第節(jié)大數(shù)定律-概率論與數(shù)理統(tǒng)計李長青

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第五章大數(shù)定律與中心極限定理一、切比雪夫不等式定理1設有隨機變量X

，則對任一實數(shù)恒有或者寫成等價的形式：第一節(jié)

大數(shù)定律證以連續(xù)型隨機變量的情形為例，在離散的情形只需把下面的求積分變換為求和即可.設X

的密度函數(shù)為則有切比雪夫不等式示意圖Ox若隨機量X

服從正態(tài)分布：則由切比雪夫不等式可得：在前一章中已經指出：故有比較上述結果！例1

設每次試驗中，事件A發(fā)生的概率為0.75,試用Chebyshev不等式估計,n

多大時,才能在

次獨立重復試驗中,事件

A出現(xiàn)的頻率在0.74~0.76之間的概率大于0.90?設

表示

次獨立重復試驗中事件A發(fā)生的X~B(n,0.75)要使，求n問題解次數(shù),則即即由Chebyshev不等式，

=0.01n,故令由此解得即至少要進行18750次試驗才能達到要求.二、大數(shù)定律定義設{Xn}為一隨機變量序列，a

為一常數(shù)，若對任意的有則稱{Xn

}依概率收斂于a,記作(*)（*）式也可代之以其等價形式定理2（貝努利大數(shù)定律）設nA

是n

次獨立重復試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，p

是事件A

在每次試驗中發(fā)生的概率，則對于任意給定的正數(shù)有證顯然，nA

是隨機變量，將其記為X

，則且對隨機變量有使用切比雪夫不等式，又由此得令注意到概率的非負性，有即這說明這也是前面所提到的頻率穩(wěn)定性的一個數(shù)學表示.在概率的統(tǒng)計定義中,事件A

發(fā)生的頻率頻率與

有較大偏差是小概率事件,貝努里(Bernoulli)大數(shù)定律的意義“穩(wěn)定因而在n

足夠大時,可以用頻率近似代替p.稱為依概率穩(wěn)定.于”事件A在一次試驗中發(fā)生的概率是指：這種穩(wěn)定定理3Chebyshev大數(shù)定律相互獨立,(指任設隨機變量序列則有或且具有相同意給定n>1,相互獨立)的數(shù)學期望和方差:定理的意義當

足夠大時,算術平均值幾乎是一常數(shù).具有相同數(shù)學期望和方差的獨立r.v.序列的算術平近似代替可被均值依概率收斂于數(shù)學期望.數(shù)學期望算術均值例2設,…為獨立同分布的隨機變量序列,均服從參數(shù)為λ

的泊松分布,因為從而滿足定理3的條件,由定理知定理4傲(辛欽姐大數(shù)羨定律)設相互獨立，服從同一分布，且具有塵數(shù)學迎期望

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