第七章隨機變量及其分布7．1條件概率與全概率公式7.1.1條件概率必備學(xué)問·自主學(xué)習(xí)導(dǎo)思1.什么是條件概率？條件概率的計算公式是怎樣的？2.概率的乘法公式是怎樣的？名稱定義符號表示計算公式條件概率一般地，當(dāng)大事A發(fā)生的概率大于0時，大事A發(fā)生的條件下，大事B發(fā)生的概率稱為條件概率P(B|A)P(B|A)＝eq\f(P〔AB〕,P〔A〕)，P(A)>0P(B|A)和P(A|B)的意義相同嗎？提示：P(B|A)是指在大事A發(fā)生的條件下，大事B發(fā)生的概率，而P(A|B)是指在大事B發(fā)生的條件下，大事A發(fā)生的概率，因此P(B|A)和P(A|B)的意義不同．2．條件概率的性質(zhì)設(shè)P(A)>0，那么(1)P(Ω|A)＝1；(2)假如B和C是兩個互斥大事，那么P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)；(3)設(shè)eq\x\to(B)和B互為對立大事，那么P(eq\x\to(B)|A)＝1－P(B|A).3．概率的乘法公式對任意兩個大事A與B，假設(shè)P(A)＞0，那么P(AB)＝P(A)·P(B|A).概率的乘法公式與以前學(xué)習(xí)的相互大事的概率公式，都是求兩個大事同時發(fā)生的概率，但是公式不同，是否沖突？提示：不沖突．概率的乘法公式，是對任意兩個大事A，B而言的，實際上當(dāng)大事A，B相互時，P(B|A)＝P(B).1．辨析記憶(對的打“√〞，錯的打“×〞).(1)P(A∩B)＝P(AB).(√)提示：大事A和B同時發(fā)生所構(gòu)成的大事稱為大事A與B的交(或積)，記作A∩B(或AB)，所以P(A∩B)＝P(AB).(2)假設(shè)大事A，B互斥，那么P(B|A)＝1.(×)提示：假設(shè)大事A，B互斥，那么大事A∩B是不行能大事，P(A∩B)＝0，所以P(B|A)＝0.(3)對于任意大事A，B，P(AB)＝P(A)P(B).(×)提示：對于相互大事A，B，有P(AB)＝P(A)P(B).2．設(shè)A，B為兩個大事，假設(shè)P(AB)＝eq\f(1,5)，P(B)＝eq\f(1,2)，P(A)＝eq\f(1,3)，那么P(A|B)＝()A．eq\f(1,5)B．eq\f(2,5)C．eq\f(3,5)D．eq\f(2,3)【解析】選B.P(A|B)＝eq\f(P〔AB〕,P〔B〕)＝eq\f(\f(1,5),\f(1,2))＝eq\f(2,5).3．(教材例題改編)P(B)＝eq\f(1,2)，P(A|B)＝eq\f(1,3)，那么P(AB)＝()A．eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,6)D．eq\f(5,6)【解析】選C.由乘法公式得，P(AB)＝P(B)P(A|B)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,6).關(guān)鍵力量·合作學(xué)習(xí)類型一條件概率的計算(數(shù)學(xué)運算)1．把一枚硬幣拋擲兩次，大事A＝{第一次消失正面}，B＝{其次次消失正面}，那么P(B|A)＝________.【解析】由于P(AB)＝eq\f(1,4)，P(A)＝eq\f(1,2)，所以P(B|A)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)2．集合A＝{1，2，3，4，5，6}，甲、乙兩人各從A中任取一個數(shù)，假設(shè)甲先取(不放回)，乙后取，那么在甲抽到奇數(shù)的條件下，乙抽到的數(shù)比甲抽到的數(shù)大的概率為________.【解析】將甲抽到數(shù)字a，乙抽到數(shù)字b記作(a，b)，甲抽到奇數(shù)的情形有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6)，共15個樣本點，在這15個樣本點中，乙抽到的數(shù)比甲抽到的數(shù)大的有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，6)，共9個，所以所求概率P＝eq\f(9,15)＝eq\f(3,5).答案：eq\f(3,5)3．一個口袋內(nèi)裝有2個白球和2個黑球．(1)先摸出1個白球不放回，求再摸出1個白球的概率；(2)先摸出1個白球后放回，求再摸出1個白球的概率．【解析】(1)設(shè)“先摸出1個白球不放回〞為大事A，“再摸出1個白球〞為大事B，那么“先后兩次摸出白球〞為大事AB，“先摸一球不放回，再摸一球〞共有4×3種結(jié)果，所以P(A)＝eq\f(1,2)，P(A∩B)＝eq\f(2×1,4×3)＝eq\f(1,6)，所以P(B|A)＝eq\f(\f(1,6),\f(1,2))＝eq\f(1,3).所以先摸出1個白球不放回，再摸出1個白球的概率為eq\f(1,3).(2)設(shè)“先摸出1個白球放回〞為大事A1，“再摸出1個白球〞為大事B1，“兩次都摸出白球〞為大事A1B1，P(A1)＝eq\f(1,2)，P(A1∩B1)＝eq\f(2×2,4×4)＝eq\f(1,4)，所以P(B1|A1)＝eq\f(P〔A1∩B1〕,P〔A1〕)＝eq\f(\f(1,4),\f(1,2))＝eq\f(1,2).所以先摸出1個白球后放回，再摸出1個白球的概率為eq\f(1,2).條件概率計算的關(guān)注點1．原型：在題目條件中，假設(shè)消失“在……發(fā)生的條件下……發(fā)生的概率〞，一般可認(rèn)為是條件概率．2．方法：(1)在原樣本空間中，先計算P(AB)，P(A)，再利用公式P(B|A)＝eq\f(P〔AB〕,P〔A〕)計算求得P(B|A)；(2)假設(shè)大事為古典概型，可利用公式P(B|A)＝eq\f(n〔AB〕,n〔A〕)，即在縮小后的樣本空間中計算大事B發(fā)生的概率．【補償訓(xùn)練】拋擲紅、藍兩顆骰子，設(shè)大事A為“藍色骰子的點數(shù)為3或6〞，大事B為“兩顆骰子的點數(shù)之和大于8〞．(1)求P(A)，P(B)，P(A∩B)；(2)當(dāng)藍色骰子的點數(shù)為3或6時，問兩顆骰子的點數(shù)之和大于8的概率為多少？【解析】(1)設(shè)x為擲紅骰子得的點數(shù)，y為擲藍骰子得的點數(shù)，那么全部可能的大事為(x，y)，建立一一對應(yīng)的關(guān)系，由題意作圖如圖明顯：P(A)＝eq\f(12,36)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(10,36)＝eq\f(5,18)，P(A∩B)＝eq\f(5,36).(2)方法一：P(B|A)＝eq\f(n〔A∩B〕,n〔A〕)＝eq\f(5,12).方法二：P(B|A)＝eq\f(P〔A∩B〕,P〔A〕)＝eq\f(\f(5,36),\f(1,3))＝eq\f(5,12).類型二利用乘法公式求概率(數(shù)學(xué)運算)【典例】一袋中裝10個球，其中3個黑球、7個白球，先后兩次從中隨便各取一球(不放回),求：(1)兩次取到的均為黑球的概率；(2)第一次取得黑球，其次次取得白球的概率．【解析】(1)設(shè)Ai表示大事“第i次取到的是黑球〞(i＝1，2)，那么A1A2表示大事“兩次取到的均為黑球〞.由題設(shè)知：P(A1)＝eq\f(3,10)，P(A2|A1)＝eq\f(2,9)，依據(jù)乘法公式，有P(A1A2)＝P(A1)P(A2|A1)＝eq\f(3,10)×eq\f(2,9)＝eq\f(1,15)；(2)用A表示“第一次取得黑球〞，那么P(A)＝eq\f(3,10)，用B表示“其次次取得白球〞，那么P(B|A)＝eq\f(7,9)，故P(AB)＝P(A)P(B|A)＝eq\f(3,10)×eq\f(7,9)＝eq\f(7,30).應(yīng)用乘法公式求概率的關(guān)注點1．功能：是一種計算“積大事〞概率的方法，即當(dāng)不簡潔直接計算P(AB)時，可先求出P(A)及P(B|A)或先求出P(B)及P(A|B)，再利用乘法公式P(AB)＝P(A)P(B|A)＝P(B)P(A|B)求解．2．推廣：設(shè)A，B，C為三個大事，且P(AB)＞0，那么有P(ABC)＝P(C|AB)P(AB)＝P(C|AB)P(B|A)P(A).某項射擊嬉戲規(guī)定：選手先后對兩個目標(biāo)進行射擊，只有兩個目標(biāo)都射中才能過關(guān)．某選手射中第一個目標(biāo)的概率為0.8，連續(xù)射擊，射中其次個目標(biāo)的概率為0.5，那么這個選手過關(guān)的概率為________.【解析】記“射中第一個目標(biāo)〞為大事A，“射中其次個目標(biāo)〞為大事B，那么P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.5.所以P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0.8×0.5＝0.4，即這個選手過關(guān)的概率為0.4.答案：類型三條件概率的應(yīng)用(數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算)角度1條件概率的實際應(yīng)用【典例】一批燈泡壽命超過500小時的概率為0.9，壽命超過800小時的概率為0.8，在壽命超過500小時的燈泡中壽命能超過800小時的概率為________.【思路導(dǎo)引】大事“壽命超過500小時〞與“壽命超過800小時〞有什么關(guān)系？【解析】記“壽命超過500小時〞為大事A，“壽命超過800小時〞為大事B，那么所求大事為B|A，由于BA，所以B∩A＝B，又P(A)＝0.9，P(B∩A)＝P(B)＝0.8，所以P(B|A)＝eq\f(P〔A∩B〕,P〔A〕)＝eq\f(8,9).答案：eq\f(8,9)角度2互斥大事的條件概率【典例】某人一周晚上值班2次，在他周日晚上肯定值班的條件下，他在周六晚上或周五晚上值班的概率為________.【思路導(dǎo)引】認(rèn)真閱讀分析題意，利用條件概率公式解題．【解析】設(shè)大事A＝{周日晚上值班}，大事B＝{周五晚上值班}，大事C＝{周六晚上值班}，那么P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(6)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(7)))，P(AB)＝eq\f(1,Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(7)))，P(AC)＝eq\f(1,Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(7)))，所以P(B|A)＝eq\f(P〔AB〕,P〔A〕)＝eq\f(1,6)，P(C|A)＝eq\f(P〔AC〕,P〔A〕)＝eq\f(1,6).故他在周六晚上或周五晚上值班的概率為P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)當(dāng)所求大事的概率相對較簡單時，往往把該大事分成兩個(或多個)互斥的較簡潔的大事之和，求出這些較簡潔大事的概率，再利用P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)便可求得所求大事的概率．但應(yīng)留意這個公式在“B與C互斥〞這一前提下才成立．1.甲在上班途中要經(jīng)過兩個路口，在第一個路口遇到紅燈的概率為0.5，兩個路口連續(xù)遇到紅燈的概率為0.4，那么甲在第一個路口遇到紅燈的條件下，其次個路口遇到紅燈的概率為()【解析】選C.設(shè)“第一個路口遇到紅燈〞為大事A，“其次個路口遇到紅燈〞為大事B，那么P(A)＝0.5，P(AB)＝0.4，那么P(B|A)＝eq\f(P〔AB〕,P〔A〕)＝0.8.2.一批同型號產(chǎn)品由甲、乙兩廠生產(chǎn)，產(chǎn)品結(jié)構(gòu)如表：等級數(shù)量甲廠乙廠合計合格品4756441119次品255681合計5007001200從這批產(chǎn)品中隨便地取一件，那么這件產(chǎn)品恰好是次品的概率是________；取出的產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的，那么這件產(chǎn)品恰好是次品的概率是________．【解析】從這批產(chǎn)品中隨便地取一件，那么這件產(chǎn)品恰好是次品的概率是eq\f(81,1200)＝eq\f(27,400).法一：取出的產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的，那么這件產(chǎn)品恰好是次品的概率是eq\f(25,500)＝eq\f(1,20).法二：設(shè)A＝“取出的產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的〞，B＝“取出的產(chǎn)品為甲廠的次品〞，那么P(A)＝eq\f(500,1200)，P(A∩B)＝eq\f(25,1200)，所以這件產(chǎn)品恰好是甲廠生產(chǎn)的次品的概率是P(B|A)＝eq\f(P〔A∩B〕,P〔A〕)＝eq\f(1,20).答案：eq\f(27,400)eq\f(1,20)課堂檢測·素養(yǎng)達標(biāo)1．某班同學(xué)的考試成果中，數(shù)學(xué)不及格的占15%，語文不及格的占5%，兩門都不及格的占3%，一同學(xué)數(shù)學(xué)不及格，那么他的語文也不及格的概率是()A．eq\f(1,5)B．eq\f(3,10)C．eq\f(1,2)D．eq\f(1,3)【解析】A為大事“數(shù)學(xué)不及格〞，B為大事“語文不及格〞，P(B|A)＝eq\f(P〔AB〕,P〔A〕)＝eq\f,0.15)＝eq\f(1,5)，所以該同學(xué)數(shù)學(xué)不及格時，語文也不及格的概率為eq\f(1,5).2．甲、乙兩市都位于長江下游，依據(jù)一百多年來的氣象記錄，知道一年中下雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，兩地同時下雨占12%，記P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，P(AB)＝0.12，那么P(A|B)和P(B|A)分別等于()A．eq\f(1,3)，eq\f(2,5)B．eq\f(2,3)，eq\f(2,5)C．eq\f(2,3)，eq\f(3,5)D．eq\f(1,2)，eq\f(3,5)【解析】選C.P(A|B)＝eq\f(P〔AB〕,P〔B〕)＝eq\f,0.18)＝eq\f(2,3)，P(B|A)＝eq\f(P〔AB〕,P〔A〕)＝eq\f,0.2)＝eq\f(3,5).3．(教材練習(xí)改編)從一副不含大