2.1.1傾斜角與斜率第二章直線和圓的方程問(wèn)題引入

點(diǎn)是構(gòu)成直線的基本元素．在平面直角坐標(biāo)系中，可以用坐標(biāo)表示點(diǎn)，那么，如何用坐標(biāo)表示直線呢？.1.在平面直角坐標(biāo)系中,結(jié)合具體圖形,探索確定直線位置的幾何要素.(數(shù)學(xué)抽象)2.理解直線的傾斜角和斜率的概念.(數(shù)學(xué)抽象)3.掌握傾斜角和斜率之間的關(guān)系.(邏輯推理)4.掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)核心素養(yǎng)新知探索直線的傾斜角1.傾斜角的定義(1)當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，我們以x軸為基準(zhǔn)，x軸

與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角.(2)當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為0°.2.直線的傾斜角α的取值范圍為

.正向0°≤α<180°思考任何一條直線都有傾斜角嗎？不同的直線其傾斜角一定不相同嗎？答案由傾斜角的定義可以知道，任何一條直線都有傾斜角；不同的直線其傾斜角有可能相同，如平行的直線其傾斜角是相同的.新知探索直線的斜率1.直線的斜率把一條直線的傾斜角α的

叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫(xiě)字母k表示，即k＝

.正切值tanα新知探索圖示

傾斜角(范圍)α＝0°0°<α<90°α＝90°90°<α<180°斜率(范圍)k＝0k>0不存在k<0斜率與傾斜角的對(duì)應(yīng)關(guān)系新知探索過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式過(guò)兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k＝

小試身手1.任一直線都有傾斜角，都存在斜率.(

)2.任何一條直線有且只有一個(gè)斜率和它對(duì)應(yīng).(

)3.若直線的傾斜角為α，則0°≤α≤180°.(

)4.經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式適用于任何直線.(

)××××題型一：直線傾斜角例1

(1)已知直線l經(jīng)過(guò)第二、四象限，則直線l的傾斜角α的取值范圍是（）A.0°≤α<90° B.90°≤α<180°C.90°<α<180° D.0°<α<180°解析直線傾斜角的取值范圍是0°≤α<180°，又直線l經(jīng)過(guò)第二、四象限，所以直線l的傾斜角α的取值范圍是90°<α<180°.典例精析題型一：直線傾斜角(2)(多選)設(shè)直線l過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，它的傾斜角為α，如果將l繞坐標(biāo)原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°，得到直線l1，那么l1的傾斜角可能為A.α＋45° B.α－135°C.135°－α D.α－45°解析通過(guò)圖象可知：當(dāng)0°≤α<135°，l1的傾斜角為α＋45°；當(dāng)135°≤α<180°時(shí)，l1的傾斜角為45°＋α－180°＝α－135°.典例精析√√規(guī)律總結(jié)求直線傾斜角的范圍直線傾斜角的概念和范圍(1)求直線的傾斜角主要根據(jù)定義來(lái)求，其關(guān)鍵是根據(jù)題意畫(huà)出圖形，找準(zhǔn)傾斜角，有時(shí)要根據(jù)情況分類討論.(2)注意傾斜角的范圍.題型一：直線傾斜角跟蹤訓(xùn)練1

(1)已知直線l向上方向與y軸正向所成的角為30°，則直線l的傾斜角為_(kāi)_________.解析有兩種情況：①如圖(1)，直線l向上方向與x軸正向所成的角為60°，即直線l的傾斜角為60°.②如圖(2)，直線l向上方向與x軸正向所成的角為120°，即直線l的傾斜角為120°.你是否想到是兩種情況呢？變式訓(xùn)練題型一：直線傾斜角(2)已知直線l1的傾斜角α1＝15°，直線l1與l2的交點(diǎn)為A，直線l1和l2向上的方向所成的角為120°，如圖，則直線l2的傾斜角為_(kāi)_______.解析設(shè)直線l2的傾斜角為α2，l1和l2向上的方向所成的角為120°，所以∠BAC＝120°，所以α2＝120°＋α1＝135°.變式訓(xùn)練題型二:直線的斜率例2經(jīng)過(guò)下列兩點(diǎn)的直線的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并確定直線的傾斜角α.(1)求經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A(2,3)，B(4,5)的直線的斜率，并確定直線的傾斜角α；解

(1)存在.直線AB的斜率即tanα＝1，又0°≤α<180°，所以傾斜角α＝45°.典例精析(2)求經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A(a，2)，B(3,6)的直線的斜率.題型二:直線的斜率例2經(jīng)過(guò)下列兩點(diǎn)的直線的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并確定直線的傾斜角α.(1)求經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A(2,3)，B(4,5)的直線的斜率，并確定直線的傾斜角α；解(2)求經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A(a，2)，B(3,6)的直線的斜率.當(dāng)a＝3時(shí)，斜率不存在；當(dāng)a≠3時(shí)，直線的斜率典例精析(2)求經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A(a，2)，B(3,6)的直線的斜率.規(guī)律總結(jié)求直線的斜率方法求直線的斜率(1)運(yùn)用公式的前提條件是“x1≠x2”，當(dāng)直線與x軸垂直時(shí)，斜率是不存在的.(2)斜率公式與兩點(diǎn)P1，P2的先后順序無(wú)關(guān).變式訓(xùn)練求直線的斜率變式訓(xùn)練2

(1)若直線的傾斜角為135°，則直線的斜率為_(kāi)____.(2)過(guò)點(diǎn)P(－2，m)，Q(m，4)的直線的斜率為1，則m的值為_(kāi)____.解析(1)由斜率公式k=tan135°＝-1(2)由斜率公式，得m＝1.題型三：直線的傾斜角和斜率的應(yīng)用例3已知兩點(diǎn)A(－3,4)，B(3,2)，過(guò)點(diǎn)P(1,0)的直線l與線段AB有公共點(diǎn).(1)求直線l的斜率k的取值范圍(2)求直線l的傾斜角α的取值范圍.解(1)如圖，由題意可知kPA＝kPB＝要使l與線段AB有公共點(diǎn)，則直線l的斜率k的取值范圍是(－∞，－1]∪[1，＋∞).典例精析題型三：直線的傾斜角和斜率的應(yīng)用例3已知兩點(diǎn)A(－3,4)，B(3,2)，過(guò)點(diǎn)P(1,0)的直線l與線段AB有公共點(diǎn).(1)求直線l的斜率k的取值范圍(2)求直線l的傾斜角α的取值范圍.解

(2)由題意可知直線l的傾斜角介于直線PB與PA的傾斜角之間，又PB的傾斜角是45°，PA的傾斜角是135°，∴α的取值范圍是45°≤α≤135°.典例精析規(guī)律總結(jié)直線的傾斜角和斜率的應(yīng)用總結(jié)傾斜角和斜率的應(yīng)用(1)傾斜角和斜率都可以表示直線的傾斜程度，二者相互聯(lián)系.(2)涉及直線與線段有交點(diǎn)問(wèn)題常數(shù)形結(jié)合利用公式求解.變式訓(xùn)練題型三：直線的傾斜角和斜率的應(yīng)用變式訓(xùn)練3已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2).(1)求直線AB和AC的斜率；(2)若點(diǎn)D在線段BC(包括端點(diǎn))上移動(dòng)時(shí)，求直線AD的斜率的變化范圍.變式訓(xùn)練題型三：直線的傾斜角和斜率的應(yīng)用變式訓(xùn)練3已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2).(1)求直線AB和AC的斜率；(2)若點(diǎn)D在線段BC(包括端點(diǎn))上移動(dòng)時(shí)，求直線AD的斜率的變化范圍.解

(2)如圖所示，當(dāng)D由B運(yùn)動(dòng)到C時(shí)，直線AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直線AD的斜率的變化范圍是跟蹤練習(xí)√1.(多選)下列說(shuō)法正確的是（）A.若α是直線l的傾斜角，則0°≤α<180°B.若k是直線的斜率，則k∈RC.任一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率D.任一條直線都有斜率，但不一定有傾斜角√√跟蹤練習(xí)√2.下面選項(xiàng)中，兩點(diǎn)確定的直線的斜率不存在的是（）A.(4,2)與(－4,1) B.(0,3)與(3,0)C.(3，－1)與(2，－1) D.(－2,2)與(－2,5)解析D項(xiàng)，因?yàn)閤1＝x2＝－2，所以直線垂直于x軸，傾斜角為90°，斜率不存在.跟蹤練習(xí)3.若經(jīng)過(guò)A(m，3)，B(1,2)兩點(diǎn)的直線的傾斜角為45°，則m等于（）A.2 B.1 C.－1 D.－2解析由題意