第二章離散型隨機(jī)變量及其分布第三節(jié)§2.3常見離散型隨機(jī)變量1.分布如果隨機(jī)變量的概率函數(shù)為則稱服從參數(shù)為的分布,記為分布也可用下面的式子或表格表示:凡是樣本空間只含有兩個(gè)樣本點(diǎn)的試驗(yàn)或貝努利試驗(yàn)都可以用服從分布的隨機(jī)變量來刻劃.如產(chǎn)品的好壞,嬰兒的性別,天氣的晴雨等.2.二項(xiàng)分布如果隨機(jī)變量的概率函數(shù)為則稱服從參數(shù)為的二項(xiàng)分布,記為其中⑴在次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中,事件發(fā)生的次數(shù)就服從二項(xiàng)分布.⑵利用二項(xiàng)展開定理不難驗(yàn)證:⑶分布是二項(xiàng)分布在時(shí)的特例.例1設(shè)在三次獨(dú)立試驗(yàn)中,事件出現(xiàn)的概率相等.若已知至少出現(xiàn)一次的概率為,試求事件在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率.解設(shè),由題意所以例2設(shè)隨機(jī)變量的概率函數(shù)為記再記表示在三次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中事件出現(xiàn)的次數(shù),試求概率和

.解例3某市的血庫急需AB型血,要從體檢合格的獻(xiàn)血者中獲得AB型血.已知在體檢合格的獻(xiàn)血者中,AB型血的比例為百分之二,問至少需要多少位體檢合格的獻(xiàn)血者才能保證至少獲得一份AB型血的概率為0.95?解設(shè)至少需要

位體檢合格的獻(xiàn)血者才能保證至少獲得一份AB型血的概率達(dá)到0.95,記這

位體檢合格的獻(xiàn)

血者中AB型血人數(shù)為,則由此解得取例4抽查有3個(gè)孩子的家庭,設(shè)事件為“男孩和女孩都有”,事件為“至多一個(gè)女孩”.假設(shè)男、女出生率都為,則

,與

（填“是”或“不是”）相互獨(dú)立的;與

（填“是”或“不是”）互不相容的.解記為有三個(gè)孩子的家庭中女孩的個(gè)數(shù),則故兩事件“是”相互獨(dú)立的,“不是”互不相容的.但可知3.超幾何分布同類產(chǎn)品個(gè),其中件次品.現(xiàn)從中任取個(gè)產(chǎn)品,（）.則這個(gè)產(chǎn)品中所含的次品數(shù)是一個(gè)離散型隨機(jī)變量,且的概率分布為我們稱服從超幾何分布.定理記,則有在實(shí)際應(yīng)用中,只要,就用二項(xiàng)分布來近似描述抽樣檢查中的不合格品個(gè)數(shù)的概率分布.當(dāng)產(chǎn)品總數(shù)很大時(shí),有放回抽樣和無放回抽樣可近似看作相同.例5某條流水線生產(chǎn)的產(chǎn)品,一級(jí)品率為90%.今從某天生產(chǎn)的1000件產(chǎn)品中,隨機(jī)地抽取20件做檢查.試求:⑴恰有18件一級(jí)品的概率;⑵一級(jí)品不超過18件的概率.解記

為隨機(jī)抽取的20件產(chǎn)品中一級(jí)品的個(gè)數(shù),這是的超幾何分布,則⑴⑵4.泊松分布若隨機(jī)變量的概率函數(shù)為則稱服從參數(shù)為的泊松分布,記作.由無窮級(jí)數(shù)知識(shí)知:實(shí)例放射性物質(zhì)在某個(gè)時(shí)間段內(nèi)放射的粒子數(shù)服從泊松分布;公用電話亭在某時(shí)段內(nèi)打電話的人數(shù)服從泊松分布;某交通道口在一個(gè)時(shí)間段內(nèi)發(fā)生交通事故的次數(shù)近似服從泊松分布.泊松分布的概率函數(shù)值可以查表得到.P257查法例設(shè),求查表得泊松定理設(shè),對(duì)于任意一

個(gè)非負(fù)整數(shù),泊松定理告訴我們:二項(xiàng)概率可以用泊松分布的概率值來近似.當(dāng)時(shí)近似效果比較理想.例6分析病史資料表明:因患感冒而最終導(dǎo)致死亡的比例占0.2%.試求,目前正在患感冒的1000個(gè)病人中:⑴最終恰有4個(gè)人死亡的概率;⑵最終死亡人數(shù)不超過2個(gè)人的概率.解記

為1000個(gè)患感冒的病人中最終死亡的人數(shù),則此時(shí)可近似看作參數(shù)為2的泊松分布,⑴⑵（查表可得）

例7某物業(yè)管理公司負(fù)責(zé)10000戶居民的房屋維修工作.假定每戶居民是否報(bào)修是相互獨(dú)立的.且一段時(shí)間內(nèi)報(bào)修的概率都是0.04%.另外,一戶居民住房的維修只需一名修理工來處理.則在某個(gè)時(shí)段報(bào)修的居民數(shù)按泊松定理,可以近似認(rèn)為.試問:⑴該物業(yè)管理公司至少需要配備多少名維修工人,才能使居民報(bào)修后能得到及時(shí)維修的概率不低于99%?（這里不考慮維修時(shí)間長(zhǎng)短）⑵如果該物業(yè)公司現(xiàn)有4名修理工,那么居民報(bào)修后不能得到及時(shí)維修的概率有多大?⑶如果采用承包方式,每?jī)蓚€(gè)人負(fù)責(zé)5000戶居民房屋的維修,那么居民報(bào)修后不能得到及時(shí)維修的概率有多大?公司至少需配備的工人數(shù),則將其近似看成參數(shù)為4的泊松分布,問題即求滿足以下條件的正整數(shù)

查表可得:解⑴記

為10000戶居民中報(bào)修的戶數(shù),為物業(yè)管理故?、撇楸砜傻芒怯?/p>

分別為這兩個(gè)5000戶居民中報(bào)修的戶數(shù),

則可將其近似看成參數(shù)為2的泊松分布,再記

所求即為:例8設(shè)每分鐘通過某交叉路口的汽車流量服從泊松分布,且已知一分鐘內(nèi)沒有車輛通過與恰有一輛車通過

的概率相等,求在一分鐘內(nèi)至少有2輛車通過的概率.解由已知條件,隨機(jī)變量.又即:故所求概率為5.幾何分布如果隨機(jī)變量的概率函數(shù)為則稱服從參數(shù)為的幾何分布.

背景

足球運(yùn)動(dòng)員連續(xù)射門,直到射中為止所需要的射門次數(shù)服從幾何分布.到成功為止所需要的試驗(yàn)次數(shù)服從幾何分布.6.均勻分布稱具有下列分布律的隨機(jī)變量服從集合古典概型即可用服從均勻分布的隨機(jī)變量來描述.上的（離散型）均勻分布:例9設(shè)是隨機(jī)變量,且求解例10求方程有實(shí)根的概率.其中服從集合上的均勻分布.解方程有實(shí)根,當(dāng)且僅當(dāng)判別式非負(fù),即因此,相應(yīng)的概率為例11某產(chǎn)品的次品率為0.1.檢驗(yàn)員每天檢驗(yàn)4次,每次隨機(jī)地取10件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn),如果發(fā)現(xiàn)其中次品