一、利用勾股定理證明:斜邊和一直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角

三角形全等

已知：如圖，在Rt△ABC和Rt△中，∠C=∠C'=90°，AB=A′B′，AC=A′C′.求證：△ABC≌△A′B′C′.問(wèn)題1：

在八年級(jí)上冊(cè)中，我們?cè)?jīng)通過(guò)畫圖得到結(jié)論：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等．學(xué)習(xí)了勾股定理后，你能證明這一結(jié)論嗎？證明：在Rt△ABC和Rt△中,∠C=∠=90°,根據(jù)勾股定理，得BC=，.又∵AB=A′B′，AC=A′C′，∴BC=B′C

′.∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）.

二、利用勾股定理畫出一條線段等于已知長(zhǎng)度為無(wú)理數(shù)的線段

問(wèn)題2：

我們知道數(shù)軸上的點(diǎn)有的表示有理數(shù)，有的表示無(wú)理數(shù)，你能在數(shù)軸上畫出表示的點(diǎn)嗎？解：以直角邊長(zhǎng)為2、3的直角三角形的斜邊長(zhǎng)為，由此在數(shù)軸上找出表示3的點(diǎn)A，過(guò)A點(diǎn)作直線垂直于OA，并在垂線上截取AB=2，以原點(diǎn)O為圓心，OB為半徑作弧，弧與數(shù)軸交在原點(diǎn)右側(cè)點(diǎn)C處，點(diǎn)C即為表示的點(diǎn).如下圖所示：拓展（1）類似地，利用勾股定理，可以作出長(zhǎng)為，

，

，…的點(diǎn)，如下圖：拓展（2）我們也可以用下圖中的方式構(gòu)造線段為，，，…的點(diǎn)，如下圖：練習(xí)1

在數(shù)軸上畫出表示的點(diǎn).

【點(diǎn)撥】作一條長(zhǎng)度等于無(wú)理數(shù)的線段的方法不唯一，如，除了上題中構(gòu)造直角邊為1,2的直角三角形，也可以借助直角邊為

，的直角三角形得到，我們一般盡量利用直角邊為整數(shù)的直角三角形作出.練習(xí)2如圖,以數(shù)軸上的單位線段長(zhǎng)為邊作一個(gè)正方形,以原點(diǎn)為圓心,以正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為半徑,畫弧交數(shù)軸于點(diǎn)A,則A點(diǎn)表示的數(shù)是（）練習(xí)3

在如圖所示的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)皆為1．請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格上畫出長(zhǎng)度分別為，，的線段.

解：如圖所示，圖中AB，CD，EF即為所求，AB==，CD==，EF==.

三、利用勾股定理解決較復(fù)雜的幾何問(wèn)題問(wèn)題3：

如圖，折疊長(zhǎng)方形的一邊AD，使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的長(zhǎng).解：∵四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，∴AD=BC=10cm,∠B=∠C=90°.∵△ADE與△AFE關(guān)于AE對(duì)稱，∴AF=AD=10cm，DE=FE.在Rt△ABF中，由勾股定理得，BF==6cm，∴FC=BC-BF=4cm.設(shè)CE=xcm，則EF=ED=CD-CE=(8-x)cm,在Rt△ECF中，由勾股定理得EC2+FC2=EF2∴x2+42=(8-x)2解得，x=3.即EC的長(zhǎng)為3cm.練習(xí)4

如圖，將矩形ABCD沿直線AE折疊，頂點(diǎn)D恰好落在BC邊上F點(diǎn)處，已知CE=3cm，AB=8cm，求圖中陰影部分的面積．

解：由折疊可知△ADE和△AFE關(guān)于AE成軸對(duì)稱，故AF=AD，EF=DE=DC-CE=8-3=5．所以CF=4，設(shè)BF=xcm，則AF=AD=BC=x+4．在Rt△ABF中，由勾股定理，得82+x2=(x+4)2.解得x=6，故BC=10．所以陰影部分的面積為：10×8-2S△ADE=80-50=30(cm2).1.在數(shù)軸上表示無(wú)理數(shù)的關(guān)鍵是：利用勾股定理聯(lián)想到，即以a，b為直角邊長(zhǎng)構(gòu)造直角三角形，則斜邊長(zhǎng)為.以原點(diǎn)為圓心，以為半徑作弧即可在數(shù)軸上表示無(wú)