復(fù)變函數(shù)與積分變換第一章1第一頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期五

設(shè)G為一平面點(diǎn)集

1)z0為G中任意一點(diǎn)。如果存在z0的一個(gè)鄰域，該鄰域內(nèi)的所有點(diǎn)都屬于G，那么稱z0為G的內(nèi)點(diǎn)。如果G內(nèi)的每個(gè)點(diǎn)都是它的內(nèi)點(diǎn)，則稱G為開集.

2)平面上不屬于G的點(diǎn)的全體稱為G的余集，記作GC，開集的余集稱為閉集。3)z0是一點(diǎn)，若在z0的任一鄰域內(nèi)既有G的內(nèi)點(diǎn)又有G的外點(diǎn)，則稱z0是G的一個(gè)邊界點(diǎn)；G的邊界點(diǎn)的全體稱為G的邊界.4)，若在z0的某一鄰域內(nèi)除點(diǎn)z0外不含G的點(diǎn)，則稱z0是G的一個(gè)孤立點(diǎn)。G的孤立點(diǎn)一定是G的邊界點(diǎn)。5)如果存在一個(gè)以點(diǎn)z=0為中心的圓盤包含G，則稱G為有界集，否則稱G為無界集。2第二頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期五【例1.12】1)——開集因?yàn)閷?duì)于任意的z0G，z0的鄰域在G中.2)——閉集因?yàn)樗挠嗉情_集.

3第三頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期五§1.3.2區(qū)域

當(dāng)平面點(diǎn)集D滿足下列兩個(gè)條件時(shí)，則稱為一個(gè)區(qū)域：D是一個(gè)開集；D是連通的，即D中任何兩點(diǎn)都可以用完全屬于D的一條折線連接起來.區(qū)域就是連通開集。區(qū)域D與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域，記作.

因此4第四頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期五【例1.13】說出下列各式所表示的點(diǎn)集是怎樣的圖形，并指出哪些是區(qū)域(1)(2)(3)

解：(1)設(shè)則所以即

表示右半平面，是一個(gè)區(qū)域.因?yàn)?2)所以即表示以-2+i為中心，以1為半徑的圓周連同其外部區(qū)域,是一個(gè)閉區(qū)域.

5第五頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期五(3)是介于兩射線及之間的一個(gè)三角形區(qū)域

6第六頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期五§1.3.3平面曲線

令

平面曲線可以用一對(duì)連續(xù)的實(shí)變函數(shù)表示

——曲線的參數(shù)方程

則曲線可以用一個(gè)方程表示——平面曲線的復(fù)數(shù)表示式

除了參數(shù)表示以外，通常還用點(diǎn)z所滿足的關(guān)系式表示曲線.例如:表示以z0為中心，以a為半徑的圓周.7第七頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期五設(shè)C:z=z(t)(a≤t≤b)為一條連續(xù)曲線，z(a)與z(b)分別稱為C的起點(diǎn)與終點(diǎn)，對(duì)于滿足a<t1<b、a≤t2≤b的t1與t2，當(dāng)t1≠t2而有z(t1)=z(t2)時(shí)，點(diǎn)z(t1)稱為曲線C的重點(diǎn).

沒有重點(diǎn)的連續(xù)曲線C，稱為簡(jiǎn)單曲線或Jordan曲線.

如果簡(jiǎn)單曲線C的起點(diǎn)與終點(diǎn)重合，即z(a)=z(b)，那么曲線C稱為簡(jiǎn)單閉曲線.

若爾當(dāng)曲線定理

任意一條簡(jiǎn)單閉曲線將平面分為兩個(gè)區(qū)域。它們都以該曲線為邊界。其中一個(gè)為有界區(qū)域，稱為該簡(jiǎn)單閉曲線的內(nèi)部；另一個(gè)為無界區(qū)域，稱為外部.8第八頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期五定義

復(fù)平面上的一個(gè)區(qū)域D，如果在其中任作一條簡(jiǎn)單閉曲線，曲線的內(nèi)部總屬于D，則稱D為單連通區(qū)域，一個(gè)區(qū)域如果不是單連通區(qū)域，就稱為多(復(fù))連通區(qū)域.

一條簡(jiǎn)單閉曲線的內(nèi)部是單連通區(qū)域.單連通域D的特征：屬于D的任何一條簡(jiǎn)單閉曲線，在D內(nèi)可以經(jīng)過連續(xù)的變形而縮成一點(diǎn)，而多連通區(qū)域不具有這樣的特征.9第九頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期五【例1.14】描述下列不等式所確定的區(qū)域或閉區(qū)域，并指明它是有界的還是無界的？單連通還是多連通？2)

1)

3)

解:1)

即化簡(jiǎn)得

x>-12)

得由化簡(jiǎn)得因此，表示的是橢圓的內(nèi)部

(包含橢圓)，是有界單連通的閉區(qū)域.因此，表示的是直線x=-1右邊的區(qū)域(不含直線x=-1)，是無界單連通區(qū)域.10第十頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期五3)可寫成化簡(jiǎn)得

即

因此，表示的是以(2,-1)為圓心，3為半徑的圓周及其內(nèi)部，這是一個(gè)有界單連通閉區(qū)域.11第十一頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期五【例1.15】求滿足關(guān)系式()的點(diǎn)的集合G。若G為一區(qū)域，則指明它是單連通域還是多連通域

解:由，

可知，于是所給的關(guān)系式變?yōu)?/p>

即

是一個(gè)單連通域

12第十二頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期五§1.4無窮大與復(fù)球面

§1.4.1無窮遠(yuǎn)點(diǎn)

無窮大——記為∞，由下式來定義

無窮大和有限數(shù)的四則運(yùn)算定義為，

(加法)(減法)(乘法)(除法)()()()()注意:

，，，，都無意義.

13第十三頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期五復(fù)數(shù)∞的模規(guī)定為+∞，即，而實(shí)部、虛部和輻角均沒有意義.其它的每一個(gè)復(fù)數(shù)z，都有，相比較而言稱z為有限復(fù)數(shù).在復(fù)平面上沒有一點(diǎn)與∞相對(duì)應(yīng)，但可設(shè)想復(fù)平面上有一理想點(diǎn)與它對(duì)應(yīng)，此點(diǎn)稱為無窮遠(yuǎn)點(diǎn).

復(fù)平面加上無窮遠(yuǎn)點(diǎn)稱為擴(kuò)充復(fù)平面.

包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)自身在內(nèi)且滿足(實(shí)數(shù)M>0)的所有點(diǎn)的集合，稱為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的鄰域

.不包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)自身在內(nèi)，僅滿足的所有點(diǎn)的集合，稱為無窮遠(yuǎn)的去心鄰域

.表示為包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)自身在內(nèi)的圓周的外部.

14第十四頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期五§1.4.2復(fù)球面

可用球面上的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù)15第十五頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期五§1.5復(fù)變函數(shù)

§1.5.1復(fù)變函數(shù)的定義

定義

設(shè)G是一個(gè)復(fù)數(shù)z=x+iy的集合。如果有一個(gè)確定的法則存在，按照這一法則，對(duì)于集合G中的每一個(gè)復(fù)數(shù)z，就有一個(gè)或幾個(gè)復(fù)數(shù)w=u+iv與之對(duì)應(yīng)，那么稱復(fù)變數(shù)w是復(fù)變數(shù)z的函數(shù)(簡(jiǎn)稱復(fù)變函數(shù))，記作如果對(duì)每個(gè)zG，有唯一的w同它對(duì)應(yīng)，則稱w=f(z)為單值函數(shù).否則稱為多值函數(shù)

.集合G稱為f(z)的定義集合，即定義域；對(duì)應(yīng)于G中所有z的一切w值所成的集合G*，稱為函數(shù)值集合，也稱為值域

.16第十六頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期五設(shè)z=x+iy，則w=f(z)可以寫成其中u(x,y)與v(x,y)為實(shí)值函數(shù)一個(gè)復(fù)變函數(shù)就相當(dāng)于一對(duì)二元實(shí)變函數(shù).【例1.16】將定義在全平面除去坐標(biāo)原點(diǎn)的區(qū)域上的一對(duì)二元實(shí)變函數(shù)化為一個(gè)復(fù)變函數(shù)，()解：

記

，則將，，代入上式

經(jīng)整理后得

(z≠0)17第十七頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期五§1.5.2復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性

1.函數(shù)的極限定義

設(shè)函數(shù)w=f(z)在z0的去心鄰域內(nèi)有定義，若有確定的復(fù)數(shù)A(A≠∞)存在，對(duì)于任意給定的>0,總存在一個(gè)正數(shù)，使得對(duì)滿足(0<)的一切z，都有則稱A為函數(shù)f(z)當(dāng)z趨于z0時(shí)的極限。(當(dāng)時(shí))或記作18第十八頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期五注意：定義中z趨于z0的方式是任意的.即:無論z從什么方向,以何種方式趨向于z0，f(z)都要趨向于同一個(gè)常數(shù)A.

定理一

設(shè)函數(shù)

則

,,的充要條件是

,關(guān)于含∞的極限可作如下定義(為有限復(fù)數(shù))（定理的證明略）19第十九頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期五定理二

如果

,那么1)2)3)20第二十頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期五【例1.17】證明函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限不存在[證]令則由此得

令z沿直線y=kx趨于零，則有顯然，它隨k的不同而不同，所以不存在雖然，但根據(jù)定理一，不存在

21第二十一頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期五【例1.18】問函數(shù)在z=0有無極限？解：f(z)的定義域是全平面除去z=0的區(qū)域當(dāng)z≠0時(shí)，設(shè)，則考慮從z=0出發(fā)方向角為0的射線l0

，有顯然，對(duì)于不同的0，上述極限不同.所以，在z=0，f(z)不存在極限.22第二十二頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期五2.函數(shù)的連續(xù)性

定義

如果成立，則稱f(z)在z0處連續(xù).如果f(z)在區(qū)域D中的每一點(diǎn)連續(xù)，則稱f(z)在區(qū)域D內(nèi)連續(xù).

定理三

函數(shù)在處連續(xù)的充要條件是與在處連續(xù)

.例如:函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)除原點(diǎn)外處處連續(xù).因?yàn)槌c(diǎn)外是處處連續(xù)的，而在復(fù)平面內(nèi)是處處連續(xù)的.由定理二和定理三，還可推得下面的定理四.23第二十三頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期五定理四

在