大學(xué)生數(shù)學(xué)試題及答案考試形式：閉卷考試時(shí)間：150分鐘滿(mǎn)分：100分一、(本題滿(mǎn)分10分)求極限lim1(n21n222n2(n1)2)。n2n【解】S1(n21n222n2(n1)2)n2n1(1(1)21(2)21(n1)2)nnnn1(1(0)21(1)21(2)21(n1)2)nnnnni1n11().2nni0i1limSlim[n11().]2nnnnni011x2[0,1]在上連續(xù)，故1-x2dx存在，且因011-x2dx=lim1()2.1n1i，nn0ni01-x2dx4。11-x2dxlim110所以，limSnnn0n1t2dt二、(本題滿(mǎn)分10分)請(qǐng)問(wèn)a,b,c為何值時(shí)下式成立limc.xx0sinxax1t2b【解】注意到左邊得極限中，無(wú)論a為何值總有分母趨于零，因此要想極限存在，分子必b0，當(dāng)b0時(shí)使用洛必達(dá)法則得到須為無(wú)窮小量，于是可知必有1t2dtx2limx0(cosxa)1x2lim，xx0sinxax1t20由上式可知：當(dāng)x0時(shí)，若a1a，則1，則此極限存在，且其值為；若01t2dtx2lim2，lxim0sinxaxx1t2x0(cosx1)1x2b綜上所述，得到如下結(jié)論：a1,b0,c0;或a1,b0,c2。021tan2010xdx三、(本題滿(mǎn)分10分)計(jì)算定積分I。【解】作變換xt，則2Idttan2010tdt102(1)dt2dtI21cott1tant1tan2010t2010201000022I2dt，20所以，I。41四、(本題滿(mǎn)分10分)求數(shù)列{n}中的最小項(xiàng)。n1給數(shù)列是函數(shù)yx當(dāng)分別取1,2,3,,n,時(shí)的數(shù)列。x【解】因?yàn)樗鵻又yx12(lnx1)且令y0xe，x容易看出：當(dāng)0xe時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。xey0y011y(e)eyx有唯一極小值e。所以，x1111，因此數(shù)列n的最小項(xiàng)。n而2e3{}23333enn1。五、(本題滿(mǎn)分10分)求n0xn【解】考慮冪級(jí)數(shù)，其收斂半徑為1，收斂區(qū)間為(1,1)，n1n0x(1)n1n1收斂；nx1時(shí)，當(dāng)n1n0n0x1n1發(fā)散，因此其收斂域?yàn)閇1,1)。nx1時(shí)，當(dāng)n1n0n0設(shè)其和函數(shù)為s(x)，則tnn1dtxtnx1xx(1,1)()n1dtxn1x，stdt0x。00n0n0n0x1s(x)(1x)(1x)2.于是，故，ene2。(e1)2s(e1)n1n0六、(本題滿(mǎn)分10分)設(shè)f(x)sinx(xt)f(t)dt，其中f為連續(xù)函數(shù)，求f(x)。x0【解】原方程可寫(xiě)為f(x)sinxxf(t)dttf(t)dt，xx00上式兩端對(duì)x求導(dǎo)得xf(t)dtxf(x)xf(x)cosxf(t)dt（*）x()cosxfx00兩端再對(duì)x求導(dǎo)得即fxfxf(x)sinxf(x)()()sinx這是一個(gè)二階線性常系數(shù)非齊次方程，由原方程知f(0)0，由（*）式知f(0)1。特征方程為210i，sinxCcosx齊次通解為yC12設(shè)非齊次方程特解為y*x(asinxbcosx)，代入f(x)f(x)sinx得a0,b1。2sinxCcosx2xcosx則非齊次方程通解為yC12由初始條件y(0)0和y(0)1可知，C12,C0。12O(0,0)A(,0)yasinx(a0)中，求一條曲七、(本題滿(mǎn)分10分)在過(guò)點(diǎn)和的曲線族3(1)(2xy)dy的值最小。線，使沿該曲線從到的積分ydxLOAL【解】I(a)(1y3)dx(2xy)dyL[1a3sin3x(2xasinx)acosx]dx04a43a3。I(a)44a20，得a1(a1舍去)I(1)80令；又，則Ia在()a1處取極小值，且=1是()在(0,+∞)內(nèi)的唯一極值點(diǎn)，故=1時(shí)()取最小值，aIaaIa則所求曲線為ysinx(0x)。f(1)f(1)1，八、(本題滿(mǎn)分10分)設(shè)在[?1,1]上有二階fx()導(dǎo)數(shù)，且f''(x)12。證明：1．f'(x)1，∈[?1,1]。x2fx2．=在[?1,1]上有且只有一個(gè)實(shí)根。()x【證明】f()1.由泰勒公式f(1)f(x)f(x)(1x)(1x)2，(1,x)2f()f(1)f(x)f(x)(1x)(1x)2,(x,1)2兩式相減并整理得(1x2)(1x2)f()f()2f(x)22(1x2)(1x2)(1x2)(1x2)f()f()于是,f(x)448(1x2)(1x2)1由于max1x182，因此，|f'(x)|1，x[1,1]。2.令F(x)f(x)-x,x[1,1]。則F(1)f(1)1，F(xiàn)(1)f(1)1-1。322但F(x)在[?1,1]()[?1,1]上至少有一個(gè)零點(diǎn)。Fx在上連續(xù)，由介值定理知，又由1可知F'(x)f'(x)-10，故F(x)在[?1,1]上嚴(yán)格單調(diào)，從而至多有一個(gè)零點(diǎn)。這樣F(x)在[?1,1]f(x)=[?1,1]上有且只有一個(gè)實(shí)x在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，即根。九、(本題滿(mǎn)分10分)設(shè)f(x)在(-，)為連續(xù)函數(shù),則ax3f(x2)dx12xf(x)dx。a200(x)xt3f(t2)dt,則(x)x3f(x2),【解】令0(x)1x2tf(t)dt(x)1x2f(x2)2xx3f(x2),2，則20(x)(x)所以(x)(x)c即c為常數(shù)。，(0)(0)0(x)(x)而(a)(a)特別地x3f(x2)dx1a2xf(x)dx。2a即00十、(本題滿(mǎn)分10分)設(shè)f(x)是[0,1]上的連續(xù)函數(shù)，證明1edx1ef(y)dy1。f(x)00【證法一】設(shè)D{(x,y)|0x1,0y1}。由于f(x)f(y)1f(x)f(y)，e所以1edx1edyedxdyf(x)f(y)f(x)f(y)00D1dx1(1f(x)f(y))dy001dx1dy1f(x)dx1dy1dx1f(y)dy0000