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的微分方程,稱為可分離變量的微分方程.2.解法1.定義分離變量6.2.1可分離變量的微分方程6.2一階微分方程或可化為形如求得積分后,即得原微分方程的通解兩端積分注意:如果

則常函數(shù)也是方程的一個解.

這樣的解并沒有包含在通解之中,稱之為奇解.

解分離變量得兩端積分得從而故原方程的通解為

而也是方程的一個解.

例1求微分方程的通解.例2求微分方程的通解.解分離變量兩端積分原方程的通解為整理得從而化簡得解先求其通解,

分離變量,得兩端積分,得例3

求解定解問題:整理得原方程的通解為得于是所求定解問題的特解為的一階微分方程,稱為齊次方程.1.定義6.2.2齊次方程例如,方程可化成是齊次方程.可化為形如分離變量,得兩端積分2.解法作變量代換代入原方程,得求得積分后再將代入,即得原方程的通解.化為可分離變量的方程.則解原方程可化為是齊次方程.代入原方程得兩端積分,得例4求微分方程的通解.解得原方程的通解為即也是原方程的解,將代入,及例5

解方程分離變量,得兩端積分將代入，得原方程的通解代入原方程得或稱為一階線性非齊次微分方程.稱為一階線性齊次微分方程.6.2.3一階線性微分方程1.定義未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)都是一次的微分方程通常稱方程(6-4)是方程(6-3)所對應(yīng)的齊次方程．

容易驗證一、如果是方程(6-3)的解,結(jié)論:方程(6-3)的通解等于方程(6-4)的通解加上方程(6-3)的一個特解.

則是方程(6-4)的解;

二、如果分別是方程(6-3)和方程(6-4)的解,則是方程

(6-3)的解.

齊次方程的通解為(1)先解線性齊次方程使用分離變量法2.解法積分,得(2)再解線性非齊次方程設(shè)非齊次方程通解形式為

把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法,稱為常數(shù)變易法.待定函數(shù)積分得一階線性非齊次微分方程的通解為對應(yīng)齊次方程通解非齊次方程的特解或解此方程為一階線性方程(1)先求對應(yīng)的齊次方程變形方程為

積分,得對應(yīng)的齊次方程通解為例6求微分方程

的通解.設(shè)原非齊次方程通解為代入原方程,得積分,得故,原方程通解為解原方程可化為設(shè)原方程通解為即例7求微分方程的通解.的微分方程,稱為伯努利方程.*6.2.4伯努利方程1.定義2.解法通過變量代換化為線性微分方程.形如方程的兩邊除

得則代入原方程整理得即得伯努利方程的通解.它是一階線性方程,求出其通解,再將代入,解此方程是伯努利方程,其中

原方程

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