)m的取歲值范啊圍是m≥-1鞭.【規(guī)范信解答】根據(jù)車(chē)集合衡間的莫關(guān)系駁求參夢(mèng)數(shù)取武值范花圍問(wèn)井題【典例】【條件拳分析】【規(guī)范禾解答】(1現(xiàn))當(dāng)a=秩0時(shí)，A=校?①,滿足濫條件.…僵……拋…3分(2俱)當(dāng)a≠駕0時(shí)，責(zé)分兩集種情吊況:①a謝>0時(shí)，A=獻(xiàn){x妙|肥<答x<顯},給B=憶{x晶|-齒1<識(shí)x<咐1}②……性……尸……泄5分∵A?鳥(niǎo)B,且a>廳0,量∴駐∴走a≥譜2.養(yǎng)……展……狗……攔……倦7分②當(dāng)a<軌0時(shí)，A=專(zhuān){x漫|刪<絕x<母}②……寫(xiě)……箭……秧……謠……鋸…9分∵A?大B,舅∴知∴a寺≤-撞2.蝕……予……坡……姐……驗(yàn)……青11分綜上釀可知挺，a≤飾-2或a=歐0或a≥弟2.肚……提……早……攤……網(wǎng)……革12分【失分棍警示】【防范巴措施】1.特別振關(guān)注捆空集此題領(lǐng)含有胞條件A?B，解狹答此阻類(lèi)含烤有集斑合包享含關(guān)嗎系的尤問(wèn)題犁時(shí)，俘一定攝要考靈慮集降合A是否厲為空兵集，檢此類(lèi)轟問(wèn)題笨往往揭因?yàn)槭顚?duì)空康集的憂關(guān)注萌不夠盼而出脈現(xiàn)不勤必要焦的失霜誤.2.分類(lèi)枝討論忘的意旱識(shí)本題娛中由澤于a的取園值未徐限定態(tài)，因詢而要嚇考慮凳不等酸式組期解的寬情況要，即帝需要散分a=擋0,價(jià)a＞0,防a＜0三種領(lǐng)情況喬討論洗，也拋就是尿在解長(zhǎng)題時(shí)扇要有眉分類(lèi)兵討論驢的意京識(shí).【類(lèi)題臨試解】已知面集合P=倆{x銳|x2+x宋-6魔=0塑}，M=博{x覺(jué)|m紀(jì)x-漲1=秘0}，若M水P，求插滿足矩條件療的實(shí)值數(shù)m取值帶的集裁合Q．【解析】P=磚{x笛|x2+x梳-6違=0譽(yù)}=純{-嘗3,浸2}暖.∵任M柴P，∴M=?或M≠?.(1付)當(dāng)M=?，即m=命0時(shí)，走滿足M匙P勉.(2擺)當(dāng)M≠?，即m≠舅0時(shí)，M=杰{x蔬|m勺x-假1=溉0}她={呈}，M龜P，則腫必有=-蓄3或2，解羽得m=或.綜上保所述言，Q=艘{0筆,澇,段}卵.1.下列蜘集合裳不是{0弊,1鋤}的真黨子集瞇的是(谷)A.圖{1暗}業(yè)B假.{極0}維C.輕{0姓,1起}腳D潔.?【解析】選C.集合蒼不是胖它本橡身的扁真子淺集，描故選C.2.已知解集合M=茄{1槽}，N=伏{1，2，3}，能畢夠準(zhǔn)輛確表侮示集孩合M與N之間關(guān)黨系的材是(胞)A.松M