文檔來源網(wǎng)絡(luò)侵權(quán)刪除2.2充分條件、必要條件、充要條件【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一：充分條件與必要條件充要條件的概念符號(hào)與的含義“若，則”為真命題，記作：；“若，則”為假命題，記作：．充分條件、必要條件與充要條件①若，稱是的充分條件，是的必要條件．②如果既有，又有，就記作，這時(shí)是的充分必要條件，稱是的充要條件．知識(shí)點(diǎn)詮釋：對(duì)的理解：指當(dāng)成立時(shí)，一定成立，即由通過推理可以得到．①“若，則”為真命題；②是的充分條件；③是的必要條件以上三種形式均為“”這一邏輯關(guān)系的表達(dá)．知識(shí)點(diǎn)二：充分條件、必要條件與充要條件的判斷從邏輯推理關(guān)系看命題“若，則”，其條件p與結(jié)論q之間的邏輯關(guān)系①若，但，則是的充分不必要條件，是的必要不充分條件；②若，但，則是的必要不充分條件，是的充分不必要條件；③若，且，即，則、互為充要條件；④若，且，則是的既不充分也不必要條件．從集合與集合間的關(guān)系看若，，①若AB，則是的充分條件，是的必要條件；②若A是B的真子集，則是的充分不必要條件；③若A=B，則、互為充要條件；④若A不是B的子集且B不是A的子集，則是的既不充分也不必要條件．知識(shí)點(diǎn)詮釋：充要條件的判斷通常有四種結(jié)論：充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件、既不充分也不必要條件．判斷方法通常按以下步驟進(jìn)行：①確定哪是條件，哪是結(jié)論；②嘗試用條件推結(jié)論，③再嘗試用結(jié)論推條件，④最后判斷條件是結(jié)論的什么條件．知識(shí)點(diǎn)三：充要條件的證明要證明命題的條件是結(jié)論的充要條件，既要證明條件的充分性（即證原命題成立），又要證明條件的必要性（即證原命題的逆命題成立）知識(shí)點(diǎn)詮釋：對(duì)于命題“若，則”①如果是的充分條件，則原命題“若，則”與其逆否命題“若，則”為真命題；②如果是的必要條件，則其逆命題“若，則”與其否命題“若，則”為真命題；③如果是的充要條件，則四種命題均為真命題．【題型歸納目錄】題型一：充分條件與必要條件的判斷題型二：根據(jù)充分條件求參數(shù)取值范圍題型三：根據(jù)必要條件求參數(shù)取值范圍題型四：根據(jù)充要條件求參數(shù)取值范圍題型五：充要條件的證明【典型例題】題型一：充分條件與必要條件的判斷例1．（2022·江蘇·高郵市第一中學(xué)高二期末）已知，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】A【解析】對(duì)于不等式，可解得或．所以可以推出，而不可以推出．所以“”是“”的充分不必要條件．故選：A例2．（2022·浙江·效實(shí)中學(xué)高二期中）已知a，，那么“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】解：若，因?yàn)?，所以，即充分性成立；由推不出，如，，滿足，此時(shí)，故必要性不成立；所以“”是“”的充分不必要條件；故選：A例3．（2022·四川·射洪中學(xué)高二期中）已知p：，那么p的一個(gè)充分不必要條件是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】對(duì)于A，，且，即是p的不充分不必要條件，A不是；對(duì)于B，，且，即是p的不充分不必要條件，B不是；對(duì)于C，，即是p的一個(gè)充分不必要條件，C是；對(duì)于D，，即是p的必要不充分條件，D不是．故選：C例4．（2022·北京·北理工附中高二階段練習(xí)）下列選項(xiàng)中，“”成立的一個(gè)必要不充分條件是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：“”能推出“”，但“”不能推出“”，故A滿足題意；“”不能推出“”，故選項(xiàng)B不是“”的必要條件，不滿足題意；B不正確．“”不能推出“”，故選項(xiàng)C不是“”的必要條件，不滿足題意；C不正確．“”能推出“”，且“”能推出“”，故是充要條件，不滿足題意；D不正確；故選：A．例5．（2022·福建三明·高二期中）已知命題，命題，則p是q的（

）A．充分但不必要條件 B．必要但不充分條件C．充分且必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由命題構(gòu)成集合，由命題構(gòu)成的集合為，可得，所以命題是的必要不充分條件．故選：B例6．（2022·浙江金華·三模）已知實(shí)數(shù)a，b，，，則“”是“”（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】若，則，又，所以，所以，充分性成立；若，則，左右同時(shí)平方可得，即，必要性成立，所以“”是“”的充要條件．故選：C例7．（2022·河南·高三階段練習(xí)（文））已知三條線段的長(zhǎng)分別為a，b，c，若，則“”是“a，b，c為某三角形三邊長(zhǎng)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】依題意，由，得，，因，因此，a，b，c能為一個(gè)三角形三邊長(zhǎng)，a，b，c是某三角形三邊長(zhǎng)，則有，所以“”是“a，b，c為某三角形三邊長(zhǎng)”的充要條件．故選：C例8．（多選題）（2022·遼寧·遼師大附中高二階段練習(xí)）已知是的充分條件而不是必要條件，是的充分條件，是的必要條件，是的必要條件．現(xiàn)有下列命題：①是的充要條件；②是的充分條件而不是必要條件；③是的必要條件而不是充分條件；④的必要條件而不是充分條件；則正確命題序號(hào)是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】ABD【解析】由題意，，但?，故①②正確，③錯(cuò)誤；所以，根據(jù)等價(jià)關(guān)系知：且?，故④正確．故選：ABD例9．（2022·海南中學(xué)高三階段練習(xí)）請(qǐng)寫出不等式的一個(gè)充分不必要條件___________．【答案】（答案不唯一）【解析】因?yàn)槟芡瞥觯遣荒芡瞥?，所以是不等式的一個(gè)充分不必要條件，故答案為：（答案不唯一）【技巧總結(jié)】判斷充分條件、必要條件的注意點(diǎn)（1）明確條件與結(jié)論．（2）判斷若p，則q是否成立時(shí)注意利用等價(jià)命題．（3）可以用反例說明由p推不出q，但不能用特例說明由p可以推出q．充分條件、必要條件的兩種判斷方法（1）定義法：①確定誰是條件，誰是結(jié)論；②嘗試從條件推結(jié)論，若條件能推出結(jié)論，則條件為充分條件，否則就不是充分條件；③嘗試從結(jié)論推條件，若結(jié)論能推出條件，則條件為必要條件，否則就不是必要條件．（2）命題判斷法：①如果命題：“若p，則q”為真命題，那么p是q的充分條件，同時(shí)q是p的必要條件；②如果命題：“若p，則q”為假命題，那么p不是q的充分條件，同時(shí)q也不是p的必要條件．題型二：根據(jù)充分條件求參數(shù)取值范圍例10．（2022·湖南·長(zhǎng)沙市南雅中學(xué)高二階段練習(xí)）已知p：，q：，若p是q的充分不必要條件，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】命題p：因?yàn)?，所以，解得，命題q：，因?yàn)閜是q的充分不必要條件，所以．故選：C例11．（2022·河南河南·高一期末）已知集合，或．（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，且“”是“”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解析】（1）解：當(dāng)時(shí)，，或，∴．（2）解：∵或，∴，∵“”是“”的充分不必要條件，∴是的真子集，∵，∴，∴，∴，故實(shí)數(shù)的取值范圍為．例12．（2022·江蘇·高一）已知其中．（1）若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）設(shè)命題p：A={x|x2>0}，即p：A={x|x>2}，命題q：B={x|ax4>0}，因?yàn)閜是q的充分不必要條件，所以A?B，．即解得a>2所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為（2）由（1）得p：A={x|x>2}，q：B={x|ax4>0}，因?yàn)槭堑谋匾怀浞謼l件，所以B?A，①當(dāng)a=0時(shí)，B=，滿足題意；②當(dāng)a>0時(shí)，由B?A，得．>2，即0<a<2；．③當(dāng)a<0時(shí)，顯然不滿足題意．綜合①②③得，實(shí)數(shù)a的取值范圍為例13．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知集合，或．（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，且“”是“”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，集合，或，或（2）若，且“”是“”充分不必要條件，因?yàn)椋瑒t解得．故的取值范圍是：例14．（2022·甘肅白銀·高二期末（文））已知集合，．若，且“”是“”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解析】由“”是“”的充分不必要條件，即A是的真子集，又，，所以，可得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．【技巧總結(jié)】（1）化簡(jiǎn)p、q兩命題，（2）根據(jù)p與q的關(guān)系（充分、必要、充要條件）轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系，（3）利用集合間的關(guān)系建立不等關(guān)系，（4）求解參數(shù)范圍．題型三：根據(jù)必要條件求參數(shù)取值范圍例15．（2022·全國·高一）已知集合，或，若“”是“”的必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________．【答案】【解析】∵“”是”的必要條件，∴，當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，根據(jù)題意作出如圖所示的數(shù)軸，由圖可知或，解得或，綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．例16．（2022·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)（文））若“”是“”的必要不充分條件，則a的值可以是___________．（寫出滿足條件a的一個(gè)值即可）【答案】（答案不唯一，滿足即可）【解析】因?yàn)椤啊笔恰啊钡谋匾怀浞謼l件，所以．故答案為：（答案不唯一，滿足即可）．例17．（2022·陜西·西安市雁塔區(qū)第二中學(xué)高二階段練習(xí)（文））已知集合，，全集．（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若“”是“”的必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，集合，或，．（2）若“”是“”的必要條件，則，①當(dāng)時(shí)，；②，則且，．綜上所述，或．例18．（2022·河南駐馬店·高一期末）已知集合，．（1）若，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；（2）若“”是“”的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．【解析】（1）解：由得解，所以，又若，分類討論：當(dāng)，即解得，滿足題意；當(dāng)，即，解得時(shí)，若滿足，則必有或；解得．綜上，若，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為．（2）解：由“”是“”的必要不充分條件，則集合，若，即，解得，若，即，即，則必有，解得，綜上可得，，綜上所述，當(dāng)“”是“”的必要不充分條件時(shí)，即為所求．例19．（2022·江蘇·高一單元測(cè)試）已知或或，若是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】由是的必要不充分條件，所以，則或，解得：．的取值范圍是．【技巧總結(jié)】（1）化簡(jiǎn)p、q兩命題，（2）根據(jù)p與q的關(guān)系（充分、必要、充要條件）轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系，（3）利用集合間的關(guān)系建立不等關(guān)系，（4）求解參數(shù)范圍．題型四：根據(jù)充要條件求參數(shù)取值范圍例20．（2021·全國·高一專題練習(xí)）方程至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件是（

）A． B． C． D．或【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，方程為有一個(gè)負(fù)實(shí)根，反之，時(shí)，則，于是得；當(dāng)時(shí)，，若，則，方程有兩個(gè)不等實(shí)根，，即與一正一負(fù)，反之，方程有一正一負(fù)的兩根時(shí)，則這兩根之積小于0，，于是得，若，由，即知，方程有兩個(gè)實(shí)根，必有，此時(shí)與都是負(fù)數(shù)，反之，方程兩根都為負(fù)，則，解得，于是得，綜上，當(dāng)時(shí)，方程至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根，反之，方程至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根，必有．所以方程至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件是．故選：C例21．（2022·全國·高一期末）若集合，，其中為實(shí)數(shù)．（1）若是的充要條件，則________；（2）若是的充分不必要條件，則的取值范圍是：__________；（答案不唯一，寫出一個(gè)即可）【答案】

（答案不唯一）【解析】（1）由已知可得，則是方程的解，且有，解得；（2）若不等式對(duì)任意的恒成立，則對(duì)任意的恒成立，當(dāng)時(shí)，，則，因?yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件，故的取值范圍可以是（答案不唯一）．故答案為：（1）；（2）（答案不唯一）．例22．（2022·江蘇·高一）若“”是“”的充要條件，則實(shí)數(shù)m的取值是_________．【答案】0【解析】，則{x|}＝{x|}，即．故答案為：0．例23．（2022·江蘇·高一）．設(shè)，一元二次方程有整數(shù)根的充要條件是_______【答案】3或4【解析】【詳解】直接利用求根公式進(jìn)行計(jì)算，然后用完全平方數(shù)、整除等進(jìn)行判斷計(jì)算．，因?yàn)槭钦麛?shù)，即為整數(shù)，所以為整數(shù)，且，又因?yàn)?，取，?yàn)證可知符合題意；反之時(shí)，可推出一元二次方程有整數(shù)根．例24．（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知，，求的充要條件．【解析】解：的充要條件是方程組至少有一組實(shí)數(shù)解，即方程至少有一個(gè)非負(fù)根，方程有根則，解得．上述方程有兩個(gè)負(fù)根的充要條件是且，即，∴．于是這個(gè)方程至少有一個(gè)非負(fù)根的的取值范圍是．故的充要條件為．例25．（2021·江蘇·高一單元測(cè)試）已知（1）是否存在m∈R使是的充要條件？若存在，求出m范圍；若不存在，說明理由；（2）是否存在m∈R使是的必要條件？若存在，求出m范圍；若不存在，說明理由．【解析】解：，．（1）要使是的充要條件，則，即

此方程組無解，則不存在實(shí)數(shù)，使是的充要條件；（2）要使是的必要條件，則，當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得，要使，則有解得，所以，綜上可得，當(dāng)實(shí)數(shù)時(shí)，是的必要條件．【技巧總結(jié)】（1）化簡(jiǎn)p、q兩命題，（2）根據(jù)p與q的關(guān)系（充分、必要、充要條件）轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系，（3）利用集合間的關(guān)系建立不等關(guān)系，（4）求解參數(shù)范圍．題型五：充要條件的證明例26．（2021·福建福州·高一期中）證明：“”是“關(guān)于的方程有一正一負(fù)根”的充要條件．【解析】充分性：若，則關(guān)于的方程有一正一負(fù)根，證明如下：當(dāng)時(shí)，，所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，設(shè)兩根分別為，，則，所以方程有一正一負(fù)根，故充分性成立，必要性：若“關(guān)于的方程有一正一負(fù)根”，則，證明如下：設(shè)方程一正一負(fù)根分別為，，則，所以，所以若“關(guān)于的方程有一正一負(fù)根”，則，故必要性成立，所以“”是“關(guān)于的方程有一正一負(fù)根”的充要條件．例27．（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）若a，，p：，q：．判斷p是否為q的充要條件．【解析】p是q的充要條件．理由：若，則，即；若，則，即，故，所以p是q的充要條件．例28．（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)a，b，．求證：，，的充要條件是，，．【解析】證明：（必要性）由，，，顯然有，，．（充分性）用反證法：假設(shè)，，不成立，則a，b，c中至少有一個(gè)不大于0．由a，b，c的對(duì)稱性，不妨設(shè)由得，從而由，得，即故，于是．這與矛盾，于是假設(shè)不成立．因此，，，．例29．（2021·安徽省太和中學(xué)高一階段練習(xí)）求證：關(guān)于x的方程有兩個(gè)同號(hào)且不相等的實(shí)數(shù)根的充要條件是．【解析】①充分性：因?yàn)?，所以方程的判別式，且兩根積，所以方程有兩個(gè)同號(hào)且不相等的實(shí)根．②必要性：若方程有兩個(gè)同號(hào)且不相等的實(shí)根，設(shè)兩根為，則有，解得．綜合①②可知，方程有兩個(gè)同號(hào)且不相等的實(shí)根的充要條件是，命題得證．例30．（2021·上海市新場(chǎng)中學(xué)高一階段練習(xí)）已知命題：，命題：（1）若是必要非充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求證：是成立的充要條件．【解析】設(shè)，，若是必要非充分條件，則是的真子集，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)滿足是的真子集，符合題意；當(dāng)時(shí)，若是的真子集，則，所以，綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為：；（2）充分性：若，則若，則，所以命題：可得出命題：；故充分性成立；必要性：若，則，若命題：可得出命題：，則，所以，故必要性成立；綜上所述：是成立的充要條件．【技巧總結(jié)】（1）證明充分性；（2）證明必要性．【同步練習(xí)】一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（2022·浙江·慈溪市三山高級(jí)中學(xué)高二學(xué)業(yè)考試）已知，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當(dāng)：若異號(hào)，即，顯然成立；若或，均有成立；所以充分性成立；當(dāng)：若，，顯然不成立，故必要性不成立．所以“”是“”的充分不必要條件．故選：A2．（2022·吉林·長(zhǎng)春外國語學(xué)校高二期中）若，，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由題意知：不能推出，不滿足充分性；反之能推出，滿足必要性，則是的必要不充分條件．故選：B．3．（2022·江西·豐城九中高一階段練習(xí)）荀子曰：“故不積跬步，無以至千里；不積小流，無以成江海．”這句來自先秦時(shí)期的名言闡述了做事情不一點(diǎn)一點(diǎn)積累，就永遠(yuǎn)無法達(dá)成目標(biāo)的哲理．由此可得，“積跬步”是“至千里”的（

）A．充分條件 B．必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】根據(jù)“做事情不一點(diǎn)一點(diǎn)積累，就永遠(yuǎn)無法達(dá)成目標(biāo)”，即要達(dá)成目標(biāo)必須一點(diǎn)一點(diǎn)積累，所以“積跬步”是“至千里”的必要條件．故選：B4．（2022·浙江·溫州中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】取，顯然成立，而，即推不出，不滿足充分性；當(dāng)時(shí)，若均為非負(fù)數(shù)，顯然，成立，若為非負(fù)數(shù)，為負(fù)數(shù)，顯然，成立，若均為負(fù)數(shù)，顯然，成立，即能推出，滿足必要性，故“”是“”的必要不充分條件．故選：B．5．（2022·全國·高一專題練習(xí)）“”是關(guān)于的不等式的解集為R的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．非充分非必要條件【答案】B【解析】若，取時(shí)，不等式，此時(shí)不等式解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)，且時(shí)，不等式，所以，若關(guān)于的不等式的解集為R，則．綜上，“”是關(guān)于的不等式的解集為R的必要非充分條件．故選：B6．（2022·湖南·雅禮中學(xué)高三階段練習(xí)）“x，y為無理數(shù)”是“xy為無理數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【解析】充分性：取符合“x，y為無理數(shù)”，但是不符合“xy為無理數(shù)”，故充分性不滿足；必要性：當(dāng)“xy為無理數(shù)”時(shí)，可以取，但是不符合“x，y為無理數(shù)”，故必要性不滿足．故“x，y為無理數(shù)”是“xy為無理數(shù)”的既不充分也不必要條件．故選：D7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知a，，則“”的一個(gè)必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，故不是的必要條件，故錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，成立，反之，不成立，故是的必要條件，故正確；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，但此時(shí)，故不是的必要條件，故錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，但此時(shí)，故故不是的必要條件，故錯(cuò)誤．故選：B8．（2022·上海市奉賢中學(xué)高一期中）在整數(shù)集Z中，被5除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個(gè)“類”，記為，即，給出四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④“整數(shù)與屬于同一“類””的充要條件是“”．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【解析】對(duì)于①：因?yàn)椋瑥亩?，故①正確；對(duì)于②：不妨令，則，即，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③：因?yàn)槿魏握麛?shù)被5整除，余數(shù)，所以，故③正確；對(duì)于④：（i）若整數(shù)與屬于同一“類”，則一定存在，，使得，，故，即；（ii）若，則一定存在整數(shù)，使得，若整數(shù)與不屬于同一“類”，則必存在整數(shù)，和，且，使得，，此時(shí)，因?yàn)椋瑥亩c矛盾，故整數(shù)與屬于同一“類”，從而“整數(shù)與屬于同一“類””的充要條件是“”，故④正確．故選：C．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）（多選）下列是“，”的必要條件的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】取，，得，故A不是“，”的必要條件；由，，得，故B是“，”的必要條件；取，，得，故C不是“，”的必要條件；由，，得，故D是“，”的必要條件．故選：BD．10．（2022·重慶市楊家坪中學(xué)高一階段練習(xí)）下面命題正確的是（

）A．“”是“”的必要不充分條件B．“”是“一元二次方程有一正一負(fù)根”的充要條件C．設(shè)，則“”是“且”的充分不必要條件D．“”是“”的必要不充分條件【答案】ABD【解析】解：對(duì)于A，根據(jù)必要不充分條件的定義，可知A正確；對(duì)于B，若，則，所以一元二次方程有兩個(gè)根，且一正一負(fù)根，若一元二次方程有一正一負(fù)根，則，則，故B正確；對(duì)于C，若“”，則不一定有“且”，而若“且”，則一定有“”，所以“”是“且”的必要不充分條件，故C不正確；對(duì)于D，若，則或，則若“”，則不一定有“”，而“”時(shí)，一定有“”，所以“”是“”的必要不充分條件，故D正確．故選：ABD．11．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知關(guān)于x的方程，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根之和為0 B．方程無實(shí)數(shù)根的一個(gè)必要條件是C．方程有兩個(gè)正根的充要條件是 D．方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根的充要條件是【答案】BCD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，方程為，方程沒有實(shí)數(shù)根，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，如果方程沒有實(shí)數(shù)根，則所以，是的必要條件，所以選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，如果方程有兩個(gè)正根，則所以，所以方程有兩個(gè)正根的充要條件是，所以選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，如果方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，則所以，所以方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根的充要條件是，所以選項(xiàng)D正確．故選：BCD12．（2022·山東·泰安一中高一階段練習(xí)）已知集合，，則是的真子集的充分不必要條件可以是（

）A． B．m∈C．m∈ D．【答案】AD【解析】因?yàn)榧先艏鲜羌系恼孀蛹?dāng)時(shí)，即集合，顯然成立；當(dāng)時(shí)，則或，所以或所以若集合是集合的真子集，則；所以是的真子集的充分不必要條件可以是或．故選：AD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．（2022·內(nèi)蒙古·赤峰紅旗中學(xué)松山分校高二期末（文））已知p：x＞a是q：2＜x＜3的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【解析】因?yàn)閜：x＞a是q：2＜x＜3的必要不充分條件，故集合為集合的真子集，故只需．故答案為：．14．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）判斷下列命題的真假：（1）是的必要條件；（）（2）是的充分條件；（）（3）兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)角分別相等是兩個(gè)三角形相似的充要條件；（）（4）是的充分而不必要條件．（）【答案】

假

假

真

假【解析】（1）因?yàn)椋?，反之，不一定得出，所以是的充分不必要條件；故命題為假．（2）例如，但是；但是，所以是的既不充分也不必要條件；故命題為假．（3）兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)角分別相等則這兩個(gè)三角形相似，反之兩個(gè)三角形相似則兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)角均相等，所以兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)角分別相等是兩個(gè)三角形相似的充要條件；故命題為真．（4）因?yàn)椋曰?，所以是的必要不充分條件，故命題為假．15．（2022·全國·高一）若命題p是命題“”的充分不必要條件，則p可以是___________．（寫出滿足題意的一個(gè)即可）【答案】，（答案不唯一）．【解析】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，一定成立，而當(dāng)時(shí)，可能，可能，所以是的充分不必要條件，故答案為：（答案不唯一）16．（2022·全國·高一期末）已知p：，q：，，且p是q成立的必要非充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【答案】【解析】因?yàn)閜是q成立的必要非充分條件，所以，所以，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是．故答案為：．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸．17．（10分）（2022·吉林·梅河口市第五中學(xué)高一期中）集合．（1）若，求；（2）若是的必要