§3.5厄米算符的本征值與本征函數(shù)1.厄米算符的平均值ψ定理I：體系任何狀態(tài)下，其厄米算符的平均值必為實數(shù)。（證明）逆定理：在任何狀態(tài)下，平均值均為實數(shù)的算符必為厄米算符。（證明）ψ推論：設?為厄米算符，則在任意態(tài)之下∫∫τ?ψ?ψτψ?ψA2=dA=d(A)A≥0*2*2.厄米算符的本征方程1).漲落漲落定義為(ΔA)2=(A??A)2(ΔA)2=(A??A)2≥0:證明2).力學量的本征方程若體系處于一種特殊狀態(tài)，在此狀態(tài)下測量A所得結果是唯一確定的，即：(ΔA)2=0則稱這種狀態(tài)為力學量A的本征態(tài)。?ψ(A?A)=0?ψA=常數(shù)×ψ或ψA，把狀態(tài)記為，于是得：nn可把常數(shù)記為?ψA=Aψn(1)nnψ其中A,分別稱為算符?的本征值和相應的本征態(tài)，式(1)即算符?的本征方程。nn定理II：厄米算符的本征值必為實。（證明）3.量子力學中的力學量用線性厄米算符表示1).表示力學量的算符必為線性算符；2).表示力學量的算符必為厄密算符?！?∫∞ψφψφ∞xdx(x)dxQx例1：**（為實數(shù)）?∞?∞p?dx=∫∞(p?)dx∫ψφψφ∞例2：**xx?∞?∞p?2x?H=+V(x)為厄密算符例3：證明2m綜上所述：表示力學量的算符必為線性、厄密算符，線性厄密算符不一定是力學量算符。13).力學量算符和力學量之間的關系A時所有可能出現(xiàn)的值，都對應于線性厄米算符?的本征方程測量力學量?的本征值A（即測量值是本征值之n一），該本征值由力學量算符?ψA=Aψnn=1,2,Lnnψ?的本征態(tài)時，則每次測量所得結果都是完全確定的，即A。nn當體系處于4.厄米算符的本征函數(shù)的正交性1).正交性的定義∫ψψτd=0，則稱和相互正交。ψψψψ如果兩函數(shù)和滿足關系式*1121222).定理III：厄米算符屬于不同本征值的本征函數(shù)彼此正交。（證明）∫∫∫ψ*ψdτm?ψψτ(A)d=A*mnmn∫∫ψ*ψdτm?ψψτψ?ψτ(A)d=Ad=A**mnmnnn3).分立譜、連續(xù)譜正交歸一表示式①.分立譜正交歸一條件分別為：∫ψ*ψτd=1n歸一化條件n∫ψ*ψτd=0n(m≠n)正交性mδ引用稱為克朗內(nèi)克（Kronecker）符號，它具有如下性質：mn?m≠nm=n?0δ=??1?mn把(3)與(4)式合寫為∫ψ*ψdτ=δmnmn②.連續(xù)譜正交歸一條件表示為：∫ψ*ψτδλλ′d=(?)λλ′③.正交歸一系ψψ上式的函數(shù)系或λ稱為正交歸一（函數(shù)）系n滿足5.簡并情況ψαA是f度簡并的，則屬于本征值A的本征態(tài)有f個：，=1,2,…,fnnnnnnα如果?的本征值滿足本征方程：2

?ψA=Aψnα=1,2,L,fnαnnα一般說來，這些函數(shù)并不一定正交。但是可以證明由這f個函數(shù)可以線性組合成f個獨立的新函nn數(shù)，它們?nèi)詫儆诒菊髦礎且滿足正交歸一化條件。n算符?本征值A簡并的本質是：當A確定后還不能唯一的確定狀態(tài)，要想唯一的確定狀態(tài)還得尋nn找另外一個或幾個力學量算符，?算符與這些算符兩兩對易，其本征值與A一起共同確定狀態(tài)。n綜合上述討論可得如下結論：既然厄米算符本征函數(shù)總可以取為正交歸一化的，所以以后凡是提到厄米算符的本征函數(shù)時，都是正交歸一化的，即組成正交歸一系。6.實例1).動量本征函數(shù)組成正交歸一系∫vvvvvψ*ψ=δ?′(r)(r)dr(pp)vv′ppvv≠′pp當時，∫vvvψ*(r)(r)dr=0ψvv′ppψψ即屬于動量算符不同本征值的兩個本征函數(shù)與相互正交。這是所有厄密算符的本征函數(shù)所共vv′pp有的。2).線性諧振子能量本征函數(shù)組成正交歸一系線性諧振子的能量本征函數(shù)=Ne?12H(x)ψα2x2αnnn∫ψψdx=δ∞組成正交歸一系：*nn′nn′?∞3).角動量本征函數(shù)組成正交歸一系①.lz本征函數(shù)?l角動量算符的本征函數(shù)z1ψ?()=πeim?(m=0,±1,±2,K)2m組成正交歸一系：∫πψ?ψ??=δ2()()d′m*m(7)mm′0?②.l2本征函數(shù)3?l2l(l+1)h2的本征函數(shù)Ylm角動量平方算符屬于本征值θ?θY(,)=NPm(cos)eim?lmlml∫∫π2πθ?θ?θθ?=δ*(,