數(shù)值變量的統(tǒng)計(jì)描述1第一頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六

第四章

定量資料的統(tǒng)計(jì)描述

福建醫(yī)大流行病與衛(wèi)生統(tǒng)計(jì)學(xué)系何保昌2第二頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六統(tǒng)計(jì)描述統(tǒng)計(jì)描述就是用適當(dāng)?shù)谋砀?、圖形、數(shù)量化的指標(biāo)，表達(dá)數(shù)據(jù)的數(shù)量特征，揭示其分布的規(guī)律性統(tǒng)計(jì)描述分為：形象化描述（統(tǒng)計(jì)圖表）——建立對(duì)資料的初步印象；數(shù)值化的描述（統(tǒng)計(jì)指標(biāo)）——給出分布規(guī)律及具體數(shù)值3第三頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六統(tǒng)計(jì)描述為什么要對(duì)資料進(jìn)行統(tǒng)計(jì)描述？醫(yī)學(xué)研究得到的原始數(shù)據(jù)(rawdata)往往是龐大的、混亂的個(gè)體變異的存在，醫(yī)學(xué)研究中某指標(biāo)在各個(gè)體上的觀察結(jié)果不是恒定不變的，但也不是雜亂無(wú)章的；從總體的角度上個(gè)體值的出現(xiàn)是有一定規(guī)律的，即呈一定的分布統(tǒng)計(jì)描述的結(jié)果為進(jìn)一步的統(tǒng)計(jì)推斷提供參考4第四頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六第一節(jié)頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布圖

第二節(jié)

集中趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)描述

第三節(jié)離散趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)描述

第四節(jié)正態(tài)分布及其應(yīng)用本章內(nèi)容第五頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六第一節(jié)頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布圖一、頻數(shù)分布表二、頻數(shù)分布圖6第六頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六一、頻數(shù)分布表

對(duì)一個(gè)隨機(jī)事件進(jìn)行重復(fù)觀察，其中某變量值出現(xiàn)的次數(shù)被稱作頻數(shù)（frequency）。

把變量值及相對(duì)應(yīng)的頻數(shù)列成表格即頻數(shù)分布表,簡(jiǎn)稱頻數(shù)表（frequencytable）。

在觀察值個(gè)數(shù)（即樣本含量n）較多時(shí)，為了解一組同質(zhì)觀察值的分布規(guī)律和便于指標(biāo)的計(jì)算，可編制頻數(shù)分布表。7第七頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六（一）離散型定量變量的頻數(shù)表其取值是不連續(xù)的變量被稱為離散型變量。其取值是0，1，2等不連續(xù)的量。已婚育齡婦女的現(xiàn)有子女?dāng)?shù)；引體向上完成次數(shù)…。離散型變量的頻數(shù)表編制較為簡(jiǎn)單，每一組段往往是一個(gè)取值。表4.1的第(1)、(2)欄。

8第八頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六9第九頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六10第十頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六（二）.連續(xù)性變量的頻數(shù)表的編制例4.2在某市2005年進(jìn)行的小學(xué)生體質(zhì)評(píng)價(jià)研究中，測(cè)定了120名9歲男孩的肺活量(L)，資料如下，根據(jù)該資料制作頻數(shù)表。1.7061.3261.6321.8762.1611.6841.5331.1751.8671.6762.0911.8471.2131.2770.989

2.2351.6651.2891.7241.5481.6081.8901.7331.7961.2031.7361.4501.6331.5551.352

…1.2911.7961.6471.4151.8730.9961.9361.5261.4241.5891.6701.0561.9691.4812.4062.1231.9881.5121.0301.8861.9301.7251.3741.6541.6631.4381.6451.2141.1841.735你能看出資料有什么規(guī)律？11第十一頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六理想的描述結(jié)果組段

（1）頻數(shù)

（2）頻率（%）

（3）0.98~54.171.11~54.171.24~75.831.37~1411.671.50~1915.831.63~2924.171.76~1512.501.89~1210.002.02~65.002.15~43.332.28~2.4143.33合計(jì)120100.0012第十二頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六如何得到上述理想的結(jié)果？頻數(shù)分布表分組劃計(jì)原始資料頻數(shù)分布圖各項(xiàng)統(tǒng)計(jì)指標(biāo)13第十三頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六求極差R：R=max-min確定組數(shù)：組數(shù)的確定應(yīng)以能夠顯示數(shù)據(jù)的分布特征和規(guī)律為目的。對(duì)于100余例的數(shù)據(jù)通常分為8－15組?；蚋鶕?jù)以下經(jīng)驗(yàn)公式：確定組距：組距i是一個(gè)組的下限與下一個(gè)組段下限之差，可根據(jù)全部數(shù)據(jù)的最大值和最小值及所分的組數(shù)來(lái)確定，即i＝Int[(max-min)÷組數(shù)]列出組段：第一組段的下限略小于最小值，最后一個(gè)組段上限必須包含最大值統(tǒng)計(jì)出各組的頻數(shù)并整理成頻數(shù)分布表1.頻數(shù)表14第十四頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六根據(jù)這些數(shù)據(jù)編制成的頻數(shù)表能顯示出這組數(shù)據(jù)分布的特征表4-22005年某市120名9歲男孩肺活量（L）頻數(shù)分布組段

（1）頻數(shù)

（2）頻率（%）

（3）累計(jì)頻數(shù)

（4）累計(jì)頻率（%）

（5）0.98~54.1754.171.11~54.17108.331.24~75.831714.171.37~1411.673125.831.50~1915.835041.671.63~2924.177965.831.76~1512.509478.331.89~1210.0010688.332.02~65.0011293.332.15~43.3311696.672.28~2.4143.33120100.00合計(jì)120100.00

15第十五頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六2、頻數(shù)分布圖

以觀測(cè)變量為橫軸，頻數(shù)(或頻率)為縱軸所作的直方圖，稱為頻數(shù)分布圖。橫軸依次以等距標(biāo)出各組段的起點(diǎn)，在各組段上方分別繪制寬度等于組距、高度等于相應(yīng)頻數(shù)的長(zhǎng)方形。用途與頻數(shù)表類似，但更直觀、形象。

16第十六頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六圖4.12005年某市120名9歲男孩肺活量頻數(shù)分布

17第十七頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六肺活量的分布形態(tài)9歲男孩肺活量介于0.98～2.41L間以“1.63～”組段的頻數(shù)最多從“1.63～”組段向兩端逐漸減少表現(xiàn)出以“1.63～”組段為中心基本對(duì)稱的特點(diǎn)18第十八頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六頻數(shù)表與頻數(shù)圖的作用頻數(shù)表與頻數(shù)圖可以提供不同分組的觀察人數(shù)、頻率與頻率密度觀察分布范圍及有無(wú)可疑值確定分布的類型：對(duì)稱或不對(duì)稱分布19第十九頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六對(duì)稱分布頻數(shù)分布圖表現(xiàn)為圖形以某一數(shù)值對(duì)稱或近似對(duì)稱分布直方圖形中間直條最高，兩邊對(duì)稱地逐漸減少，統(tǒng)計(jì)學(xué)稱之為正態(tài)分布或近似正態(tài)分布20第二十頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六不對(duì)稱分布分布不對(duì)稱者稱為偏態(tài)分布skewnessdistribution

偏態(tài)分布又分為正偏分布和負(fù)偏分布正偏分布positiveskewness是指分布的長(zhǎng)尾在峰的右側(cè)所謂負(fù)偏分布negativeskewness是指分布的長(zhǎng)尾在峰的左側(cè)21第二十一頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六Negativeskewness：老年人生存質(zhì)量自評(píng)分0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

100

200

300

0

400

自評(píng)分人數(shù)22第二十二頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六Positiveskewness：黑色素瘤患者的生存時(shí)間0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0

10203040

生存時(shí)間(月)人數(shù)23第二十三頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六如何更具體、精確？了解了數(shù)據(jù)分布的形態(tài)（對(duì)稱與否）、是否有異常值，僅僅意味著對(duì)數(shù)據(jù)有了初步認(rèn)識(shí)，尚未得到數(shù)據(jù)的“精確”特征例如：教務(wù)處得到07與08兩個(gè)年級(jí)的醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)成績(jī)，如何判斷優(yōu)劣？需要計(jì)算所謂的特征值，用于反映全部對(duì)象取值特點(diǎn)分?jǐn)?shù)段07級(jí)08級(jí)例數(shù)%例數(shù)%<6043.776.960~1917.62221.870~3835.22625.780~3532.43029.790~1001211.11615.924第二十四頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六3、描述集中趨勢(shì)與離散趨勢(shì)的指標(biāo)集中趨勢(shì)centraltendency：反映同質(zhì)的群體中數(shù)據(jù)向其中心值靠攏的傾向和程度；測(cè)量集中趨勢(shì)就是尋找數(shù)據(jù)水平的代表值或中心值，該值通常稱為平均數(shù)離散趨勢(shì)dispersetendency：反映各變量值遠(yuǎn)離其中心值的程度，體現(xiàn)了同質(zhì)群體內(nèi)部個(gè)體間的變異大小，也稱為變異度25第二十五頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六集中趨勢(shì)的描述常見(jiàn)的平均數(shù)指標(biāo)有：算術(shù)均數(shù)、幾何均數(shù)、中位數(shù)不同分布類型（對(duì)稱或不對(duì)稱）的數(shù)據(jù)應(yīng)使用不同的集中趨勢(shì)指標(biāo)26第二十六頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六算術(shù)均數(shù)算術(shù)均數(shù)arithmeticmean

（μ總體均數(shù)，樣本均數(shù)）簡(jiǎn)稱均數(shù)，在已知各觀察單位具體變量值時(shí)，可以采用直接法計(jì)算，公式如下：27第二十七頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六算術(shù)均數(shù)測(cè)得8只正常大鼠血清總酸性磷酸酶（TACP）含量（U/L）為：4.20、6.43、2.08、3.45、2.26、4.04、5.42、3.38；求其平均水平。解28第二十八頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六算術(shù)均數(shù)求120名9歲男孩的平均肺活量資料來(lái)源于整理后的頻數(shù)表，無(wú)法取得原始數(shù)據(jù)采用加權(quán)法計(jì)算加權(quán)均數(shù)，作為算術(shù)均數(shù)的近似值組段

（1）頻數(shù)

（2）頻率（%）

（3）0.98~54.171.11~54.171.24~75.831.37~1411.671.50~1915.831.63~2924.171.76~1512.501.89~1210.002.02~65.002.15~43.332.28~2.4143.33合計(jì)120100.0029第二十九頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六算術(shù)均數(shù)加權(quán)均數(shù)(weightedmean)直接法算術(shù)均數(shù)是加權(quán)均數(shù)的一個(gè)特例30第三十頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六算術(shù)均數(shù)組段頻數(shù)組中值頻數(shù)×組中值0.98~51.0455.2251.11~51.1755.8751.24~71.3059.1351.37~141.43520.091.50~191.56529.7351.63~291.69549.1551.76~151.82527.3751.89~121.95523.462.02~62.08512.512.15~42.2158.862.28~2.4142.3459.38合計(jì)120

200.831第三十一頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六算術(shù)均數(shù)直接法計(jì)算的均數(shù)為：1.672加權(quán)法計(jì)算的均數(shù)為：1.673二者十分接近；可見(jiàn)加權(quán)法計(jì)算的結(jié)果是對(duì)直接法的良好近似；而且加權(quán)法的計(jì)算較直接法穩(wěn)定，簡(jiǎn)便32第三十二頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六算術(shù)均數(shù)小結(jié)它是一組數(shù)據(jù)的均衡點(diǎn)所在；集中趨勢(shì)的最常用指標(biāo)易受極端值的影響用于定量數(shù)據(jù)，不能用于分類數(shù)據(jù)和等級(jí)數(shù)據(jù)適用于服從對(duì)稱分布計(jì)量資料（正態(tài)或近似正態(tài)）的集中趨勢(shì)描述33第三十三頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六假設(shè)某投資者擁有資金1000元，第一年他取得10％的收益，第二年為15％，第三年為20％，求平均收益？第一年末所擁有的資金為其原始的1.1倍第二年末所擁有的資金為其原始的1.1×1.15倍第三年末所擁有的資金為其原始的1.1×1.15×1.2倍假設(shè)他三年來(lái)的投資收益是平均的，那么他的年平均收益a應(yīng)該滿足a×a×a=1.1×1.15×1.2；所以：即他的年均收益為14.9274905%，而不是(0.1＋0.15＋0.2)/3=0.15問(wèn)題：平均發(fā)展速度34第三十四頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六問(wèn)題：平均抗體滴度7名慢性遷延性肝炎患者的HBsAg滴度資料為：1:16、1:32、1:32、1:64、1:64、1:128、1:512，求平均滴度？如果改用算術(shù)均數(shù)的直接法：先將各滴度取倒數(shù)，倒數(shù)的平均數(shù)約為121.14，所以平均滴度約為1:121比1:121大的有5個(gè)數(shù)據(jù)，而比它小的只有2個(gè)，而且大多數(shù)的數(shù)據(jù)在1:100以內(nèi)，所以看來(lái)1:121不合適！相似的思路處理抗體滴度問(wèn)題：假設(shè)1:16為基礎(chǔ)滴度，則原始數(shù)據(jù)可以看作是1倍、2倍、2倍、4倍、4倍、8倍、和32倍稀釋；求平均稀釋倍數(shù)35第三十五頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六已知矩形邊長(zhǎng)為4和1，求平均邊長(zhǎng)已知長(zhǎng)方體長(zhǎng)、寬、高分別為4、1、2，求平均邊長(zhǎng)矩形平均邊長(zhǎng)為2，長(zhǎng)方體平均邊長(zhǎng)也為2問(wèn)題：平均邊長(zhǎng)36第三十六頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六幾何平均數(shù)上述例子可見(jiàn)平均邊長(zhǎng)、平均發(fā)展速度、平均抗體稀釋倍數(shù)等平均指標(biāo)的求法與算術(shù)均數(shù)有所差別將這種由n個(gè)數(shù)據(jù)相乘后開(kāi)n次方求得的平均數(shù)稱為幾何平均數(shù)geometricmean，表示為G37第三十七頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六幾何平均數(shù)抗體滴度倒數(shù)頻數(shù)162327641112813256125127合計(jì)5252名慢性肝炎患者的HBsAg滴度經(jīng)過(guò)整理后如右表采用加權(quán)法計(jì)算加權(quán)幾何均數(shù)38第三十八頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六

其血凝抗體滴度的平均滴度為1:27.35。

抗體滴度滴度倒數(shù)XlgX人數(shù)fflgX

1:41:8480.60210.9031492.40848.12791:161:321:641:1281:2561632641282561.20411.50511.80622.10722.40822120125425.286130.102021.674410.53609.6328合計(jì)-

-75107.7676例子4.5表4.375名兒童的平均抗體滴度計(jì)算表39第三十九頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六幾何平均數(shù)與算術(shù)均數(shù)從上述公式中可見(jiàn)，幾何均數(shù)的對(duì)數(shù)值相當(dāng)于原觀察值對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化后所求得的算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)的使用條件是數(shù)據(jù)滿足對(duì)稱或近似對(duì)稱分布；即意味著，如果數(shù)據(jù)在經(jīng)對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換后滿足對(duì)稱分布，就可以求其幾何平均數(shù)40第四十頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六幾何平均數(shù)小結(jié)適用于呈等比級(jí)數(shù)、或呈倍數(shù)變化的數(shù)據(jù)；例如醫(yī)學(xué)上的抗體滴度、人口變化速度、細(xì)菌增長(zhǎng)率、藥物效價(jià)等常用于表示呈正偏態(tài)，但是經(jīng)過(guò)對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換后可以滿足對(duì)稱（正態(tài)）的數(shù)據(jù)的平均水平數(shù)據(jù)中不可以有0，如果有0用一個(gè)很小的正數(shù)代替；不可同時(shí)有正負(fù)數(shù)在醫(yī)學(xué)之外，它常用于計(jì)算事物變化的平均速度（經(jīng)濟(jì)學(xué)）41第四十一頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六對(duì)于某項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)較高的新手術(shù)術(shù)后的生存時(shí)間進(jìn)行跟蹤，共調(diào)查了7人，6人死亡之前分別生存了5天、6天、10天、16天、25天、29天，還有一人術(shù)后30天隨訪時(shí)仍存活；求他們的平均生存時(shí)間？問(wèn)題：42第四十二頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六中位數(shù)中位數(shù)median：觀察值排序后處于中間位置上的值對(duì)于有奇數(shù)位數(shù)的數(shù)據(jù)

Me

＝(n+1)/2位數(shù)對(duì)于有偶數(shù)位數(shù)的數(shù)據(jù)

Me

＝[n/2位數(shù)+(n/2+1)位數(shù)]/2Me50%50%43第四十三頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六中位數(shù)某藥廠觀察9只小鼠口服高山紅景天醇提取物（RSAE）后在缺氧條件下生存時(shí)間（分鐘）如下：

原始數(shù)據(jù):49.160.863.363.663.665.665.868.669.0

排序:49.160.863.363.663.665.665.868.669.0

位置:12345678944第四十四頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六例4.617名砷中毒患者發(fā)砷含量1.612.33.333.8114.761.912.63.754.422.242.843.756.422.243.153.756.42例4.7在4.6基礎(chǔ)上，又測(cè)1名名砷中毒患者發(fā)砷含量為15.3945第四十五頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六①求n/2；②計(jì)算累計(jì)頻數(shù)；③兩者比較確定M所在組；④根據(jù)公式計(jì)算。計(jì)算步驟46第四十六頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六評(píng)分頻數(shù)累計(jì)頻數(shù)累計(jì)頻率(%)頻率范圍0~220.910~0.9130~241.830.92~1.8340~373.201.84~3.2050~11188.223.21~8.2260~304821.928.23~21.9270~6311150.6821.93~50.6880~6017178.0850.69~78.0890~10048219100.0078.09~100.00表4.4219名乳腺癌患者康復(fù)期生存質(zhì)量評(píng)分例4.8為研究乳癌患者術(shù)后康復(fù)期生存質(zhì)量的狀況，某醫(yī)院對(duì)219名術(shù)后康復(fù)期乳癌患者進(jìn)行了生存質(zhì)量測(cè)定，結(jié)果如表4.4，求平均評(píng)分。47第四十七頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六M=

=70+10/63（219×50%-48）

=79.76(分)48第四十八頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六中位數(shù)求120名男童身高的中位數(shù)資料來(lái)源于整理后的頻數(shù)表，無(wú)法取得原始數(shù)據(jù)如何計(jì)算中位數(shù)？身高例數(shù)比例(%)112~21.7114~75.8116~97.5118~1411.7120~1512.5122~2117.5124~1815.0126~1512.5128~108.3130~54.2132~32.5134~13610.849第四十九頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六中位數(shù)組段頻數(shù)頻率(%)累計(jì)頻率(%)112～21.71.7114～75.87.5116～97.515.0118～1411.726.7120～1512.539.2122～2117.556.7124～1815.071.7126～1512.584.2128～108.392.5130～54.296.7132~32.599.2134～13610.8100.0合計(jì)120100—50第五十頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六中位數(shù)頻數(shù)表法計(jì)算公式：式中L50、i50和f50分別為中位數(shù)所在組段的下限、組距和頻數(shù)；為小于L50各組段的累積頻數(shù)，n為總例數(shù)51第五十一頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六中位數(shù)直接法計(jì)算的中位數(shù)為：122.7頻數(shù)表法計(jì)算的中位數(shù)為：123.2該組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)為：123.02可見(jiàn)對(duì)于近似對(duì)稱分布的數(shù)據(jù)，中位數(shù)與算術(shù)平均數(shù)是十分接近的（理論上對(duì)于完全對(duì)稱分布，二者是相等的）對(duì)于偏態(tài)分布的數(shù)據(jù)，二者的關(guān)系又是如何？52第五十二頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六中位數(shù)vs.算術(shù)平均數(shù)4位職員月收入3000、3500、4000、4500；經(jīng)理月收入2萬(wàn)，求該部門5位人員平均月收入？算術(shù)均數(shù)求得為7000，但是不論職員還是經(jīng)理的收入均與此相區(qū)甚遠(yuǎn)，即算術(shù)均數(shù)作為這一組數(shù)據(jù)的集中位置不合理中位數(shù)求得為4000元，很好的體現(xiàn)了“少數(shù)服從多數(shù)”的原則：在4000附近的確人數(shù)占絕大多數(shù)，這應(yīng)該是具有說(shuō)服力的“集中位置”！能否總結(jié)一下為什么舍算術(shù)均數(shù)而取中位數(shù)？53第五十三頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六中位數(shù)vs.算術(shù)平均數(shù)對(duì)于偏態(tài)分布資料，算術(shù)均數(shù)受極端值的影響，偏離了“中心”位置，不再合理反映“集中點(diǎn)”所以對(duì)于偏態(tài)分布數(shù)據(jù)，多采用中位數(shù)反映平均水平而對(duì)于近似對(duì)稱分布數(shù)據(jù)，二者均可以反映平均水平，但是算術(shù)均數(shù)對(duì)數(shù)據(jù)的變化反映較中位數(shù)靈敏，得到的指標(biāo)更精確54第五十四頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六正、正負(fù)偏態(tài)的由來(lái)對(duì)于正偏態(tài)數(shù)據(jù)有算術(shù)均數(shù)>中位數(shù)，故算術(shù)均數(shù)減去中位數(shù)為正值，稱這種數(shù)據(jù)分布為正偏態(tài)對(duì)于負(fù)偏態(tài)數(shù)據(jù)有算術(shù)均數(shù)<中位數(shù)，故算術(shù)均數(shù)減去中位數(shù)為負(fù)值，稱這種數(shù)據(jù)分布為負(fù)偏態(tài)55第五十五頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六適用于分布呈明顯偏態(tài)，數(shù)據(jù)中存在極大或極小值，分布的一端或兩端無(wú)確定數(shù)值，或分布不清的資料它是位置參數(shù)，不受極端值的影響，因此較算術(shù)均數(shù)穩(wěn)定對(duì)于對(duì)稱分布的資料，理論上中位數(shù)與算術(shù)均數(shù)是相等的

中位數(shù)小結(jié)56第五十六頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六

對(duì)于兩組資料集中趨勢(shì)的描述：

樣本1：樣本含量9，算術(shù)均數(shù)10.11，中位數(shù)9.9

樣本2：樣本含量9，算術(shù)均數(shù)10.11，中位數(shù)9.9

結(jié)論：兩個(gè)樣本完全一樣？

樣本1:8.99.49.69.79.910.410.911.011.2

樣本2:2.93.13.85.19.910.017.018.021.2兩個(gè)樣本的資料相同或不同？57第五十七頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六離散趨勢(shì)指標(biāo)離散趨勢(shì)反映數(shù)據(jù)特征的另外一個(gè)重要方面——“離心”程度不同類型的數(shù)據(jù)有不同的離散程度測(cè)量值58第五十八頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六極差極差range：一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值之差離散程度的最簡(jiǎn)單測(cè)度值易受極端值影響未考慮數(shù)據(jù)的分布一般極差越大，則數(shù)據(jù)的變異性越大；但是它沒(méi)有考慮除極值外其他數(shù)據(jù)的變異情況；而且樣本的極差通常過(guò)小地估計(jì)了總體的極差789107891059第五十九頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六四分位數(shù)它與中位數(shù)一樣，都是特殊的位置百分位數(shù)Qu，第75%位數(shù)又稱為上四分位數(shù)（上限）QL，第25%位數(shù)又稱為下四分位數(shù)（下限）四分位數(shù)quartile：排序后處于25%和75%位置上的值QLMQU25%25%25%25%60第六十頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六直接法：（自學(xué)）

見(jiàn)教材P48，例4.1161第六十一頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六四分位數(shù)的確定頻數(shù)表法:

第x百分位數(shù)

式中Lx、ix和fx分別為第x百分位數(shù)所在組段的下限組距和頻數(shù)；為小于Lx各組段的累積頻數(shù)，n為總例數(shù)

62第六十二頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六評(píng)分頻數(shù)累計(jì)頻數(shù)累計(jì)頻率(%)頻率范圍0~220.910~0.9130~241.830.92~1.8340~373.201.84~3.2050~11188.223.21~8.2260~304821.928.23~21.9270~6311150.6821.93~50.6880~6017178.0850.69~78.0890~10048219100.0078.09~100.00表4.4219名乳腺癌患者康復(fù)期生存質(zhì)量評(píng)分QU=80+10/60（219×75%-111）=88.88（分)Q=QU－QL=88.88-71.07=17.81QL=70+10/63（219×25%-48）=71.07（分)例4.1363第六十三頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六四分位數(shù)間距四分位數(shù)間距interquartilerange：上四分位數(shù)與下四分位數(shù)之差I(lǐng)QR=QU–QL反映數(shù)據(jù)離散程度，其值越大數(shù)據(jù)離散程度越大體現(xiàn)了中間50%數(shù)據(jù)的離散程度，但是仍然沒(méi)有考慮到每個(gè)觀測(cè)值間的變異受極端值的影響小，比極差穩(wěn)定特別適用于分布呈明顯偏態(tài)；分布形態(tài)不清；分布一端或兩端無(wú)確定數(shù)值的資料常與中位數(shù)一起，綜合描述數(shù)據(jù)的集中和離散趨勢(shì)64第六十四頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六

離均差與離均差和:

為了克服全距、四分位數(shù)間距的缺點(diǎn)，人們考慮到用每個(gè)變量值與均數(shù)之間的差別來(lái)反映離散的程度，所以提出了離均差的概念，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為離均差可正可負(fù)，但是數(shù)學(xué)上可以證明

離均差與離均差和65第六十五頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六

離均差平方和與離均差平方和的平均值:為了避免離均差和等于0的情況，人們考慮將離均差取平方后求其和，于是有了離均差平方和，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為前者稱為SS總體，后者稱為SS樣本；但是SS不但和變異大小有關(guān)，還和觀察值的個(gè)數(shù)有關(guān)，SS隨觀察例數(shù)增多而增大。為了解決這個(gè)問(wèn)題，人們又引入了離均差平方和的平均值，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

離均差平方和與均方66第六十六頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六方差離均差平方和的平均值(MS)，又可稱為方差variance它是反映數(shù)據(jù)離散程度的最常用的指標(biāo)在計(jì)算方差過(guò)程中利用到每個(gè)變量值，所以它表達(dá)的離散趨勢(shì)信息比極差、四分位數(shù)間距更精確但是由于在計(jì)算方差時(shí)用到算術(shù)均數(shù)，所以方差也只能用于反映對(duì)稱或近似對(duì)稱分布資料的離散趨勢(shì)67第六十七頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六

總體方差通常用希臘字母s2(sigma)表示，記作:

但是在實(shí)際研究中，通常只觀察來(lái)自總體中的一個(gè)樣本，所以總體均數(shù)是未知的；此時(shí)用樣本均數(shù)作為總體均數(shù)的估計(jì)值，相應(yīng)的方差稱為樣本方差，其公式為:

式中的n-1又稱為自由度總體方差與樣本方差68第六十八頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六自由度自由度degreeoffreedom,df：一組數(shù)據(jù)中可以自由取值的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)當(dāng)樣本數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為n時(shí)，若樣本均值x確定后,只有n-1個(gè)數(shù)據(jù)可以自由取值，其中必有一個(gè)數(shù)據(jù)則不能自由取值例如，樣本有3個(gè)數(shù)值，即x1=2，x2=4，x3=9，則x=5。當(dāng)x=5確定后，如果x1=6，x2=7，那么x3則必然取2，而不能取其他值樣本方差用自由度去除，其原因可從多方面解釋，從實(shí)際應(yīng)用角度看，在抽樣估計(jì)中，當(dāng)用樣本方差S2去估計(jì)總體方差σ2時(shí)，它是σ2的無(wú)偏估計(jì)值（所有樣本方差的平均值是總體方差）69第六十九頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六標(biāo)準(zhǔn)差

在取方差的過(guò)程中，對(duì)離均差作了平方轉(zhuǎn)換，這樣方差的單位就是原觀察值單位的平方，使用不方便為了使得觀察單位的平均數(shù)指標(biāo)與變異程度指標(biāo)具有相同的單位，通常將方差的算術(shù)平方根作為反映變異程度的一個(gè)重要指標(biāo)，人們將它稱為標(biāo)準(zhǔn)差standarddeviation,SD70第七十頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六方差（MS）標(biāo)準(zhǔn)差（SD）樣本

總體

71第七十一頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六方差（MS）標(biāo)準(zhǔn)差（SD）樣本（x為組中值）

總體（x為組中值）

72第七十二頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六1985年通過(guò)十省調(diào)查得知，農(nóng)村剛滿周歲的女童體重均數(shù)為8.42kg，標(biāo)準(zhǔn)差為0.98kg；身高均數(shù)為72.4cm，標(biāo)準(zhǔn)差為3.0cm，試問(wèn)身高與體重何者變異情況較大？要反映變異程度本例題中宜采用標(biāo)準(zhǔn)差；從標(biāo)準(zhǔn)差的數(shù)值看來(lái)，身高變異程度大于體重。是否合理？身高的單位是cm，而體重的單位是kg，能否認(rèn)為3cm>0.98kg？變異度間的比較問(wèn)題73第七十三頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六變異系數(shù)變異系數(shù)coefficientofvariation：標(biāo)準(zhǔn)差與其相應(yīng)的均值之比它反映數(shù)據(jù)相對(duì)離散程度，沒(méi)有量綱消除了數(shù)據(jù)水平高低和計(jì)量單位的影響，用于不同性質(zhì)數(shù)據(jù)或均數(shù)相差較大時(shí)，離散程度的比較74第七十四頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六頻數(shù)分布表、圖分組劃計(jì)原始資料分布類型數(shù)值變量統(tǒng)計(jì)描述小結(jié)算術(shù)均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換幾何均數(shù)與對(duì)數(shù)值標(biāo)準(zhǔn)差的反對(duì)數(shù)中位數(shù)與四分位數(shù)間距不對(duì)稱對(duì)稱75第七十五頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六統(tǒng)計(jì)量是指A.是統(tǒng)計(jì)總體數(shù)據(jù)得到的量B.反映總體統(tǒng)計(jì)特征的量C.是根據(jù)總體中的全部數(shù)據(jù)計(jì)算出的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)D.是用參數(shù)估計(jì)出來(lái)的E.是由樣本數(shù)據(jù)計(jì)算出的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)已知某疾病患者10人的潛伏期（天）分別為：6，13，5，9，12，10，8，11，8，＞20，其潛伏期的平均水平約為

A.9天B.9.5天C.10天D.10.2天E.11天變異系數(shù)CV的數(shù)值

A.一定大于1；B.一定小于1；C.可大于1；也可小于1；D.一定比s小。76第七十六頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六77第七十七頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六第四節(jié)正態(tài)分布及其應(yīng)用最早是由法國(guó)數(shù)學(xué)家德.莫阿弗爾(A.de.Moivre,1667—1754)于1733年提出（TheDoctrineofChances,1738）；C.F.高斯(CarlFriedrichGauss，1777—1855)則將其成功推導(dǎo)（Theoryofmotionofthecelestialbodiesmovinginconicsectionsaroundthesun,1809），用于使得正態(tài)分布廣為人知，故又稱為GaussDistribution許多現(xiàn)象都可以由高斯分布來(lái)描述：例如，在生產(chǎn)條件不變的情況下，抗壓強(qiáng)度、口徑、長(zhǎng)度等指標(biāo)；同一種生物體的身長(zhǎng)、體重等指標(biāo)；同一種種子的重量；測(cè)量同一物體的誤差；彈著點(diǎn)沿某一方向的偏差；某個(gè)地區(qū)的年降水量；以及理想氣體分子的速度分量，等等。于是人們將正?，F(xiàn)象的數(shù)值滿足的分布稱為“NormalDistribution”78第七十八頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六10DeutscheMark79第七十九頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六

隨著組段的無(wú)限細(xì)分、樣本含量的無(wú)限增加，原本崎嶇不平的直方圖的輪廓逐漸變得平整，以至于形成一條光滑的連續(xù)曲線——正態(tài)分布曲線

直方圖→鐘形曲線80第八十頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六

正如數(shù)學(xué)曲線中x與y嚴(yán)格的對(duì)應(yīng)關(guān)系，在正態(tài)分布曲線坐標(biāo)軸上的點(diǎn)x,y也有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)對(duì)應(yīng)關(guān)系：

上式中f(x)=隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)

=正態(tài)隨機(jī)變量X的總體均數(shù)=正態(tài)隨機(jī)變量X的總體方差=3.1415926;e=2.71828x=隨機(jī)變量的取值(-<x<)Probabilitydensityfunction81第八十一頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六隨機(jī)變量x~N(m，s2)如果隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)滿足：則稱X服從正態(tài)分布,記作x～N(,2),其中：為分布的均數(shù)，為分布的標(biāo)準(zhǔn)差。82第八十二頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六方差相等、均數(shù)不等的正態(tài)分布圖示31283第八十三頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六均數(shù)相等、方差不等的正態(tài)分布圖示21384第八十四頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六正態(tài)分布的圖形特征單峰分布；高峰在均數(shù)處；兩邊沿橫坐標(biāo)軸無(wú)限延伸，理論上永遠(yuǎn)不與之相交以均數(shù)為中心，表現(xiàn)為關(guān)于均數(shù)完全對(duì)稱的鐘形曲線。正態(tài)分布有兩個(gè)參數(shù)(parameter)，總體均數(shù)決定了正態(tài)分布的高峰位置，所以它是正態(tài)分布的位置參數(shù)；而總體標(biāo)準(zhǔn)差決定了正態(tài)分布的分布跨度，所以它是正態(tài)分布的形狀參數(shù)?？傮w均數(shù)增大，分布向橫坐標(biāo)右側(cè)平移；反之，向右平移；如果總體標(biāo)準(zhǔn)差增大，分布變得矮胖，反之變得高瘦85第八十五頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六正態(tài)分布曲線下面積的含義曲線下面積是指由分布曲線與橫坐標(biāo)或者橫坐標(biāo)上的特定區(qū)間所圍成的區(qū)域的面積abxf(x)曲線下面積曲線下面積曲線下面積86第八十六頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六正態(tài)分布曲線下面積的含義對(duì)于連續(xù)型的計(jì)量資料，x可以取某個(gè)區(qū)間或整條數(shù)軸上的任意點(diǎn)值；對(duì)于橫坐標(biāo)軸上的任意特定點(diǎn)，其所對(duì)應(yīng)的曲線下面積都等于0（因?yàn)榫€的面積等于0）x=axf(x)87第八十七頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六正態(tài)分布曲線下面積的含義設(shè)定曲線下面積等于1，對(duì)于橫坐標(biāo)軸上的某個(gè)區(qū)間（a＜x＜b)的曲線下面積，其含義為x取該區(qū)間值時(shí)對(duì)應(yīng)的概率有多大；其數(shù)值的大小用分布函數(shù)式F(X)表示abxf(x)88第八十八頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六曲線下的面積的計(jì)算

對(duì)于任意一個(gè)區(qū)間的曲線下面積，在知道變量值x對(duì)應(yīng)的概率密度函數(shù)f(x)后，都可以根據(jù)微積分的方法求出其面積的大小abxf(x)89第八十九頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六正態(tài)曲線下的面積規(guī)律X軸與正態(tài)曲線所夾面積恒等于1（相當(dāng)于x的所有取值都在橫坐標(biāo)軸上）。對(duì)稱區(qū)域面積相等F(-,-X)F(+X,)F(+X,)＝F(-,-X)90第九十頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六正態(tài)曲線下的面積規(guī)律正態(tài)曲線下面積總和為1正態(tài)曲線關(guān)于均數(shù)對(duì)稱；對(duì)稱的區(qū)域內(nèi)面積相等-1.96～+1.96內(nèi)面積為95%-2.58～+2.58內(nèi)面積為99%91第九十一頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六雖然服從正態(tài)分布的指標(biāo)，只要知道均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差

,就可用微積分的方法求得任意范圍曲線下面積，但此積分是困難的，這給實(shí)際使用帶來(lái)諸多不便。例如：當(dāng)=0，=1時(shí)，在（-1.96,1.96）范圍內(nèi)正態(tài)變量取值概率為0.95，而當(dāng)=0,=1.96時(shí)，在(-1.96,1.96)范圍內(nèi)正態(tài)變量取值概率就不是0.95，而是0.68。這就是說(shuō)P的大小不僅與區(qū)間上下限（x1,x2）有關(guān)，還與、有關(guān)，而我們不可能針對(duì)每個(gè)不同的與都制一張表供研究者參考為了制一張可供不同的、共同使用的表，考慮引進(jìn)標(biāo)準(zhǔn)化變換與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。計(jì)算曲線下面積的實(shí)際問(wèn)題92第九十二頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布standardnormaldistribution是均數(shù)為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1的正態(tài)分布記為N(0,1)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布是唯一的概率密度函數(shù)：93第九十三頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六正態(tài)分布轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布若

x～N(,2)，作變換：

則u服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,12)94第九十四頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線下面積

f(u)

U

0.00 0.020.040.060.08-3.0 0.00130.00130.00120.00110.0010-2.5 0.0062 0.00590.00550.00520.0049-1.9 0.0287 0.02740.02620.02500.0239-1.6 0.0548 0.05260.05050.04850.0465-1.0 0.1587 0.15390.14920.14460.1401

0 0.5000 0.49200.48400.47610.46810u95第九十五頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六正態(tài)分布應(yīng)用：估計(jì)頻數(shù)分布已知某地120名20歲男大學(xué)生的平均身高為，標(biāo)準(zhǔn)差s為4.09cm，求身高在160～175cm者所占比例該地80％男大學(xué)生的身高在何范圍96第九十六頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六Q197第九十七頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六Q298第九十八頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六99第九十九頁(yè)，共一百一十二頁(yè)，編輯于2023年，星期六正態(tài)分布的應(yīng)用：確定