2019專題04導(dǎo)數(shù)法-高中物理八大解題方法江蘇省特級教師戴儒京在物理解題頂用導(dǎo)數(shù)法，第一要把物理問題化歸為數(shù)學(xué)識題。在剖析物理狀態(tài)和物理過程的基礎(chǔ)上，找到適合的物理規(guī)律，即函數(shù)，再求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，進而求解極值問題或其余問題，而后再把數(shù)學(xué)識題回歸到物理問題，明確其物理意義。例1、兩等量同種電荷在兩點電荷連線的中垂線上電場的散布圖1.兩等量正點電荷的電場強度在y坐標(biāo)軸上的點的合成以兩點電荷的連線的中點為原點，以兩點電荷的連線的中垂線為y軸，則各點的電場強度可表示為：E2k(Q)cos=2k(Q2)y2y22yy2lll2因為原點的電場強度，往上或往下的無量遠處的電場強度也為0，所以，從O點向上或向下都是先增大后減小，這是定性的剖析。那么，在哪兒達到最大呢，需要定量的計算。E00方法1.用三角函數(shù)法求導(dǎo)數(shù)E2k(Q)cos中把代入得。ylE2kQsin2cos2y2tanl2l令，求導(dǎo)數(shù)=，欲使，需（舍去）或即，此處，，將其代入得。zsin2cosz'2sincos2sin3sin（2cos2sin2)z'0sin02cos2sin20tan2y2lEmax43kQ29l21/13方法2.用代數(shù)法求導(dǎo)數(shù)E=，令,對求導(dǎo)數(shù)得,令其分子為0，得，代入得。Qy3352k(22)zy(l2y2)2zz'(l2y2)23y2(l2y2)2lyl2y2y2lEmax43kQ29l2圖象用Excel作圖，獲得對于等量同種電荷的電場在此中垂線上的散布的圖象，圖象的橫軸y表示各點到原點的距離（以兩點電荷的連線的中點為原點），縱軸表示中垂線上各點的電場強度。圖2.兩等量正點電荷的電場強度在y坐標(biāo)軸上的散布此圖象也考證了以上所得的結(jié)果：圖象中令，則當(dāng)處電場強度最大。l52l25y3.52例2、電源輸出功率最大問題的研究例題．以下圖，R為電阻箱，為理想電壓表．當(dāng)電阻箱讀數(shù)為R1=2Ω時，電壓表讀數(shù)為U1=4V；當(dāng)電阻箱讀數(shù)為R2=5Ω時，電壓表讀數(shù)為U2=5V．求：電源的電動勢E和內(nèi)阻r。當(dāng)電阻箱R讀數(shù)為多少時，電源的輸出功率最大?最大值Pm為多少?圖3電路圖2/13【分析】由閉合電路歐姆定律：EU1U1ErU2U2rR1R2聯(lián)立上兩式并代入數(shù)據(jù)解得：，E6Vr1（2）解法1.代數(shù)法，電功率表達式：將上式變形為：，由上式可知時有最大值PE2RE2Rr1PPmE2(Rr)2P9W(Rr)24r4rR解法2.導(dǎo)數(shù)法，電功率表達式：，依據(jù)求導(dǎo)公式，得導(dǎo)數(shù)：=，當(dāng)時，導(dǎo)數(shù)的分子為零，即此時有極大值，將代入式得最大值E2(u)'222PRu'vuv'P'(R)E(Rr)ER2(Rr)(Rr)2vv2(Rr)4E2(Rr)(rR)RrRr1PPmE29W(Rr)44r本題的物理意義可用圖4圖象說明：圖4電源輸出功率與外電路電阻的關(guān)系圖象的最高點為電源的輸出功率最大，其余的，對同一個輸出功率，能夠有兩個電阻值。例3.證明：在碰撞中，完整非彈性碰撞動能損失最大大家知道，碰撞分彈性碰撞和非彈性碰撞兩類。彈性碰撞，動能和動量都守恒，非彈性碰撞，動能不守恒了,但動量仍是守恒的。在非彈性碰撞中，有一種叫完整非彈性碰撞，兩個物體相碰后不分開，連在一同了，動能損失最大，動能不守恒,但動量仍是都守恒的。為何在完整非彈性碰撞中，動能損失最大呢？好多同學(xué)知其然不知其所以3/13然，本文解決知其所以然的問題。彈性形變是指撤去外力后能夠恢還原狀的形變，能夠發(fā)生彈性形變的物體我們說它擁有彈性。碰撞是在極短的時間內(nèi)發(fā)生的，知足互相作用的內(nèi)力大于大于外力的條件，所以不論系統(tǒng)能否遇到外力，一般都知足動量守恒。所以彈性碰撞是同時知足動量守恒和動能守恒的碰撞。一般意義上的碰撞，僅知足動量守恒，碰撞過程中物體常常會發(fā)生形變，還會發(fā)熱、發(fā)聲，系統(tǒng)有動能損失，因為一般只研究碰撞發(fā)生在同一水平直線上的狀況，系統(tǒng)在碰撞前后的重力勢能不變，所以動能損失也對應(yīng)著機械能的損失，往常狀況下是機械能轉(zhuǎn)變?yōu)閮?nèi)能。非彈性碰撞即物體發(fā)生碰撞后不反彈，差別于大部分的彈性碰撞，碰撞過程中會有動能損失。如圖1所示，設(shè)質(zhì)量為m1的小球，速度為v1，與質(zhì)量為m2的小球，速度為v2，發(fā)生碰撞，圖5碰撞碰撞后兩球的速度分別為v1’、v2’，取向右為矢量的正方向。由系統(tǒng)的動量守恒定律得m1v1+m2v2=m1v1’+m2v2’①則碰撞中動能損失為②12121212Ek2mv12m2v22m1v1'2m2v2'1由①得m1v1m2v2m1v1'③v2'm24/13③代入②得，求對的導(dǎo)數(shù)，得令0，解得，④即當(dāng)時，有最大值。Ek1mv21mv21mv'2(m1v1m2v2m1v1')2Ekv1'E'(v')2112222112m2k1(m1v1m2v2m1v1')m1m1v1'm2Ek'(v1')v1'm1v1m2v2v1'm1v1m2v2Ekm1m2m1m2將④代入③解得，即，兩小球粘合在一同時，也就是完整非彈性碰撞狀況下，動能損失最大。將④代入②解得動能損失最大為。v2'm1v1m2v2v1'v2'Ekmaxm1m2(v1v2)2m1m22(m1m2)例題.某同學(xué)利用如圖6所示的裝置研究碰撞問題。圖中兩擺擺長相同，懸掛于同一高度，、兩擺球均很小，質(zhì)量相等皆為m。當(dāng)兩擺均處于自由靜止?fàn)顟B(tài)時，其側(cè)面恰好接觸。向右上方拉動球使其擺線挺直并與豎直方向成450角，而后將其由靜止開釋。求A球上漲最大高度的最大值和最小值各是多少？上擺的最大角度的最大值和最小各值各是多少？l1mABB解：B球的初始高度為，碰撞前球的速度為.在不考慮擺線質(zhì)量的情況下，依據(jù)題意及機械能守恒定律得：1BBhvh1l(1cos45)①1mvB2mgh1②2圖6彈性碰撞時，動量守恒有③mvBmvA'mvB'動能守恒有④1mvB21mvA'21mvB'22225/13解得，，vA'vBvB'0依據(jù)，得，為A球上漲的最高高度。依據(jù)，得，為A球上擺的最大角度。

mgh21mvA'2h2h12h2l(1cos2)21450完整非彈性碰撞，即A、B兩球粘合在一同時，動量守恒有，解得，mvBvB2mv'v'2依據(jù)，得，為A球上漲的最大高度的最小值。mgh31mv'21mgh2h31h1244依據(jù)，得，為A球上擺的最大角度的最小值。h3l(1cos3)3220例4.電磁感覺問題如圖，質(zhì)量為M的足夠長金屬導(dǎo)軌abcd放在圓滑的絕緣水平面上。一電阻不計，質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒PQ擱置在導(dǎo)軌上，一直與導(dǎo)軌接觸優(yōu)秀，PQbc組成矩形。棒與導(dǎo)軌間動摩擦因數(shù)為μ，棒左邊有兩個固定于水平面的立柱。導(dǎo)軌bc段長為L，開始時PQ左邊導(dǎo)軌的總電阻為R，右邊導(dǎo)軌單位長度的電阻為R0。以ef為界，其左邊勻強磁場方向豎直向上，右邊勻強磁場水平向左，磁感覺強度大小均為B。在t=0時，一水平向左的拉力F垂直作用在導(dǎo)軌的bc邊上，使導(dǎo)軌由靜止開始做勻加快直線運動，加快度為a。（1）求回路中感覺電動勢及感覺電流隨時間變化的表達式；（2）經(jīng)過多長時間拉力F達到最大值，拉力F的最大值為多少？（3）某過程中回路產(chǎn)生的焦耳熱為Q，導(dǎo)軌戰(zhàn)勝摩擦力做功為W，求導(dǎo)軌動能的增添量?！敬鸢浮?/13（1）感覺電動勢BLv導(dǎo)軌做初速為零的勻加快運動，，vats1at22回路中感覺電流隨時間變化的表達式2）導(dǎo)軌受外力F，安培力，摩擦力。此中FAFf由牛頓定律FFAFfMa上式中，當(dāng)，即時外力F取極大值。RR0attRtaR0設(shè)在此過程中導(dǎo)軌運動距離，由動能定理s因為摩擦力，所以摩擦力做功Ff(mgFA)EKMasMa(WQ)。mg【評論】本題考察電磁感覺，勻變速運動，牛頓定律等知識點以及分析判斷能力及極值的計算等數(shù)學(xué)方法。難度：難。在式子的極值的計算中，答案用了變形，而后依據(jù)兩式之積一準(zhǔn)時，兩式相等時其和最小的數(shù)學(xué)方法，因分母最小，分式取最大值。yB2L2atyB2L2aRR0at2RR0att也能夠用導(dǎo)數(shù)法求極值。設(shè)上式的分母為，取導(dǎo)數(shù)：，令其等于0，解得極值條件為。代入得，此時，，RR0atx'(t)RR0atR2aRR0yB2L2axt2x2RR0taR0FmaxMamg(1)B2L2a。2RR0例5.溝通電7/13如圖（a），在同一平面內(nèi)固定有一長直導(dǎo)線PQ和一導(dǎo)線框R，R在PQ的右邊。導(dǎo)線PQ中通有正弦溝通電流i，i的變化如圖（b）所示，規(guī)定從Q到P為電流的正方向。導(dǎo)線框R中的感覺電動勢A．在時為零tT4B．在時改變方向tT2C．在時最大，且沿順時針方向

t

T2D．在時最大，且沿順時針方向

tT【分析】依據(jù)法拉第電磁感覺定律，感覺電動勢，即為的導(dǎo)數(shù)，有,S不變，與B成正比，所以，E與i的導(dǎo)數(shù)成正比，據(jù)此能夠畫出E-t圖象以下：EEBSt從圖象能夠看出：A．在時為零，正確；Tt4B．在時改變方向，錯誤；tT2C．在時為負(fù)最大，且沿順時針方向，正確；tT2D．在時為正最大，且沿逆時針方向，D錯誤。tT【答案】20．AC【評論】圖象是正弦函數(shù)（或余弦函數(shù)）圖象，說明電動勢E隨時間非平均變化。函數(shù)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)函數(shù)。EtEtt例6.帶電粒子在磁場中的運動粒子速度選擇器的原理圖以下圖，兩水平長金屬板間有沿水平方向、磁感覺強度為的勻強磁場和方向豎直向下、電場強度為的勻強電場。一束質(zhì)量為m、電荷量為q的帶電粒子，以不一樣的速度從小孔8/130處沿中軸線射入此地區(qū)。研究人員發(fā)現(xiàn)有些粒子能沿中軸線運動并從擋板上小孔P射出此地區(qū)，其余還有些帶電粒子也能從小孔P射出，射出時的速度與預(yù)期選擇的速度的最大誤差量為,經(jīng)過理論剖析知道，這些帶電粒子的運動能夠看作沿中軸線方向以速度為的勻速直線運動和以速率在兩板間的勻強磁場中做勻速圓周運動的合運動，、；均為未知量，不計帶電粒子重力及粒子間互相作用。B0E01212若帶電粒子能沿中軸線運動，求其從小孔O射入時的速度；0增添磁感覺強度后，使帶電粒子以（1)中速度射入，要讓全部帶電粒子均不可以打到水平金屬板，兩板間距d應(yīng)知足什么條件？0磁感覺強度為時，為了減小從小孔P處射出粒子速度的最大誤差量，進而提升速度選擇器的速度分辨本事，水平金屬板的長度L應(yīng)知足什么條件？B0例1題圖【解答】（1）帶電粒子能沿中軸線運動受力均衡，則qv0B0E0qE，解得v0B0設(shè)磁感覺強度增為B，對速度為的勻速直線分運動，有v1E0v0qv1BqE0，解得v1B勻速圓周分運動的速率v2v0v1mv22mE011由向心力公式，解得qv2Br(B2)rqB0B當(dāng)時，半徑有最大值B2B0rmmE04qB029/13要讓全部帶電粒子都不可以打到金屬板，應(yīng)知足，即dmE02rmd2qB02要提升速度選擇器的速度分辨率，就要使不可以沿軸線運動的偏離軸線有最大的距離，圓周運動達成半周期的奇數(shù)倍，則圓周運動的周期故應(yīng)知足的條件

T2mqB0L(2n1)mE0(n1，2,3，)qB02【拓展】此后題目談起，筆者提出并回答以下問題，以進一步理解本題。在得出后，即有當(dāng)時，半徑有最大值，這是為何？rmE0(11)B2B0rmmE0qB0BB24qB02【解答】這個是求極值問題，原來是數(shù)學(xué)識題，在物理題中，物理老師也要解答。這就是高考要求的“用數(shù)學(xué)方法辦理物理問題的能力”。這里要用導(dǎo)數(shù)法求極值：令=y11BB0B0BB2B0B2依據(jù)求導(dǎo)公式，得，令其分子為0，得式取極值的條件是，將此條件代入則得。uu'vuv'B0B2(BB0)2BB0B0B(B2B0)mE011)()'v2r'B02B4B02B4r(vqB0BB2B2B0mE0rm4qB02例7.振動和波問題10/13圖甲為一列簡諧橫波在t=0．10s時的波形圖，P是均衡地點為x=1m處的質(zhì)點，Q是均衡地點為x=4m處的質(zhì)點，圖乙為質(zhì)點Q的振動圖像，則（）A．t=0．15s時，質(zhì)點Q的加快度達到正向最大B．t=0．15s時，質(zhì)點P的運動方向沿y軸負(fù)方向C．從t=0．10s到t=0．25s，該波沿x軸正方向流傳了6mD．從t=0．10s到t=0．25s，質(zhì)點P經(jīng)過的行程為30cm答案：AB剖析法：題考察振動圖像和顛簸圖像的綜合應(yīng)用。由圖乙可知t=0．15s時，質(zhì)點Q抵達波谷，其加快度達到正向最大，A選項正確；圖甲表示0．10s時的波形圖，t=0．10s時由圖乙可知質(zhì)點Q正經(jīng)過均衡地點向下振動，聯(lián)合圖甲可知這列波向左流傳（因為波向左流傳，Q才處在“上坡”的地點，其運動方向才向下）。又由圖甲可知波長為8m，由圖乙可知周期為0．20s，波速v=λ/T=40m/s,從0．10s到0．15s時間段內(nèi)，波向左平移s=vt=2m。畫出此時的波形以下列圖（將波向左平移2m）從圖能夠發(fā)現(xiàn)，此時質(zhì)點P的運動方向沿y軸負(fù)方向，B選項正確；從t=0．10s到t=0．25s，該波沿x軸負(fù)方向流傳的距離s=vt=6m，C選項方向判斷錯誤；從t=0．10s到t=0．25s，經(jīng)過的時間為0．15s，等于即0．05s的3倍，質(zhì)點P做變速運動，經(jīng)過的行程不可以用來計算（從均衡地點或正負(fù)最大位移處開始計時，才能這樣算），實質(zhì)路11/13程不等于30cm（此處有的同學(xué)忍不住問：不是30cm,是多少呢？且往下看）。答案選擇AB?！竞瘮?shù)導(dǎo)數(shù)法】因為時刻波方程是，波函數(shù)基本函數(shù)式是（因為本題波向左流傳，所以式中負(fù)號改為正號）由圖甲可知波長為8m，振幅為A=10cm,由圖乙可知周期為T=0．20s，所以本題波函數(shù)能夠?qū)憺?①A選項：Q點的振動方程是②對②式求導(dǎo)數(shù)得速度函數(shù)=③對③式求導(dǎo)數(shù)得加快度函數(shù)1000④將t=0．15s代入④式得1000，是正最大，所以A正確；B選項：P點的振動方程是⑤對⑤式求導(dǎo)數(shù)得速度函數(shù)=⑥將t=0．15s代入⑥式得=，為負(fù)，所以B正確；C選項：t=0．10s時的波函數(shù)能夠?qū)憺?cm==⑦t=0．25s時的波函數(shù)能夠?qū)憺?cm==⑧依據(jù)⑦⑧兩式，用電子計算機Excel