七橋問(wèn)題與一筆畫(huà)2021/5/91哥尼斯堡七橋問(wèn)題

現(xiàn)今的加里寧格勒，舊稱(chēng)哥尼斯堡，是一座歷史名城。在十八、十九世紀(jì)，那里是東普魯士的首府，曾經(jīng)誕生和培育過(guò)許多偉大的人物。著名的哲學(xué)家，古典唯心主義的創(chuàng)始人康德，終生沒(méi)有離開(kāi)過(guò)哥尼斯堡一步!二十世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家之一，德國(guó)的希爾伯特也出生于此地。

2021/5/92

哥城景致迷人，碧波蕩漾的普累格河，橫貫其境。在河的中心有一座美麗的小島。普河的兩條支流，環(huán)繞其旁匯成大河，把全城分為下圖所示的四個(gè)區(qū)域：島區(qū)(A)，東區(qū)(B)，南區(qū)(C)和北區(qū)(D)。2021/5/93

著名的哥尼斯堡大學(xué)，傍倚于兩條支流的河旁，使這一秀色怡人的區(qū)域，又增添了幾分莊重的韻味!有七座橋橫跨普累格河及其支流，其中五座把河岸和河心島連接起來(lái)。這一別致的橋群，古往今來(lái)，吸引了眾多的游人來(lái)此散步。

2021/5/94

早在十八世紀(jì)以前，當(dāng)?shù)氐木用癖銦嶂杂谝韵掠腥さ膯?wèn)題：能不能設(shè)計(jì)一次散步，使得七座橋中的每一座都走過(guò)一次，而且只走過(guò)一次?

這便是著名的哥尼斯堡七橋問(wèn)題。2021/5/95

這個(gè)問(wèn)題后來(lái)變得有點(diǎn)驚心動(dòng)魄：說(shuō)是有一隊(duì)工兵，因戰(zhàn)略上的需要，奉命要炸掉這七座橋。命令要求當(dāng)載著炸藥的卡車(chē)駛過(guò)某座橋時(shí)，就得炸毀這座橋，不許遺漏一座！2021/5/96

如果有興趣，完全可以照樣子畫(huà)一張地圖，親自嘗試嘗試。不過(guò)，要告訴大家的是,想把所有的可能線路都試過(guò)一遍是極為困難的！因?yàn)楦鞣N可能的線路有=5040種。要想一一試過(guò)，真是談何容易。正因?yàn)槿绱?，七橋?wèn)題的解答便眾說(shuō)紛紜：有人在屢遭失敗之后，傾向于否定滿(mǎn)足條件的解答的存在；另一些人則認(rèn)為，巧妙的答案是存在的，只是人們尚未發(fā)現(xiàn)而已，這在人類(lèi)智慧所未及的領(lǐng)域，是很常見(jiàn)的事！2021/5/97拿起栓有15個(gè)圓環(huán)的繩子，任選一個(gè)橋的支柱作為起點(diǎn)，沿橋依次套圈，看看是否可以讓除起點(diǎn)之外的13個(gè)橋柱上都有一個(gè)圈。（起點(diǎn)的柱子上有兩個(gè)圈）。結(jié)論是，不可能實(shí)現(xiàn)完成該任務(wù)。2021/5/98歐拉

歐拉（L.Euler,1707.4.15-1783.9.18）著名的數(shù)學(xué)家。生于瑞士的巴塞爾，卒于彼得堡。大部分時(shí)間在俄國(guó)和德國(guó)度過(guò)。他早年在數(shù)學(xué)天才貝努里賞識(shí)下開(kāi)始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),17歲獲得碩士學(xué)位，畢業(yè)后研究數(shù)學(xué),是數(shù)學(xué)史上最高產(chǎn)的作家。在世發(fā)表論文700多篇,去世后還留下100多篇待發(fā)表。其論著幾乎涉及所有數(shù)學(xué)分支。2021/5/99歐拉在數(shù)學(xué)、物理、天文、建筑以至音樂(lè)、哲學(xué)方面都取得了輝煌的成就。在數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，常常見(jiàn)到以歐來(lái)命名的公式、定理、和重要常數(shù)。課本上常見(jiàn)的如π、i、e、sin、cos、tg、△x、Σ、f(x)等，都是他創(chuàng)立并推廣的。歐拉還首先完成了月球繞地球運(yùn)動(dòng)的精確理論，創(chuàng)立了分析力學(xué)、剛體力學(xué)等力學(xué)學(xué)科，深化了望遠(yuǎn)鏡、顯微鏡的設(shè)計(jì)計(jì)算理論。關(guān)鍵詞：驚人的記憶力杰出的智慧頑強(qiáng)的毅力孜孜不倦的奮斗精神高尚的科學(xué)道德2021/5/910數(shù)學(xué)家歐拉知道了七橋問(wèn)題他用四個(gè)點(diǎn)A、B、C、D分別表示小島和岸，用七條線段表示七座橋（如圖）于是問(wèn)題就成為如何“一筆畫(huà)”出圖中的圖形？

●點(diǎn)A、B表示島點(diǎn)C。D表示岸▎線表示橋問(wèn)題分析2021/5/911①有奇數(shù)條邊相連的點(diǎn)叫奇點(diǎn)。如：

③一筆畫(huà)指：1、下筆后筆尖不能離開(kāi)紙。

2、每條線都只能畫(huà)一次而不能重復(fù)。

問(wèn)題分析問(wèn)題的答案如何呢？讓我們先來(lái)了解三個(gè)新概念?！瘛瘛瘼谟信紨?shù)條邊相連的點(diǎn)叫偶點(diǎn)。如：●●●2021/5/912活動(dòng)探究下列圖形中。請(qǐng)找出每個(gè)圖的奇點(diǎn)個(gè)數(shù)，偶點(diǎn)個(gè)數(shù)。試一試哪些可以一筆畫(huà)出，請(qǐng)?zhí)畋恚瑥闹心隳馨l(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？奇點(diǎn)個(gè)數(shù)偶點(diǎn)個(gè)數(shù)能否一筆畫(huà)圖⑴圖⑵圖⑶圖⑷●●ABABCDE●●●●●●A●2021/5/913奇點(diǎn)個(gè)數(shù)偶點(diǎn)個(gè)數(shù)能否一筆畫(huà)圖(5)圖(6)圖(7)圖(8)2021/5/914奇點(diǎn)個(gè)數(shù)偶點(diǎn)個(gè)數(shù)能否一筆畫(huà)圖(9)圖(10)圖(11)2021/5/915

②若奇點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，可選其中一個(gè)奇點(diǎn)做起點(diǎn)，而終點(diǎn)一定是另一個(gè)奇點(diǎn)，即一筆畫(huà)后不可以回到出發(fā)點(diǎn)。總結(jié)規(guī)律

①可以一筆畫(huà)成的圖形，與偶點(diǎn)個(gè)數(shù)無(wú)關(guān)，與奇點(diǎn)個(gè)數(shù)有關(guān)。也就是說(shuō)，凡是圖形中沒(méi)有奇點(diǎn)的（奇點(diǎn)個(gè)數(shù)為0），可選任一個(gè)點(diǎn)做起點(diǎn)，且一筆畫(huà)后可以回到出發(fā)點(diǎn)。

③凡是圖形中有2個(gè)以上奇點(diǎn)的，不能完成一筆畫(huà)。

用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，說(shuō)一說(shuō)七橋問(wèn)題的答案？2021/5/916由于七橋問(wèn)題中的四個(gè)點(diǎn)都是奇點(diǎn)，因此可以判斷它是無(wú)法一筆畫(huà)出來(lái)的，也就是說(shuō)根本不存在能不重復(fù)走遍七座橋的路線！2021/5/917課堂練習(xí)

1、一輛灑水車(chē)要給某城市的街道灑水，街道地圖如下：你能否設(shè)計(jì)一條灑水車(chē)灑水的路線，使灑水車(chē)不重復(fù)地走過(guò)所有的街道，再回到出發(fā)點(diǎn)？菜市場(chǎng)小廣場(chǎng)文具店超市電器城服裝城2021/5/9182、下圖是一個(gè)公園的平面圖，能不能使游人走遍每一條路不重復(fù)？入口和出口又應(yīng)設(shè)在哪兒？課堂練習(xí)

BACDEFG●●●●●●●2021/5/919課堂練習(xí)

3、甲乙兩個(gè)郵遞員去送信，兩人同時(shí)出發(fā)以同樣的速度走遍所有的街道，甲從A點(diǎn)出發(fā)，乙從B點(diǎn)出發(fā)，最后都回到郵局（C點(diǎn)）。如果要選擇最短的線路，誰(shuí)先回到郵局？2021/5/9202021/5/9211、在探究七橋問(wèn)題中，我們運(yùn)用了哪些數(shù)學(xué)思想和方法去研