導(dǎo)數(shù)與不等式的證明1.【2013湖南文科】已知函數(shù)f（x）=.（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）證明：當(dāng)f（x1）=f（x2）(x1≠x2)時(shí)，x1+x2＜0.【解析】(Ⅰ).所以，。 （Ⅱ）由(Ⅰ)知，只需要證明：當(dāng)x>0時(shí)f(x)<f(-x)即可。。。（證畢）

2.【2013天津理科】已知函數(shù).(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)證明:對(duì)任意的t>0,存在唯一的s,使.(Ⅲ)設(shè)(Ⅱ)中所確定的s關(guān)于t的函數(shù)為,證明:當(dāng)時(shí),有.(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)．f′(x)＝2xlnx＋x＝x(2lnx＋1)，令f′(x)＝0，得.當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：xf′(x)－0＋f(x)極小值所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.(2)證明：當(dāng)0＜x≤1時(shí)，f(x)≤0.設(shè)t＞0，令h(x)＝f(x)－t，x∈[1，＋∞)．由(1)知，h(x)在區(qū)間(1，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增．h(1)＝－t＜0，h(et)＝e2tlnet－t＝t(e2t－1)＞0.故存在唯一的s∈(1，＋∞)，使得t＝f(s)成立．(3)證明：因?yàn)閟＝g(t)，由(2)知，t＝f(s)，且s＞1，從而，其中u＝lns.要使成立，只需.當(dāng)t＞e2時(shí)，若s＝g(t)≤e，則由f(s)的單調(diào)性，有t＝f(s)≤f(e)＝e2，矛盾．所以s＞e，即u＞1，從而lnu＞0成立．另一方面，令F(u)＝，u＞1.F′(u)＝，令F′(u)＝0，得u＝2.當(dāng)1＜u＜2時(shí)，F(xiàn)′(u)＞0；當(dāng)u＞2時(shí)，F(xiàn)′(u)＜0.故對(duì)u＞1，F(xiàn)(u)≤F(2)＜0.因此成立．綜上，當(dāng)t＞e2時(shí)，有.

（Ⅱ）證明：由，有.設(shè)，由，知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.并且，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.由已知，滿足，.由，及的單調(diào)性，可得，.對(duì)于任意的，設(shè)，，其中；，其中.因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，故由，即，可得；類(lèi)似可得.又由，得.所以，隨著的減小而增大.

（Ⅲ）證明：由，，可得，.故.設(shè)，則，且解得，.所以，.①令，，則.令，得.當(dāng)時(shí)，.因此，在上單調(diào)遞增，故對(duì)于任意的，，由此可得，故