孔祥星合作者：張玄、侯振挺中南大學(xué)2012年5月27日馬爾可夫骨架過程在PERT網(wǎng)絡(luò)中的應(yīng)用2012年“隨機圖與復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)”學(xué)術(shù)研討會統(tǒng)籌方法想泡壺茶喝。當時的情況是：沒有開水，開水壺要洗，茶壺茶杯要洗，茶葉沒有拿，怎么辦？bstcd12345活動1（洗茶壺）需要1分鐘，活動2（燒開水）需要15分鐘，活動3（洗茶壺）需要1分鐘，活動4（洗茶杯）需要1分鐘，活動5（拿茶葉）需要2分鐘。

在華羅庚先生所提的統(tǒng)籌方法中，項目中每個活動的持續(xù)時間是固定的，只要安排好工序就可以求出項目的完工時間。后來有人假設(shè)項目中每個活動的持續(xù)時間是相互獨立服從負指數(shù)分布的隨機變量，可用馬氏鏈來研究項目的完工時間分布。我們進一步把每個活動的持續(xù)時間推廣為相互獨立服從一般分布的隨機變量，把每個活動已實施的時間作為補充變量，從而構(gòu)建一個帶有吸收態(tài)的馬爾可夫骨架過程，通過其向后方程得到了PERT網(wǎng)絡(luò)完工時間分布的解析表達式。PERT網(wǎng)絡(luò)

用表示一個具有一個源點s和一個匯點t的有向非循環(huán)網(wǎng)絡(luò)，其中，表示節(jié)點（事件）集，表示弧（活動）的集合，對于任意個一個活動，其持續(xù)時間是服從一般分布的隨機變量。令表示弧的起點，表示弧的終點，一條有向路徑是一個弧序列且弧序列滿足如下的條件，且。PERT網(wǎng)絡(luò)定義1令和分別表示以節(jié)點為起點和終點的弧的全體，分別可以表示如下：定義2設(shè)，，則割集定義為如果一個割集是空集，則稱為一致有向割集。PERT網(wǎng)絡(luò)定義3在項目的實施過程中，在時刻每個活動都會處于活動、休眠的或空閑的三種狀態(tài)之一：（1）活動：如果某個活動在時刻t正在施工則稱該活動處于活動的狀態(tài)。（2）休眠：如果某個活動已經(jīng)完工，但是中的活動沒有都完工，此時中的活動不能開始施工，稱處于休眠的狀態(tài)。（3）空閑：如果某個活動既不是活動的也不是不活動的，則稱為空閑的。PERT網(wǎng)絡(luò)設(shè)是PERT網(wǎng)絡(luò)的一條路徑，路徑的完工時間很明顯不一定等于各個活動的完工時間之和。為了計算路徑的完工時間分布，可采用如下的方法，令從而包含所有活動的子圖的完工時間等于路徑的完工時間。PERT網(wǎng)絡(luò)如圖（a）所示，設(shè)路徑，則，從而。則子圖如圖（b）所示，路徑的完工時間與子圖的完工時間相等。

PERT網(wǎng)絡(luò)在圖(b)中所有的UDC為(1,2),(2,3),(1,4),(3,4),(5)。所有UDC的容許二劃分如下表所示，其中，*表示該活動處于休眠狀態(tài)。表1

如上令和表示所有UDC中活動的和休眠的活動。對，令表示活動已實施的時間，令表示活動的持續(xù)時間分布。則剩余馬氏骨架過程時間的分布可表示為以活動的已實施的時間作為補充變量則表1的狀態(tài)變?yōu)楸?馬氏骨架過程令則是一個狀態(tài)空間為的馬爾科夫骨架過程。令表示的不連續(xù)時間點（在時刻有一個活動完工），則是馬氏骨架過程的骨架時序列。為了表述的方便，把表2中10個狀態(tài)分別用1,2，……，10來表示，馬爾科夫骨架過程在完成狀態(tài)1后轉(zhuǎn)移到狀態(tài)2或4或6，完成某項活動馬氏骨架過程后繼續(xù)向后轉(zhuǎn)移，最終到達狀態(tài)10，從而整個項目完成。馬爾科夫骨架過程的狀態(tài)轉(zhuǎn)移示意圖如下所示：馬氏骨架過程令表示PERT網(wǎng)絡(luò)的完工時間，則可以通過馬爾科夫骨架過程的向后方程計算項目工期的分布。

令表示從狀態(tài)9轉(zhuǎn)移到狀態(tài)10的完工時間分布，其中活動5已實施的時間長度為，則

馬氏骨架過程

令表示從狀態(tài)8轉(zhuǎn)移到狀態(tài)10的完工時間分布，其中活動3已實施的時間長度為，則馬氏骨架過程

令表示從狀態(tài)1轉(zhuǎn)移到狀態(tài)10的完工時間分布，其中活動1和2已實施的時間長度分別為和則馬氏骨架過程路徑本的感完工繳時間喇等于樹子圖拉的完茫工時截間，即馬笛爾科勵夫骨編架過疲程從悲狀態(tài)1轉(zhuǎn)移楚到狀唉態(tài)10的時獸間。馬氏骨架過程為了固說明樹本章坦所得妥解析去結(jié)果膏的有加效性貞，給塵出一住個具體租的例鄭子，酸設(shè)活吉動5的持轟續(xù)時鐮間服伍從參障數(shù)的-分布蹲，則艱其密手度函安數(shù)和輛剩余籍時間售分布憐為設(shè)活宏動1,擦2,齒3,割4,底6的持業(yè)續(xù)時楚間分返布分槍別服得從參宗數(shù)為1,遺2,刑3,挑4,超6的負滅指數(shù)始分布零。例子路徑得的完炎工時貪間等喂于子鞏圖協(xié)的完凍工時間，刊即馬弄氏骨傾架過鄙程出從初贈始狀擔(dān)態(tài)1到達宿吸收隊態(tài)10的時摘間。河完工巴時間袍的分季布、拌期望考與方激差如元下：例子[1尾]Ku撓lk刪ar配niV.椅,Ad獻la訴kh糖aV.陸M洽ar腫ko券v王an含d秀Ma爸rk止ov幟-R血eg拋en轟er狼at首iv趕e毀PE嶺RT筋n村et迷wo桐rk瘋s.鳳O串pe喚ra填ti究on爽s仔Re苦se粥ar企ch犁,飽19凱86批,受34拿:7態(tài)69稅~7則81[2壇]Az區(qū)ar寸onA.井,Ka芒ta阿gi墨riH.迷,Sa光ka膛waM.君,紹et立a意l.足M騎ul定ti得-o后bj紅ec衛(wèi)ti糞ve勇r黃es歲ou映rc咬e其al痕lo去ca晃ti皮on顆p陽ro勺bl割em咱i苗n挨PE愁RT晉n脂et狗wo書rk尸s.存E犁ur桐op車ea綢n共Jo粥ur剪na孕l(wèi)中of師O校pe系ra貝ti滅on瘦al勻R構(gòu)es仔ea銹rc燈h,狡2慎00簡6,泄1辛72叫:8蟲38冷~8臭54[3聚]Az世ar繡onA.絡(luò),Ta蜂va串kk大ol灘i-脹Mo蒼gh騙ad藏da戰(zhàn)mR.糟.揉A蔽mu箭lt賊i-拔ob攝je浩ct臘iv號e輛re分so濱ur迅ce皮a活ll寒oc饞at鉤io慢n粘pr特ob偶le丘m乳in捆d賭yn鍬am回ic峽P駁ER暗T蜓ne黨tw之or過ks嘗.近Ap噸pl調(diào)ie透d蒜Ma爹th莖em造at擴ic叨s登an移d慢Co什mp梯ut鏟at成io嫁n,所2戶00饞6,莫1止81急:1籮63律~1臥74[4雖]Az否ar沫onA,Ka傍ta欄gi鹽riH,惰K迎at殲o膝K,et虛al.另Lo宣ng傷es害t輸pa沸th惕a午na堵ly會si染s駱in席n始et蠻wo垃rk館o令f螞qu望eu欲es載.攻Eu筋ro紐奉pe林an反J爪ou會rn律al歷o閘f衫Op嘆er魂at即io邊na耽l甩Re盾se璃ar咐ch乏,椅20裁06騾,拜17務(wù)4:暖13粗2~旗14依9[5辨]萍Ko居ng惱X挑.氧X.鈔,結(jié)Zh性an縱g連X.盈,政a裳ndHo點uZ.延T旦.,服M脂ar燦ko廈v儀sk蓬el瘦et乞on