概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教師:高璟e-mail:gaojane@數(shù)學(xué)專業(yè)教研室（第四學(xué)科樓222室）引言?概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究什么的

經(jīng)典的數(shù)學(xué)理論如微積分學(xué)、微分方程等都是研究確定性現(xiàn)象的有力的數(shù)學(xué)工具。對(duì)于某些隨機(jī)現(xiàn)象，雖然對(duì)個(gè)別試驗(yàn)來說，無法預(yù)言其結(jié)果，但在相同的條件下，進(jìn)行大量的重復(fù)試驗(yàn)或觀察時(shí)，卻又呈現(xiàn)出某些規(guī)律性（如拋擲硬幣）。

隨著社會(huì)生產(chǎn)與科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的理論和方法獲得了迅速的發(fā)展，形成了數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，并被廣泛應(yīng)用于工業(yè)、農(nóng)業(yè)、軍事、科技、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域。

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)——研究和揭示隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門學(xué)科應(yīng)用范圍廣泛。例如：氣象預(yù)報(bào)、水文預(yù)報(bào)、地震預(yù)報(bào)、產(chǎn)品質(zhì)量檢驗(yàn)、產(chǎn)品的可靠性評(píng)估、壽命預(yù)測(cè)、生物統(tǒng)計(jì)、衛(wèi)生統(tǒng)計(jì)、保險(xiǎn)、金融等各領(lǐng)域。經(jīng)典數(shù)學(xué)與概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是相輔相成，互相滲透的。第1章隨機(jī)事件及其概率隨機(jī)事件隨機(jī)事件的概率古典概型與幾何概型條件概率事件的獨(dú)立性

1.1隨機(jī)事件

確定性的——在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象隨機(jī)性的——在一定條件下，具有多種可能的結(jié)果，但事先又不能預(yù)知確切的結(jié)果1)拋擲一枚硬幣，其結(jié)果可能是正面朝上，也可能是正面朝下，并且在拋擲之前無法預(yù)知拋擲的結(jié)果。2)足球比賽，其結(jié)果可能是勝、平、負(fù)，但在比賽之前無法預(yù)知其結(jié)果。3)投擲一個(gè)骰子，其結(jié)果有6種，即可能出現(xiàn)1,2,3,4,5,6點(diǎn)，但每次投擲之前是無法預(yù)知投擲的結(jié)果的。4)股市的變化。一、隨機(jī)現(xiàn)象由于隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果事先不能預(yù)知,初看似乎毫無規(guī)律.然而人們發(fā)現(xiàn)同一隨機(jī)現(xiàn)象大量重復(fù)出現(xiàn)時(shí),其每種可能的結(jié)果出現(xiàn)的頻率具有穩(wěn)定性,從而表明隨機(jī)現(xiàn)象也有其固有的規(guī)律性.人們把隨機(jī)現(xiàn)象在大量重復(fù)出現(xiàn)時(shí)所表現(xiàn)出的量的規(guī)律性稱為隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.

二、隨機(jī)試驗(yàn)歷史上曾有人做過試驗(yàn)，著名的統(tǒng)計(jì)學(xué)家摩根、蒲豐和皮爾遜進(jìn)行了大量的拋擲均勻硬幣的試驗(yàn)，試圖證明出現(xiàn)正反面的機(jī)會(huì)均等。實(shí)驗(yàn)者n

rnrn/n

DeMorgan204810610.5181Buffon404020480.5069K.Pearson1200060190.5016K.Pearson24000120120.5005試驗(yàn)表明：雖然隨機(jī)現(xiàn)象在少數(shù)幾次實(shí)驗(yàn)或觀察中其結(jié)果沒有什么規(guī)律性，但通過長(zhǎng)期的觀察或大量的重復(fù)試驗(yàn)可以看出，試驗(yàn)的結(jié)果是有規(guī)律可循的，這種規(guī)律是隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果自身所具有的特征。

為了對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性進(jìn)行研究,就需要對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行重復(fù)觀察,我們把對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的觀察稱為隨機(jī)試驗(yàn),并簡(jiǎn)稱為試驗(yàn)，記為E.例如,觀察某射手對(duì)固定目標(biāo)進(jìn)行射擊;拋一枚硬幣三次,觀察出現(xiàn)正面的次數(shù);記錄某市120急救電話一晝夜接到的呼叫次數(shù)等均為隨機(jī)試驗(yàn).

隨機(jī)試驗(yàn)具有下列特點(diǎn):1.可重復(fù)性:試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行;2.可觀察性:試驗(yàn)結(jié)果可觀察,所有可能的結(jié)果是明確的;3.不確定性:每次試驗(yàn)出現(xiàn)的結(jié)果事先不能準(zhǔn)確預(yù)知.E1：拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，觀察正面和反面出現(xiàn)的情況；E2：擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，觀察其出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)；E3：記錄某網(wǎng)站一分鐘內(nèi)受到的點(diǎn)擊次數(shù)；E4：從某品牌的電視機(jī)中任取一臺(tái)，觀察其使用壽命。E5:從裝有三個(gè)白球（記號(hào)為1,2,3）與兩個(gè)黑球（記號(hào)為4,5）的袋中任取兩球，(1)觀察兩球的顏色；(2)觀察兩球的號(hào)碼隨機(jī)試驗(yàn)的例子隨機(jī)試驗(yàn)三、樣本空間

1、樣本空間：由隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能的結(jié)果組成的一個(gè)集合稱為試驗(yàn)E的樣本空間，記為S或Ω；2、樣本點(diǎn)：試驗(yàn)的每一個(gè)可能的結(jié)果（或樣本空間的元素）稱為一個(gè)樣本點(diǎn)，記為e。試給出E1—E5的樣本空間E1:若記ω1=正面，ω2=反面，則樣本空間為S={ω1,ω2}E2:S={1,2,3,4,5,6}E3:S={0,1,2,3,…}E4:E5:(1)若記ω00表示為兩個(gè)白球，ω11表示為兩個(gè)黑球

ω01表示為一白一黑，則S={ω00,ω11,ω01}(2)若觀察取出的兩球的號(hào)碼，則樣本點(diǎn)為ωij（取出第i號(hào)和第

j號(hào)球，于是，樣本空間有10個(gè)樣本點(diǎn)，則注：對(duì)于同一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，試驗(yàn)的樣本點(diǎn)與樣本空間是根據(jù)要觀察的內(nèi)容來確定的。四、隨機(jī)事件在概率論中,把具有某一可觀察特征的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果稱為事件。事件可分為以下三類：1.隨機(jī)事件：在試驗(yàn)中可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，簡(jiǎn)稱事件。通常用大寫字母A、B、C…表示。2.必然事件：在每次試驗(yàn)中都必然發(fā)生的事件。用字母S（或Ω）表示。3.不可能事件：在任何一次試驗(yàn)中都不可能發(fā)生的事件。用空集符號(hào)?表示。例如：在拋擲一枚骰子的試驗(yàn)中，“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”就是一個(gè)事件，在試驗(yàn)中可能發(fā)生也可能不發(fā)生。同樣，“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”與“點(diǎn)數(shù)為8”也分別是一個(gè)事件，前者在試驗(yàn)中必然發(fā)生的，即是必然事件，后者在試驗(yàn)中是不可能發(fā)生的，即是不可能事件。顯然，必然事件與不可能事件都是確定性事件，為討論方便，今后將它們看作是特殊的隨機(jī)事件。五、事件的集合表示按定義,樣本空間S是隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果(樣本點(diǎn))的全體,故樣本空間就是所有樣本點(diǎn)構(gòu)成的集合,每一個(gè)樣本點(diǎn)是該集合的元素.一個(gè)事件是由具有該事件所要求的特征的那些可能結(jié)果所構(gòu)成的,所以一個(gè)事件對(duì)應(yīng)于S中具有相應(yīng)特征的樣本點(diǎn)(元素)構(gòu)成的集合,它是S的一個(gè)子集.于是,任何一個(gè)事件都可以用S的某一子集來表示,常用字母A、B等表示。稱事件A發(fā)生，即指屬于該事件的某一個(gè)樣本點(diǎn)在隨機(jī)試驗(yàn)中出現(xiàn)。

特殊地，當(dāng)一個(gè)事件僅包含S的一個(gè)樣本點(diǎn)時(shí)，稱該事件為基本事件(或簡(jiǎn)單事件)。含有兩個(gè)或兩個(gè)以上樣本點(diǎn)的事件為復(fù)合事件。例1.1袋中裝有2只白球和1只黑球。從袋中依次任意地摸出2只球。設(shè)球是編號(hào)的：白球?yàn)?號(hào)、2號(hào)，黑球?yàn)?號(hào)。(i,j)表示第一次摸得i號(hào)球，第二次摸得j號(hào)球的基本事件，則這一試驗(yàn)的樣本空間為：S={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)}

而且可得到下列隨機(jī)事件A={第一次摸得黑球}={(3,1),(3,2)}；B={第一次摸得白球}={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3)}；C={兩次都摸得白球}={(1,2),(2,1)}；D={第一次摸得白球，第二次摸得黑球}={(1,3),(2,3)}；G={沒有摸到黑球}={(1,2),(2,1)}。返回事件遞可以選用文羊字表賣示，越事件爬也可切以表獻(xiàn)示為鎮(zhèn)樣本稼空間侵的子枯集，傾后者周反映禁了事沈件的偶實(shí)質(zhì)斥，且租更便挺于今裂后計(jì)歷算概膜率。還應(yīng)射注意給，同躺一樣姑本空壤間中而，不南同的凳事件擦之間賀有一慶定的砌關(guān)系卸，事件鈔之間襖的關(guān)鳴系是奪由他歪們所胞包含旁的樣案本點(diǎn)楚所決姓定的襖，這憂種關(guān)爹系可置以用隆集合數(shù)之間釣的關(guān)幫系來姐描述盞。六、許事件梁的關(guān)近系與悅運(yùn)算設(shè)試趨驗(yàn)E的樣遺本空扣間為S,A,B,Ak(k營(yíng)=1解,2李,…土)為事腦件1.事件貨的包缸含“A發(fā)生材必導(dǎo)戰(zhàn)致B發(fā)生”，即A中的應(yīng)樣本銜點(diǎn)一穴定屬縮慧于B急，記職為AB，稱事長(zhǎng)件B包含狀事件A,也稱憑事件A包含汪于事富件B。2.全A與B兩個(gè)更事件相等：A＝雪BAB且BA。例1.13.和事首件(p4灶)：“事件A與B至少就有一雖個(gè)發(fā)宰生”糟，記遣作A∪B2’n個(gè)事住件A1,A2,…貓,An至少有納一個(gè)跑發(fā)生幟，記就作2”劑可障列個(gè)運(yùn)事件A1,A2,…葛,An…至少唯有一扮個(gè)發(fā)坡生，萍記作4.積事谷件:A與B同時(shí)填發(fā)生哪，記進(jìn)作A∩B＝AB3’n個(gè)事辛件A1,A2,…納,An同時(shí)何發(fā)生題，記危作3”陷可列伙個(gè)事起件A1,A2,…藥,An,…同時(shí)倡發(fā)生糠，記拒作5.差事竿件：A－B稱為A與B的差綁事件毫,表現(xiàn)示事框件A發(fā)生著而B不發(fā)落生，區(qū)它是行由屬咸于A而不飼屬于B的樣櫻本點(diǎn)檢所構(gòu)管成的臘事件概。思考芬：何目時(shí)A-B=?何時(shí)A-B=A？例1.很1中B=C∪DC=B∩CD=B-C6.互斥的潑事件：AB剃=Φ,指事圍件A與B不能粥同時(shí)麻發(fā)生箭。又吳稱A與B互不漠相容。基本器事件鋸是兩兩腥互不居相容引的例1龍.1中：AB吼=ΦA(chǔ)C錘=Φ例1煎.17.互逆拔的事件A∪B＝S,且AB＝A與B對(duì)立投：事件A與B既不母能同充時(shí)發(fā)孕生，荷又不誕能同逃時(shí)不南發(fā)生旗。即遣在每撒次試甘驗(yàn)中逗，A與B有且憶僅有住一個(gè)夸發(fā)生此。對(duì)立沈事件則必為刊互不肢相容攀事件糞；互不子相容淋事件餓未必崖為對(duì)仔立事皆件。注:事件參的運(yùn)陷算滿濱足如敗下基首本關(guān)凝系:8.完備胖事件擴(kuò)組設(shè)是有限或可數(shù)個(gè)事件,若其滿足:稱是一個(gè)完備事件組.七、鑒事件績(jī)的運(yùn)際算1、胸交換爸律：A∪B＝B∪A，AB＝BA2、結(jié)合像律：(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)，(AB)C＝A(BC)3、分配脈律：(A∪B)C＝(AC)∪(BC)，(AB)∪C＝(A∪C)(B∪C)4、對(duì)偶蕩(De傍M從or吹ga束n)律：例1超.2甲、飯乙、返丙三桌人各朝向目員標(biāo)射除擊一創(chuàng)發(fā)子券彈，陽以A、B、C分別炊表示緣瑞甲、老乙、竊丙命釀中目扮標(biāo)，充試用A、B、C的運(yùn)稻算關(guān)托系表嫩示下原列事那件：或或例1覺.3解設(shè)A表示極事件搜“甲介種產(chǎn)語品暢脹銷”捕，B表示得事件獲“乙嫩種產(chǎn)胖品暢蕩銷”緞，則蜓由題壩意，醬事件沿“甲右種產(chǎn)厭品滯雕銷，躺且乙該種產(chǎn)乓品暢隊(duì)銷”稍表示躬為：因此賊對(duì)立旗事件裝為：即所凡求對(duì)承立事兵件為善：“甲種爛產(chǎn)品存暢銷補(bǔ)或乙迫種產(chǎn)擊品滯稀銷”。試求帶事件禽“甲見種產(chǎn)擁品滯雕銷，言且乙餓種產(chǎn)鳴品暢墊銷”慮的對(duì)鐵立事桌件。課堂仇練習(xí)潛：從通弓常的拾一副弊52雄張撲找克牌車中抽填取一蠅張，藥在下惱列情刻況下薦描述芬樣本津空間稿：(1典)不篩考慮存牌的根花色線；(2甘)考船慮牌桐的花澡色。解：(1)爆如果蘇不考糕慮整楊套牌摟的花港色，資樣本岸空間駱包含樹可由儉牌點(diǎn)A，二點(diǎn)叼，…，十犁點(diǎn)，J，Q，K組成恭，即捐可表飯示為Ω=喘{1卵,2彼,…,1譜3}左。(2跑)如果后考慮謝整套抬牌的繳花色膚，樣當(dāng)本空站間分窩別包楚含黑徒、紅夏、方啊、草君的A，…一直勵(lì)到K。如果旗用1,派2,臭3,夏4分別剝表示捷黑、韻紅、暖方、衫草，來則黑妹桃J可寫線成(傷1,湊11換)，膜樣本祖空間狗有5劑2個(gè)蠅樣本惡點(diǎn)：1.旺2愧隨揉機(jī)事聯(lián)件的刻概率一、賞頻率立及其昏性質(zhì)定義鹽1.斷若在貿(mào)相同梯條件俯下進(jìn)值行n次試飲驗(yàn),其中饒事件A發(fā)辣生沃的次吉數(shù)為rn(A)次,警則稱為事獄件A發(fā)生哥的頻率.頻率跟具有煤如下疏的性處質(zhì)對(duì)任鼠一事砍件A，0fn(A)1；對(duì)必廊然事層件S，耐fn(S)＝恨1；而fn()=熄0(3桑)可加糞性：影若事件A1,A2,裁…,An兩兩渾互不伶相容盛，則二、努概率從直繁觀上婆來看雪，事提件A的概悼率是戶指事伯件A發(fā)生塵的可的能性?P(A)應(yīng)具醫(yī)有何笨種性腿質(zhì)？?拋一府枚硬勤幣，銅幣值呆面向扮上的稼概率榜為多技少？擲一漁顆骰釣子，屋出現(xiàn)沾6點(diǎn)件的概逐率為償多少炎？出現(xiàn)國(guó)單數(shù)砌點(diǎn)的芳概率嘩為多杯少？向目贊標(biāo)射較擊，閘命中痰目標(biāo)暮的概銜率有餡多大趙？1、拾概率銹的統(tǒng)放計(jì)定多義定義2.設(shè)隨諒機(jī)事恥件A在n次重我復(fù)試批驗(yàn)中按發(fā)生卡的次吸數(shù)為rn(A)，若事臺(tái)件A發(fā)生杯的頻率fn(A)=rn(A)/n隨著試驗(yàn)塘次數(shù)n的增縮慧大而歲穩(wěn)定既地在紙某個(gè)強(qiáng)常數(shù)p(0≤p≤1儲(chǔ))附近室擺動(dòng)蔥，則蛇稱數(shù)p為事件A的概惑率，記亭為P(A).由定岔義，圾顯然歷有0≤P(A)≤1刮,P(S)=站1，P(φ)=獻(xiàn)0。2、優(yōu)概率事的公游理化懲定義定義3設(shè)E是隨帝機(jī)試網(wǎng)驗(yàn)，S是它爐的樣企本空導(dǎo)間，放對(duì)于E的每蒼一個(gè)蠅事件A，賦予上一個(gè)淡實(shí)數(shù)P(A)與之侵對(duì)應(yīng)絞，如蟻果集狼合函拖數(shù)P(·卷)具有警如下扛性質(zhì)知：①非負(fù)嶺性：對(duì)搭任意羅一個(gè)艇事件A，均有P(A)≥茅0；②完備能性：P(S)=1；③可列至可加丟性：若A1，A2，…評(píng)，An，…是兩畏兩互錢不相梁容的瘦事件禁，即Ai∩Aj=φ(i≠j,i,j=1,怠2,獵…)警，有則稱P(A)為事脅件A的概堆率。三、榆概率紋的性結(jié)質(zhì)①不可迅能事惱件的窯概率巨為零而，即P(φ)=腸0；②有限鑼可加想性，即若逢事件A1，A2，…宵，An兩兩偷互不迅相容金，則蘆有P(A1∪A2∪…勢(shì)∪An)=P(A1)+P(A2)鋸+…忙+P(An)③設(shè)A，B是兩短個(gè)事頂件，垮則P(商A-B)搶=P醒(A障)-P(起AB刪)特別絞地，創(chuàng)若AB，則AB=B，有P(俱A-B)鏟=P劉(A么)-P(粉B)，且P(旅A)≥P(漢B)，此性桑質(zhì)稱堵為單調(diào)斜不減識(shí)性。④互補(bǔ)良性對(duì)任所一事迎件A，有⑤加法冠公式對(duì)任止意兩謊個(gè)事私件A，B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)可推正廣:⑥可分妨性對(duì)任記意兩判事件A，B，有例1蓋.4某人閱外出儀旅游胞兩天罩，據(jù)撲天氣那預(yù)報(bào)葬，第退一天佳降水噸概率新為0.鐘6，第宵二天資為0.狗3，兩饞天都?xì)Ы邓Q的概超率為0.漫1，試估求：(1擋)“噴第一介天下唉雨而基第二雖天不補(bǔ)下雨巷”的后概率P(B)，(2燒)“第一怒天不鴿下雨附而第牽二天固下雨迎”的野概率P(C)，(3捧)“至少叼有一服天下繞雨”草的概代率P(D)，(4霜)“兩天盜都不男下雨生”的箭概率P(E)，(5僑)“至少階有一鄰天不灘下雨形”的貼概率P(F)。解設(shè)Ai表示需事件“第i天下倒雨”，i=1鄉(xiāng)豐，2信，由題蓄意P(A1)=訂0.剃6，P(A2)=鎖0.盯3，P(A1A2)=效0.塌1(1董)且可得（2啟）（3延）=0楚.6職+0塌.3-0.兼1=加0.般8（4基）（5跳）1.種3稼古徒典概藥型與躍幾何劍概型設(shè)隨趕機(jī)實(shí)驗(yàn)E滿足誘下列破條件1.但有限斥性：破試驗(yàn)臣的樣嗽本空菌間只住有有伐限個(gè)擱樣本屯點(diǎn)，棗即S＝{e1,e2,震…讀,en};2.等可哄能性起：每魚個(gè)基本襪事件的發(fā)急生是犧等可蠢能的牛，即P({e1})幫=P({e2})梯=…懼=P({en})落。則稱谷此試翠驗(yàn)E為古糊典概婆型，踩也稱等可援能概型毀。一、婚古典銹概型設(shè)事冰件A中所深含樣槐本點(diǎn)趣個(gè)數(shù)辛為k其，記樣慰本空叫間S中樣柜本點(diǎn)萬總數(shù)塊為n，則有古典瞧概型店中的決概率：由概率的公理化定義知稱此蕉概率狡為古典品概率.例1在盒牙子里趴有1映0個(gè)亮相同浪的球菜，分吳別標(biāo)態(tài)上號(hào)成碼1傅，2拆，…，1解0稠。從璃中任鎮(zhèn)取一盡球，遵求此康球的咬號(hào)碼蛋為偶斯數(shù)的云概率縫。解設(shè)m表示帳所取百的球即的號(hào)界碼為m(m=1抗,2帥,…,1協(xié)0)掘，則試進(jìn)驗(yàn)的例樣本詢空間爽為S={鐵1,著2,輛…,沸10與}，因此憐基本淹事件僑總數(shù)n=10。又設(shè)A表示“所取蒼的球交號(hào)碼斜為偶覽數(shù)”這一碰事件擾，則A={血2,緊4,毫6,警8,昌10伙}，所以A中含施有k=5個(gè)樣駛本點(diǎn)夏，故加法公式設(shè)完成一件事有m種方式，第i種方式有種方法，則完成該件事的方法總數(shù)為二、桿計(jì)算小古典妖概型撈的方嗎法－排列境與組蕩合乘法公式設(shè)完成一件事有m個(gè)步驟，其中第i步有種方法,必須通過m個(gè)步驟的每一步驟才能完成該事件，則完成該事件的方法總數(shù)為有重?cái)R復(fù)（胃放回游）排忠列從含肅有n個(gè)元逝素的白集合貧中隨桂機(jī)抽情取k次，乓每次勇取一尺個(gè)，妙記錄退其結(jié)膊果后鑼放回刊，將謀記錄像結(jié)果免排成適一列搭，nnnn共有nk種排漏列方燥式.無重倍復(fù)（行放回與）排脫列從含塌有n個(gè)元飾素的龜集合孟中隨黎機(jī)抽陳取k次，高每次場(chǎng)取一派個(gè)，嘗取后陡不放愛回，醉將所追取元萬素排放成一劑列，共有Pnk=n(n-1賠)…溝(n-k+1頓)=n!/拴(n-醉k)!種排追列方伴式.當(dāng)k=n時(shí)，幸稱其亦為全目排列秩，全伐排列挺的種奮數(shù)為Pnn=n飄!nn-1n-2n-k+1組合從n個(gè)不同元素中任取k個(gè)的不同組合總數(shù)為稱為組合系數(shù).古典右概率灶的計(jì)胞算關(guān)加鍵在勞于計(jì)夸算基仙本事?lián)浼偩軘?shù)和肌所求挪事件匙包含頸的基個(gè)本事蠢件數(shù)繁。由于沫樣本籌空間逝的設(shè)古計(jì)可廁由各烏種不享同的糟方法匯，因離此古牲典概獅率的殺計(jì)算拖就變辰得五革花八每門、業(yè)紛繁據(jù)多樣雪。但辛可歸求納為改如下可幾種炮基本固類型朝。1、抽球買問題例2設(shè)盒距中有3個(gè)白襪球，姻2個(gè)斤紅球詢，現(xiàn)鑄從盒中任抽2個(gè)球，智求取銅到一把紅球滾一白左球的贊概率量。解設(shè)A——取到跡一紅曬球一本白球答:床取到樣一紅君一白哭的概其率為敢3/覆5。一般魔地，括設(shè)盒低中有N個(gè)球醫(yī)，其肯中有M個(gè)白社球，滅現(xiàn)從聽中任抽n個(gè)球，繳則這n個(gè)球中傾恰有k個(gè)白競(jìng)球的跳概率摧是在實(shí)帶際中充，有氣許多床問題擦的結(jié)詢構(gòu)形陵式與恭抽球轟問題叫相同橫，把公一堆披事物值分成館兩類問，從醉中隨筐機(jī)地膨抽取球若干淺個(gè)或扮不放塞回地穗抽若典干次融，每陣次抽灘一個(gè)親，求“被抽瞧出的叔若干棚個(gè)事喉物滿慌足一倒定要累求”的概杠率。篇如產(chǎn)成品的媽檢驗(yàn)堅(jiān)、疾惰病的根抽查謝、農(nóng)校作物豈的選盞種等警問題再均可稱化為臂隨機(jī)救抽球剩問題側(cè)。我框們選譯擇抽浮球模柿型的度目的獲在于違是問故題的送數(shù)學(xué)陜意義蓬更加樂突出短，而配不必縣過多撓的交捉代實(shí)歇際背響景。2、分球情入盒蛙問題解(1癥)設(shè)A：每盒角恰有通一球恢，B：空一擴(kuò)盒例3將3煩個(gè)球映隨機(jī)裂的放惹入3胳個(gè)盒炸子中寶去，倘問：（1倒）每勾盒恰楊有一疲球的浴概率此是多曬少？（2芒）空如一盒肚的概新率是炒多少晌？一般冊(cè)地，候把n個(gè)球隨春機(jī)地強(qiáng)分配濱到N個(gè)盒恭子中糠去(nN)，則每蒸盒至夜多有一球的掛概率登是：某班賴級(jí)有n個(gè)人棋(n3接65)，問至彈少有甲兩個(gè)秘人的亂生日販在同陷一天的概叔率有墊多大州？?分球伏入盒丹問題組，或常稱球稅在盒懇中的調(diào)分布請(qǐng)問題吧。有社些實(shí)住際問急題可飲以歸鄙結(jié)為泡分球衰入盒線問題航，只丟是須擇分清泰問題遠(yuǎn)中的“球”與“盒”，不再可弄咽錯(cuò)。(1瞧)生纏日問懶題：n個(gè)人與的生劍日的基可能賠情況近，相診當(dāng)于n個(gè)球鄰放入N=體36污5個(gè)盒罩子中勒的可桂能情悼況(跪設(shè)一抵年3滿65位天)言；(2響)旅謠客下盈車問介題(把電梯經(jīng)問題胃)：春一列動(dòng)火車蜻中有n名旅恰客，驕它在N個(gè)站除上都旦停車?yán)?，旅漫客下凍車的膊各種棋可能孫場(chǎng)合申，相閃當(dāng)于n個(gè)球霜分到N個(gè)盒咽子：暫旅客賺：“球”，站混：“盒子”；(3居)住拐房分紐奉配問曬題：n個(gè)人形被分改配到N個(gè)房喜間中讀；(4溫)印笨刷錯(cuò)惰誤問沙題：n個(gè)印鞠刷錯(cuò)拉誤在服一本廊具有N頁書來的一筋切可徐能的封分布炮，錯(cuò)預(yù)誤球，帶頁盒子示。3.分組帝問題例4.30帽名學(xué)惹生中所有3奇名運(yùn)籍動(dòng)員熄，將拖這3丟0名篇學(xué)生幫平均退分成搭3組派，求道：（1?。┟空娼M有窮一名左運(yùn)動(dòng)廟員的稀概率朵；（2慈）3皂名運(yùn)禮動(dòng)員蹲集中憂在一致個(gè)組干的概裝率。解設(shè)A：每組泰有一部名運(yùn)匹動(dòng)員向；B：3名殿運(yùn)動(dòng)爆員集舌中在米一組一般地，將n個(gè)不同元素分為m組(n>m),各組元素?cái)?shù)目分別為ni，，則分法的總數(shù)為：4.隨機(jī)究取數(shù)江問題例5.從1枯到2膠00征這2掃00宏個(gè)自盞然數(shù)奇中任割取一售個(gè),(1虜)求吩取到乳的數(shù)臺(tái)能被糖6整災(zāi)除的懇概率單；(2哨)求售取到母的數(shù)餡能被拋8整輩除的把概率島；(3拒)求耕取到春的數(shù)海既能彈被6凱整除陪也能促被8騾整除往的概捏率。解右設(shè)A為事斷件“取尸到的嘴數(shù)能么被6皇整除吐”,B為事朝件“取到砌的數(shù)番能被8整除”N(AB)=朽[20薯0/難24膽]=煮8N(A)=任[20組0/該6]航=3擊3N(B)=造[2獎(jiǎng)00逐/8帳]=大25(1告)P(A)=33代/2練00,(溜2)P(B)=1/蜓8,情(3)P(AB)=1/艱25問：恩取到胞的數(shù)幅既不鋪能被蜜6整抱除又般不能都被8估整除吊的概攝率N(S)=趣20再0,三、對(duì)幾何運(yùn)概型古典楊概型用只考逝慮了臘有限罪等可鞠能結(jié)缸果的丑隨機(jī)猶試驗(yàn)輝的概匯率模猶型.這里譽(yù)我們箱進(jìn)一歸步研榨究樣束本空把間為浮一線售段、暖平面鋤區(qū)域診或空筍間立大體等骨的等騎可能誰隨機(jī)夏試驗(yàn)霞的概宗率模盲型—幾何賞概型.(1)設(shè)樣本空間S是平面上某個(gè)區(qū)域,它的面積記為;

(2)向區(qū)域S上隨機(jī)投擲一點(diǎn),這里“隨機(jī)投擲一點(diǎn)”的含義是指該點(diǎn)落入S內(nèi)任何部分區(qū)域A的可能性只與區(qū)域A的面積成比例,而與區(qū)域A的位置和形狀無關(guān).向區(qū)域S上隨機(jī)投擲一點(diǎn),該點(diǎn)落在區(qū)域

A的事件仍記為A,則A概率為

,其中為常數(shù),而,于是,得,從而事件A的概率為幾何位概率注:

若樣本空間S為一線段或一空間立體,則向S“投點(diǎn)”的相應(yīng)概率仍可用上式確定,但應(yīng)理解為長(zhǎng)度或體積.例6某人歪午覺信醒來,發(fā)覺嶼表停絨了,他打嫩開收票音機(jī),想聽盆電臺(tái)返報(bào)時(shí),設(shè)電輝臺(tái)每盯正點(diǎn)吧是報(bào)朱時(shí)一猾次,求他(她)等待端時(shí)間那短于10分鐘拳的概腎率.解捉以分得鐘為鉛單位,記上托一次于報(bào)時(shí)墓時(shí)刻玩為0,則下一次腿報(bào)時(shí)歇時(shí)刻顫為60,于是,這個(gè)補(bǔ)人打辣開收碌音機(jī)摩的時(shí)掛間必箏在(0湖,6厚0)內(nèi),記“等央待時(shí)鴉間短丑于10分鐘”為事沃件A,則有S=(0,60),A=(50,60)S于是例7思(會(huì)面熄問題)甲、乓乙兩任人相蛛約在7點(diǎn)到8點(diǎn)之預(yù)間在室某地箱會(huì)面,先到盡者等弄候另襪一人20分鐘,過時(shí)城就離滴開.如果束每個(gè)隸人可轉(zhuǎn)在指涌定的著一小罪時(shí)內(nèi)且任意轎時(shí)刻南到達(dá),試計(jì)傍算兩蹈人能嫩夠會(huì)貧面的熊概率.解高記7點(diǎn)為導(dǎo)計(jì)算焰時(shí)刻折的0時(shí),以分象鐘為思單位,x,貝y分別窩記甲竿、乙進(jìn)到達(dá)短指定孟地點(diǎn)啊的時(shí)撲刻,則樣繡本空對(duì)間為以A表示李事件項(xiàng)“兩掘人能挖夠會(huì)粘面”,則顯孤然有由題斜意,這是啦一個(gè)幕幾何解概型訓(xùn)問題,于是練習(xí):設(shè)有n個(gè)顏沸色互尊不相剛同的遼球，委每個(gè)欣球都毛以概棒率1津/N落在N(鹿n≤混N)個(gè)盒和子中乞的每薦一個(gè)盾盒子嚷里，霉且每矩個(gè)盒卵子能稻容納礎(chǔ)的球絡(luò)數(shù)是借沒有融限制牲的，臥試求福下列鋼事件爹的概檔率：A=肅{某指腹定的辯一個(gè)曠盒子伴中沒介有球捆}B=滋{某指敢定的n個(gè)盒蛾子中捐各有粱一個(gè)般球}C=些{恰有n個(gè)盒帆子中雅各有辣一個(gè)闊球}D=躍{某指鐘定的側(cè)一個(gè)懂盒子儲(chǔ)中恰藝有m個(gè)球}(m≤賣n)解把n個(gè)球踢隨機(jī)喝地分墨配到N個(gè)盒簽子中蹄去(n≤N),總共茂有Nn種放伯法。陳即基固本事孕件總潔數(shù)為Nn。事件A：指定賄的盒吩子中孩不能歪放球墳，因扔此，n個(gè)球緞中的綱每一倘個(gè)球熊可以系并且居只可吼以放喝入其鍵余的N-1個(gè)盒麥子中育。總縣共有竄(N–1)n種放普法。偉因此事件B：指定勸的n個(gè)盒梨子中村，每授個(gè)盒版子中兄各放急一球援，共無有n!種放肅法，莊因此事件C：恰有n個(gè)盒虎子，炒其中結(jié)各有踏一球只，即N個(gè)盒排子中隊(duì)任選豆出n個(gè)，賄選取窩的種絞數(shù)為CNn在這n個(gè)盒鋪?zhàn)又械「鞣峙渑湟话閭€(gè)球奏，n個(gè)盒御中各腦有1憲球(放同上拐)，n!種放庭法；賭事件C的樣姜本點(diǎn)巷總數(shù)帝為事件D：指定興的盒獸子中勞，恰陡好有m個(gè)球梅，這m個(gè)球米可從n個(gè)球汪中任五意選絲式取，巨共有Cnm種選育法，四而其快余n-m個(gè)球彼可以級(jí)任意似分配銅到其傍余的N-1個(gè)盒顫子中刷去，皺共有馬(N-1礙)n-甩m種，停所以觸事件D所包設(shè)含的萬樣本欄點(diǎn)總抖數(shù)為Cnm·(N-1念)n-瀉m一批水同型昌號(hào)產(chǎn)欠品由辰甲、稈乙兩廚廠生從產(chǎn)，倒產(chǎn)品維結(jié)構(gòu)芳如圖1.蛙4煤條件友概率甲廠乙廠合計(jì)合格品4756441119次品255681合計(jì)5007001200問(1弱)從這條批產(chǎn)陳品中綠任取雄一件逮，則羽這件妙產(chǎn)品箭為次苦品的棉概率皇為多究少？(2艱)假翅設(shè)被構(gòu)告知乳取出遼的產(chǎn)左品是救甲廠蛾生產(chǎn)剪的，胖那么短這件蛛產(chǎn)品莖為次磚品的紐奉概率凈又是跡多大擇呢？記“和取出俯的產(chǎn)電品是近甲廠呆生產(chǎn)就的”柔這一蹄事件撓為A，“取渠出的闊產(chǎn)品英為次戚品”這一密事件琴為B在事略件A發(fā)生觀的條島件下笑，求嚇事件B發(fā)生蜻的概田率，這就歌是條竿件概榮率，愁記作P(B|A)一、京條件跪概率盤的概斯念本例嚇中，事實(shí)哭上，偉容易牧驗(yàn)證反，對(duì)排一般眼的古倦典概康型，曬若事扭件A、B是古躺典概臘型的伍樣本拴空間S中的斷兩個(gè)植事件浴，其撇中A含有nA個(gè)樣吩本點(diǎn)膚，事控件AB含有nAB個(gè)樣烈本點(diǎn)盒，則二、關(guān)條件零概率烏的定屆義定義候設(shè)A、陵B是S中的越兩個(gè)膠事件，P(A)>0，則稱為事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率.稱為無條件概率。一般地,.(1忽)?“條件雹概率重”是冒“概坦率”診嗎？何時(shí)P(B|A)=P(B)?何時(shí)P(B|A)>P(B)?何時(shí)P(B|A)<P(B)?概率田定義設(shè)E是隨墓機(jī)試恒驗(yàn)，S是它腳的樣擁本空茫間，六對(duì)于E的每花一個(gè)戴事件A，賦予導(dǎo)一個(gè)長(zhǎng)實(shí)數(shù)P(A)與之薦對(duì)應(yīng)爪，如止果集性合函良數(shù)P(·萍)具有候如下彼性質(zhì)別：①非藝負(fù)性渣：對(duì)窯任意溉一個(gè)層事件A，均有P(A)≥脫0性；②規(guī)范霸性：P(S)=1；③可列必可加皇性：糟若A1，A2，…門，An，…是兩刷兩互超不相沒容的曲事件瓶序列斃，即Ai∩Aj=φ(i≠j,i,j=1,強(qiáng)2,古…)叼，有P(A1∪A2∪…湖∪An∪…浮)=P(A1)+P(A2)蒜+…朗+P(An)+險(xiǎn)…則稱P(A)為事霉件A的概衰率?？梢郧膀?yàn)證測(cè)，條勝件概眉率P(·|母A)符合識(shí)概率危所需想滿足拼的三漫條基獅本性飲質(zhì)：設(shè)A是一老事件,且P(A)>桿0,則①非膽負(fù)性隔：對(duì)羨任意邪一個(gè)澤事件B，均有凝0≤P(B|A)≤耽1；②規(guī)范習(xí)性：P(S|A)=片1；③可列糊可加增性：弱若A1，A2，…甚，An，…兩兩細(xì)互不省相容億，則蘋有條件扔概率共也滿犬足概率率的嶺基本治性質(zhì)條件廢概率犁的一宜般計(jì)孤算方有法：(1晴)根灘據(jù)A發(fā)生授以后談的情波況,乘在“縮減逗的樣淹本空仿間”A中直渡接計(jì)惱算B發(fā)生林的概妖率，塞就得翼到P(鏟B|鑼A)(2灰)在挽樣本匯空間S中，已先求P(A)，P(AB)，再按磚定義棄計(jì)算P(跨B|謝A)注:凈1.用維款恩圖會(huì)表達(dá)(1械)式.若事脆件A已發(fā)罪生,則為絕使B也發(fā)模生,試驗(yàn)循結(jié)果鴿必須續(xù)是既程在A中又亭在B中的刷樣本鵲點(diǎn),即此意點(diǎn)必蓄屬于AB烤.因已跡知A已發(fā)獵生,故A成為街計(jì)算爽條件富概率P(B|詞A)的新的蒸樣本介空間.例1一盒峰中混題有1池00燃只新炊、舊壞乒乓腿球，煙各有們紅、鄰白兩垂色，劇分類冷如下抬表。叼從盒膀中隨咸機(jī)取氏出一隙球，臘若取莖得的原是一復(fù)只紅站球，筐試求噸該紅陸球是葬新球濕的概笑率。紅白新4030舊2010設(shè)A--從盒位中隨掙機(jī)取江到一喂只紅榨球。B--從盒損中隨找機(jī)取琴到一噸只新巷球。AB縮減塑的樣艙本空沿間B中所蜓含樣銳本點(diǎn)燥個(gè)數(shù)A發(fā)生豎后的畢縮減揭樣本扒空間購所含稱樣本學(xué)點(diǎn)的總醋數(shù)例2設(shè)袋向中有3個(gè)白色球，躁2個(gè)糾紅球鉗，現(xiàn)乞從袋往中不放確回地仰連取靜兩個(gè)歐。已賤知第塑一次安取到禮紅球暖，求期第二磁次也焦取到葵紅球殼的概橡率。解設(shè)A表示“第一遭次取鄭到紅蔽球”,B表示“第二冊(cè)次取訴到紅構(gòu)球”方法咐一：縣縮減蒙樣本蘋空間A中的鋪樣本抓點(diǎn)數(shù)方法二：在5個(gè)球中不放回連取兩球的取法有種，由定鋒義得例3設(shè)某裂人從強(qiáng)一副貍撲克抹中(這52打張)唉任取粘13轉(zhuǎn)張，史設(shè)A為“至少單有一初張紅宜桃”，B為“恰有拿2張古紅桃”，C為“恰有睛5張屋方塊”，求士條件笑概率P(B|A)，P(B|C)解設(shè)A、B、C為隨脊機(jī)事集件，P(A)>民0，則有乘法秀公式P(AB)＝P(A)P(B|韻A)當(dāng)P(AB)>泰0時(shí)，機(jī)上式還霉可推尖廣到寇三個(gè)郊事件跌的情辛形：P(AB胳C)＝P(A)P(B|念A(yù))P(C|賀AB)一般寫地，n個(gè)隨衡機(jī)事施件A1,A2,…啦,An，且P(A1A2…An-躬1)>0,有下夜列公化式：P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)...P(An|A1…An－1)三、夸概率參的乘夠法公獸式又AB水=B圍A,及A,墻B的對(duì)鬧稱性灘可得順到:P(包AB瓶)＝不P(燦B)火P(陸A|鋤B)抵P(垮B)鞠>0利用辣它們盜可計(jì)吼算兩遷個(gè)事葡件同推時(shí)發(fā)謀生的跪概率.例4甲、招乙、兆丙三瘋?cè)藚⑾浼用媲嚦橹酆灒琶咳朔甑脑嚧╊}通狗過不理放回邁抽簽輔的方劃式確火定。虜假設(shè)財(cái)被抽律的1速0個(gè)雨試題喬中有剃4個(gè)離難題籃簽，觀按甲虧、乙啞、丙溝次序貨抽簽俘，試嫂求甲激抽到惡難題功簽，棕甲和敲乙都嫁抽到覽難題寫簽，地甲沒譜抽到逐難題稻簽而識(shí)乙抽度到難購題簽誘，甲墨、乙嚇、丙臨都抽很到難質(zhì)題簽盟的概鄙率。解設(shè)A、B、C分別潔表示噸甲、純乙、撤丙抽粉到難穿題簽征的事彼件返回例5盒中糖有3孤個(gè)紅哀球，冊(cè)2個(gè)必白球板，每畫次從豈袋中益任取等一只乒，觀暢察其征顏色桌后放四回，椒并再敞放入掠一只互與所街取之軌球顏造色相撈同的濃球，團(tuán)若從般盒中逝連續(xù)綢取球炎4次泳,試酬求第蔬1、刻2次幣取得遺白球碰、第盒3、掏4次跌取得東紅球癢的概蓄率。解設(shè)Ai為第i次取制球時(shí)戒取到責(zé)白球側(cè)，則四、碎全概泛率公壟式在概培率論踩中，結(jié)我們雨經(jīng)常堡利用摧已知鈔的簡(jiǎn)技單事計(jì)件的祝概率橡，推替算出車未知跡的復(fù)透雜事糖件的西概率棟。為科此，伍常須葛把一間個(gè)復(fù)鮮雜事躍件轉(zhuǎn)咳化為廚在不籠同情捷況或否不同斬原因檔下發(fā)希生的貸若干堆個(gè)互睡不相搞容的乖簡(jiǎn)單讓事件低的和箏，再命由簡(jiǎn)占單事完件的喝概率瞇求得囑最后順結(jié)果至。如在限例4中，份如果智把甲俊、乙咽、丙疼抽到兔難題壯簽的算事件樂作為期上述德的復(fù)心雜事如件，曉則可沸用分完解的戴方法濕計(jì)算貞如下號(hào)：例4甲抽降到難蒙簽的哄概率例4乙抽錯(cuò)到難蕉簽的際概率紅，注逐意到丙抽哀到難育簽的仿概率故，注櫻意到可將梨此類臂問題中推廣甲到一卻般情搜況。定理蜻1設(shè)試伍驗(yàn)E的樣扯本空巖間為S，設(shè)A1,A2,…接,An…是一跪個(gè)完處備事傷件組董，且P(Ai)>御0,菜(i=1度,2約,…),則對(duì)峽任一須事件B,有此公詳式稱撐為全概省率公蒸式。注：公式貓指出餐，在桂復(fù)雜按情況郵下直牧接計(jì)誼算P(滔B)不易燃時(shí)，捏可根怒據(jù)具裹體情肚況構(gòu)饒?jiān)霺一劃如分{Ai}，潤(rùn)使事膝件B發(fā)生慎的概鞭率是泥各事侄件Ai發(fā)生掛的條掌件下舅引起云事件B發(fā)生迫的概魚率的至總和被。特別恥地：若取n=振2，A1A2……………AnB例5市場(chǎng)搬上有吩甲、賺乙、寨丙三倍家工捐廠生與產(chǎn)的株同一會(huì)品牌海產(chǎn)品泥，已憲知三渣家工授廠的醬市場(chǎng)悔占有具率分販別為株1/何4、購1/膠4、醋1/的2，夜且三演家工古廠的背次品簡(jiǎn)率分鹽別為稀2％田、1朽％、傻3％卵，試睛求市嗎場(chǎng)上呀該品擋牌產(chǎn)論品的巨次品暗率。B解設(shè)B：買到哭一件厭次品圾；A1：買到獻(xiàn)一件欺甲廠磁的產(chǎn)既品；A2：買到擦一件瓦乙廠尿的產(chǎn)魄品；A3：買到栗一件貌丙廠治的產(chǎn)犬品。例6某工壁廠生由產(chǎn)的濫產(chǎn)品績(jī)以1巾00茅件為隊(duì)一批里，假度定每橫一批封產(chǎn)品紫中的冊(cè)次品如最多吳不超此過4暴件，烤且具粉有如呆下的編概率宇：一批閥產(chǎn)品捧中的暑次品縫數(shù)破0炮1筐2回3撥4概渴率鍬0.領(lǐng)1歸0.矮2勺0.燙4組0.準(zhǔn)2詢0.厲1現(xiàn)進(jìn)宏行抽柳樣檢顧驗(yàn)，膨從每把批中晃隨機(jī)炒抽取晨10嬌件來低檢驗(yàn)瀉，若早發(fā)現(xiàn)蠶其中講有次圍品，野則認(rèn)騙為該眼批產(chǎn)訊品不銜合格迷。求頌一批照產(chǎn)品蝦通過每檢驗(yàn)涉的概激率。解設(shè)A表示線事件“一批租產(chǎn)品回通過輩檢驗(yàn)”，Bi(i=0松,1吵,2霧,3太,4絲式)表示“一批參產(chǎn)品塌含有i件次嫌品”，則B0,B1,B2,B3,B4組成蜘樣本畜空間讓的一濾個(gè)劃河分，返回例6的結(jié)質(zhì)果提干供給裂人們跑這樣記的信盆息，夸即若走工廠飛生產(chǎn)瓣了1衡00棋0批遵產(chǎn)品條，則牌可以烏通過玩檢驗(yàn)穩(wěn)，以彎合格窗品出益產(chǎn)的尚約有緞81且4批疑，而叢作為裳合格黨品出親售的蹤蝶產(chǎn)品詞，每況批中嗓仍可敘能含滾有i(i=0預(yù),1桃,2臣,3愚,4升)件次挑品。深因此擠，就質(zhì)顧客東而言啦，希秋望所刃買的份產(chǎn)品粥中含濤次品喚少的計(jì)概率蓄要大江，即嬸概率P(Bi|A)誘(i=0壓,1潛,2芳,3鼓,4禾)中最鎖大的摸一個(gè)絨所對(duì)訪應(yīng)i的越朽小越芒好，屬這就成是下畏面討酸論的曬另一體個(gè)重吃要公巷式—貝葉請(qǐng)斯公軍式。貝葉躺斯公遵式討評(píng)論的暴是事責(zé)件已己經(jīng)發(fā)收生，甜要考疲慮使倦事件榜發(fā)生胞的各矩種原膜因，陸情況斑或途棚徑的鋒可能丟性大脈小。例6中，斬顧客劣買到冊(cè)的一忙批合尚格品劫中，規(guī)含次桑品數(shù)歸為0敲的概崇率是餐多少炸？類似垃可以潤(rùn)計(jì)算捷顧客噴買到項(xiàng)的一勺批合砍格品英中，下含次洗品數(shù)向?yàn)?色、2取、3掘、4岸件的歷概率流分別傲約為言0.愉22耍1、眠0.親39丈8、酷0.薯17孤9、仆0.姑08毅0。五、貝葉端斯公誓式(Ba俗ye呼s)定理皮2除設(shè)試戚驗(yàn)E的樣愧本空懼間為S，設(shè)A1,A2,…議,An…是一湯完備察事件腦組，償則對(duì)織任一稱事件B,P(B)>0,有此式什稱為Ba雜ye境s公式摸。公式似中，P(Ai)和P(Ai|B)分別絲式稱為邊原因椅的先驗(yàn)仗概率和后驗(yàn)暴概率，P(Ai)是在庸沒有核進(jìn)一著步消城息（講不知擺道B是否故發(fā)生勞）的健情況將下諸段事件棍發(fā)生替的概踩率。獻(xiàn)當(dāng)獲利得新賽的消埋息（量知道B發(fā)生牌），陪人們鳴對(duì)諸魄事件弱發(fā)生章的概縮慧率P(Ai|B)有了渣新的滑估計(jì)騾，Ba柱ye族s公式乓從數(shù)晉量上塞刻畫鉆了這教種變?yōu)榛Ｈ粢怀瞬∪宋锤邿暗?泡0℃兩，醫(yī)蒙生要竿確定璃他患庸有何悲種疾身病，慮則必鍋須考旅慮病針人可膊能發(fā)杰生的訴疾病A1,A2,…紅,An。這里挖假定掃一個(gè)紅病人廟不會(huì)供同時(shí)馬得幾姻種病榴，即A1,A2,…怎,An互不漿相容哲，醫(yī)灶生可臣以憑寫以往吐的經(jīng)湯驗(yàn)估傲計(jì)出怠發(fā)病診率P(Ai)，這通懶常稱談為先驗(yàn)灰概率。進(jìn)業(yè)一步假要考坐慮的位是一兵個(gè)人扶高燒水到4欺0℃好時(shí)，筑得Ai這種哄病的糠可能芒性，碌即P(Ai|B)的大霞小，寺它可割由Ba程ye界s公式脂計(jì)算將得到夜。這帶個(gè)概圖率表訂示在邁獲得盜新的轟信息鋼(即送知病庸人高仰燒4熔0℃吃)后竄，病臥人得A1,A2,…莖,An這些沉疾病昌的可薦能性促的大殊小，叔這通士常稱掩為后驗(yàn)友概率。有厚了后罩驗(yàn)概盛率，抱就為適醫(yī)生夕的診漂斷提第供了將重要虧依據(jù)率。若我惡們把B視為今觀察叨的“結(jié)果”，把A1,A2,…淡,An理解感為“原因”，則Ba家ye良s公式偷反映裕了“因果”的概其率規(guī)含律，悲并作罵出了“由果躬朔因”的推癢斷。例7有甲擇乙兩詢個(gè)袋應(yīng)子，紐奉甲袋快中有侍2個(gè)麥白球廊，1瘋個(gè)紅瓜球，償乙袋舉中有萍2個(gè)踐紅球低，1踢個(gè)白獅球。麥這6估個(gè)球掉手感串上不魚可區(qū)想別。幼今從塌甲袋水中任春取一充球放念入乙梨袋，委攪勻村后再稠從乙疊袋中牢任取紡一球坡，問灰此球槍是紅顫球的戰(zhàn)概率乖？甲乙解設(shè)A——從甲袋放入乙袋的是白球；

——從甲袋放入乙袋的是紅球；B——從乙袋中任取一球是紅球。思考例7中，慰若已顯知取孔到一格個(gè)紅正球，蠅則從當(dāng)甲袋樓放入昆乙袋鏟的是雜白球拴的概尾率是城多少拘？答例8根據(jù)廊以往罪的臨兄床記腫錄，薄某種鋸診斷塔是否以患有族癌癥殲的檢帆查有軋如下臨效果運(yùn)。若智以A表示獲事件“試驗(yàn)桐反應(yīng)龜為陽啊性”，以C表示朽事件“被檢屈查者恐確實(shí)意患有尺癌癥”，則桶有現(xiàn)對(duì)叔一大墻批人鄉(xiāng)豐進(jìn)行巖癌癥蕉普查爛，設(shè)防被查愉的人穗確實(shí)找患有勉癌癥鋸的概費(fèi)率是P(C)=勢(shì)0.蛛00耍5，試求脾當(dāng)一瞇個(gè)被摸檢查錦者其迎檢驗(yàn)半結(jié)果劈燕為陽算性時(shí)攔，那蓄么他例確實(shí)畜患癌價(jià)癥的識(shí)條件科概率模是多粥少？銷即求P(C|A)。解本例勞中P(C)=0袍.0秀05就是煩先驗(yàn)脊概率烈，而P(C|A)=漆0.撞08懷7為后忘驗(yàn)概索率。水可見飾比先肚驗(yàn)概燥率提毛高了另近1濃6.塵4倍遼。雖推然診烤斷的蜜可靠爛性P(A|C)較高俯，但芽是確傲診(繩即被私檢查閣診斷頃患有記癌癥滲者確或?qū)嵱袧?rùn)癌癥尼)的抱可能攤性很聚小，癢所以粗還必亦須提陸高診識(shí)斷的渠準(zhǔn)確杠率。例9數(shù)字弦通訊滿過程洞中，擾信源魚發(fā)射悠0、距1兩殃種狀迎態(tài)信垂號(hào)，合其中冬發(fā)0悅的概股率為竿0.園55枕，發(fā)犬1的傲概率芳為0撥.4蒼5。產(chǎn)由于辟信道而中存撲在干壺?cái)_，夕在發(fā)胳0的貞時(shí)候堆，接竄收端屆分別吧以概大率0嗚.9浴、0陳.0景5和剝0.漢05牙接收箏為0猛、1梅和“不清”。在棚發(fā)1猶的時(shí)怪候，喇接收毀端分奶別以稠概率興0.撇85叮、0擔(dān).0滔5和剪0.撿1接梨收為驕1、銳0和“不清”?，F(xiàn)汗接收孔端接齡收到捆一個(gè)“1”的信值號(hào)。孟問發(fā)皂端發(fā)遞的是員0的擋概率盡是多躺少?)A(P)AB(P)A(P)AB(P)A(P)AB(P+＝＝0.滾06粉7解設(shè)A--瞎-發(fā)射公端發(fā)推射0裕，B--斧-接收猴端接值收到巷一個(gè)“1”的信鮮號(hào)。0啞(0賭.5值5)0紹1栽不清(0泥.9反)(0摸.0胞5)(0肆.0墓5)1埋(0答.4打5)1垮0脊不清(0啞.8園5)(0寶.0怨5)(0焰.1什)P(A|B)=條件剃概率條件吸概率柄小隨結(jié)縮減拐樣本瓦空間定義蝴式乘法康公式全概鐮率公安式貝葉亡斯公局式例1袋中倦有a只紅蔑球，b只白抖球b≠0輝，現(xiàn)從晚此袋跨中取快兩次堂球，鎖每次漢各取濱一只假球，價(jià)分有雞放回拘和無確放回催兩種層情況剪，記A表示稼事件“第一煮次所臥取的勻球是泳紅色宿的球”，B表示鄭事件“第二信次所狡取的憲球是齒紅色麥的球”。求第淹一次臘取到堤是紅魚球的愈概率痛；第恭二次想取到咬紅球?qū)幍母排R率；靜在第民一次含取到禍紅球艙的條乞件下刑，第肆二次倍仍取立到紅倆球的劃概率診。解（1竊）有掩放回（2拐）無炒放回1.借5寶事件夸的獨(dú)幸立性返回設(shè)A、B是隨昨機(jī)試崗驗(yàn)E的兩椅個(gè)事賄件，曉若P(A)>晴0，則可矛定義P(B|A)，即A發(fā)生惡條件濫下的B發(fā)生增的概錯(cuò)率。一般津地，P(B)≠P(B|A)，即事紙件A發(fā)生晃對(duì)事掙件B發(fā)生為的概干率是勢(shì)有影鄉(xiāng)豐響的遍。如例萌1（講2）踏中而且止此時(shí)在特摔殊情絡(luò)況下府，一居個(gè)事燙件的董發(fā)生葛對(duì)另去一個(gè)脫事件降發(fā)生匆的概膊率沒碰有影豆響，夏如例膊1戰(zhàn)(1信)中而且劇此時(shí)例1定義1若兩個(gè)事件A、臂B滿足P(AB)＝P(A)P(B)則稱A、B獨(dú)立銀，或站稱A、B相互疏獨(dú)立革。由定餐義可利知，栗必然蒜事件S和不您可能貧事件φ與任尊何事豆件都球是相萍互獨(dú)彩立的混。注:

兩事件互不相容與相互獨(dú)立是完全不同的兩個(gè)概念。當(dāng)，時(shí)，A、B相互獨(dú)立與互不相容不能同時(shí)成立.

定理1設(shè)A，槳B是兩瓶事件饑，若A，姥B相互死獨(dú)立減，且P(B)>絹0，則P(A|B)=P(A).反之垃亦然.一、步兩個(gè)樓事件擴(kuò)的獨(dú)保立性例2從一慶副不鐵含大惹小王掩的撲克煎牌中滔任取窩一張,記A={抽到K},B={抽到鏡的牌算是黑迎色的},問事榴件A、B是否盟獨(dú)立?解欲方法才一掩利用頭定義鄙判斷.由得到,故事件A、B獨(dú)立.方法犧二利用襪條件殿概率蘭判斷.由得到,故事件A、B獨(dú)立.獨(dú)立脫性的忽概念兄可推查廣到魂多個(gè)壞事件注：判斷羅事件寧的獨(dú)宇立性禿，可灘利用邁定義它或通咐過計(jì)學(xué)算事止件概誕率來心判斷釣。但烏在實(shí)里際應(yīng)映用中磨，常查根據(jù)辛問題承的實(shí)柴際意俘義去勝判斷啦兩事限件是浸否獨(dú)質(zhì)立。例如震：甲朱、乙渾兩人括向同婦一目歡標(biāo)射購擊，記事稻件A=衡{甲命俱中}室，B=盤{乙命元中}因“我甲命另中”籮并不姥影響里“乙姥命中定”的渠概率貨，故A,雖B獨(dú)立愿。定理2設(shè)事件A、B相互獨(dú)立，則事件A與，與B，與也相互獨(dú)立。證明由，得定義2若三戚個(gè)事墊件A、B、C同時(shí)滿足寨下面稱四個(gè)順等式虎：則稱新事件A、B、C相互示獨(dú)立。（*抗）式罩成立炊，則稱事件A、B、C兩兩割相互繁獨(dú)立衰。注意蘇：（*債）不欣能推迫出（刺**絨），田（*配*）于也不否能推拋出（徒*）墊。兩使式必粗須同鴨時(shí)成久立，誕才能碌稱A、B、C相互居獨(dú)立。由定選義可轎知：A、B、C相互邀獨(dú)立聚必有A、B、C兩兩母獨(dú)立謀，反無之不猛真。二、竄有限浩個(gè)事省件的無獨(dú)立擱性則稱n個(gè)事憤件A1，A2，…孩，An相互投獨(dú)立稠。設(shè)A1，A2，…，An是n(n>1)個(gè)事件，若對(duì)任意k

個(gè)事件均滿足等式定義3設(shè)A1，A2，…造，An是n個(gè)事由件,若其為中任禾意兩隸個(gè)事件歷之間胃均相乎互獨(dú)較立,則稱A1，A2，…易，An兩兩蘆獨(dú)立.性質(zhì)1

若事件A1,A2,…,An相互獨(dú)立,則其中任意個(gè)事件也相互獨(dú)立

性質(zhì)2

若n個(gè)事件A1,A2,…,An相互獨(dú)立,則將A1,A2

,…,An中任意m個(gè)事件換成它們的對(duì)立事件,所得的n個(gè)事件仍相互獨(dú)立.事件擾獨(dú)立呆性的薪應(yīng)用湯舉例1、加法成公式誕的簡(jiǎn)掀化：若頸事件A1，A2，…惰，An相互躲獨(dú)立援,鳥則2、乘法酸公式歸的簡(jiǎn)刷化：若事件A1，A2，…詳，An相互槽獨(dú)立嗓,瓜則例3甲、成乙兩浩射手至獨(dú)立臂地射落擊同伶一目載標(biāo)，牽他們具擊中熔目標(biāo)流的概您率分貢別為移0.這9與裕0.葡8，剝求在占一次