標量衍射的角譜理論第一頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期六§2-1光波的數(shù)學(xué)描述

光振動的復(fù)振幅表示光場隨時間的變化e

-j2pnt不重要:

u(P,t) =a(P)cos[2pnt-j(P)]} =e{a(P)e-j[2pnt-j(P)]}n~1014Hz,無法探測n為常數(shù),線性運算后亦不變對于攜帶信息的光波,感興趣的是其空間變化部分.

故引入復(fù)振幅U(P):為了導(dǎo)出a(P)、n、j(P)必須滿足的關(guān)系，將光場用復(fù)數(shù)表示,以利于簡化運算=e{a(P)e

jj(P).

e

-j2pnt}復(fù)數(shù)表示有利于將時空變量分開U(P)=a(P)e

jj(P)則u(P,t)=e{

U(P)e

-j2pnt

}第二頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期六§2-1光波的數(shù)學(xué)描述

亥姆霍茲（Helmholtz)方程可導(dǎo)出復(fù)振幅滿足的方程為：將U(P)exp(j2pnt)代入波動方程即亥姆霍茲（Helmholtz)方程-—不含時間的波動方程稱為波數(shù)或傳播常數(shù)，表示單位長度上產(chǎn)生的相位變化在自由空間傳播的任何單色光擾動的復(fù)振幅都必須滿足亥姆霍茲方程。也就是說，可以用不含時間變量的復(fù)振幅分布完善地描述單色光波場。

第三頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期六§2-1光波的數(shù)學(xué)描述

光振動的復(fù)振幅表示:說明

U(P)是空間點的復(fù)函數(shù),描寫光場的空間分布,

與時間無關(guān);U(P)=a(P)e

jj(P)

U(P)同時表征了空間各點的振幅|U(P)|=|a(P)|

和相對位相 arg(U)=j(P)方便運算,滿足疊加原理實際物理量是實量.要恢復(fù)為真實光振動:光強分布:

I=UU*

光強是波印廷矢量的時間平均值,正比于電場振幅的平方

u(P,t)=e{U(P)exp(-j2pnt)}

即可第四頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期六§2-1光波的數(shù)學(xué)描述

2、球面波的復(fù)振幅表示點光源或會聚中心球面波:等相面為球面,且所有等相面有共同中心的波k=|k|=2p/l,為波數(shù).表示由于波傳播,在單位長度上引起的位相變化,也表明了光場變化的“空間頻率”(P(x,y,z))0zyx源點S(rk設(shè)觀察點P(x,y,z)與發(fā)散球面波中心的距離為r,k:

傳播矢量球面波的等位相面:kr=c

為球面則P點處的復(fù)振幅:j(P)=k.rk:傳播矢量球面波:k//ra0:單位距離處的光振幅第五頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期六§2-1光波的數(shù)學(xué)描述

會聚球面波會聚球面波(P(x,y,z))會聚點S(r0zyxk第六頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期六§2-1光波的數(shù)學(xué)描述

球面波:空間分布距離r

的表達若球面波中心在原點:若球面波中心在S(x0,y0,z0):P點處的復(fù)振幅:取決于k與r是平行還是反平行第七頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期六光波的數(shù)學(xué)描述

球面波:在給定平面的分布以系統(tǒng)的光軸為z軸,光沿z軸正方向傳播.所考察的平面垂直于z軸令點光源位于z=0的平面上坐標(x0,y0)處.考察與其距離為z的x

-y平面上的光分布需要作近軸近似z第八頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期六光波的數(shù)學(xué)描述

球面波:近軸近似只考慮x

-y平面上對源點S張角不大的范圍,即可以作泰勒展開(1+D)1/21+D/2一級近似二級近似對振幅中r

的可作一級近似.但因為k很大,對位相中的r須作二級近似第九頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期六§2-1光波的數(shù)學(xué)描述

二、球面波:近軸近似已將球面波中心取在z=0的平面,且光波沿z

軸正方向傳播.如果

z>0,上式代表從S發(fā)散的球面波.如果z<0,上式代表向S會聚的球面波.對給定平面是常量隨x,y變化的二次位相因子球面波特征位相球面波中心在原點:x-y

平面上等位相線方程為

:第十頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期六光波的數(shù)學(xué)描述

3、

平面波的復(fù)振幅表示等相面為平面,且這些平面垂直于光波傳播矢量k.等相平面的法線方向k(kcosa,kcosb,kcosg)k的方向余弦均為常量第十一頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期六光波的數(shù)學(xué)描述

3、

平面波的復(fù)振幅表示等相面為平面,且這些平面垂直于光波傳播矢量k.等相平面的法線方向k(kcosa,kcosb,kcosg)k的方向余弦,均為常量以k表示的等相平面方程為k

.r=const.故平面波復(fù)振幅表達式為:線性位相因子常量振幅第十二頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期六光波的數(shù)學(xué)描述

3、平面波:在給定平面的分布在x-y平面上的等位相線

xcosa+ycosb=const為平行直線族在與原點相距為z

的平面上考察平面波的復(fù)振幅:隨x,y線性變化的位相因子常數(shù)幅相因子,A第十三頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期六光波的數(shù)學(xué)描述

4、平面波的空間頻率在與原點相距為z

的平面上考察平面波的位相分布.等位相線是平行直線族.為簡單計,先看k在x-z平面內(nèi):cosb=0等位相面是平行于y軸的一系列平面,間隔為lz等位相面與x-z平面相交形成平行直線等位相面與x-y平面相交形成平行于y軸的直線復(fù)振幅分布:沿x方向的等相線間距:第十四頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期六光波的數(shù)學(xué)描述

四、平面波的空間頻率復(fù)振幅分布:定義復(fù)振幅分布在x方向的空間頻率:復(fù)振幅分布可改寫為:Y=∞,fy=0對于在x-z平面內(nèi)傳播的平面波,在y方向上有:第十五頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期六光波的數(shù)學(xué)描述

平面波的空間頻率:一般情形定義:復(fù)振幅變化空間周期的倒數(shù)稱為平面波的空間頻率平面波在x和y方向的空間頻率分別為:cosa,cosb

為波矢的方向余弦若波矢在x-z平面或y-z平面中,a(b)

又常用它們的余角qx(qy)表示,故:引入空間頻率概念后,單色平面波在xy平面的復(fù)振幅分布可以表示為第十六頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期六光波的數(shù)學(xué)描述

平面波的空間頻率-信息光學(xué)中最基本的概念單位振幅的單色平面波,波矢量k與x軸夾角為30,與y軸夾角為60.(1)畫出z=z1平面上間隔為2p的等相線族,并求出Tx、Ty、T和fx、fy和f。(2)畫出y=y1平面上間隔為2p的等相線族,并求出Tx、Tz和fx、fz.練習(xí)1第十七頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期六光波的數(shù)學(xué)描述

平面波的空間頻率-信息光學(xué)中最基本的概念如果平面波傳播方向在xz平面(或yz平面),與z軸夾角為q,則此平面波復(fù)振幅沿x方向(或y方向)的空間頻率為:第十八頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期六光波的數(shù)學(xué)描述

平面波的空間頻率-信息光學(xué)中最基本的概念對于傳播方向與z軸夾角為-30的情況,再解上題.練習(xí)3振幅為1,波長為l=500nm

的單色平面波,傳播方向在xz平面內(nèi),并與z軸夾角為30.寫出其復(fù)振幅表達式,并求出z=z1平面上復(fù)振幅在x方向和y方向的空間周期Tx和Ty,以及相應(yīng)的空間頻率fx和fy.練習(xí)2第十九頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期六光波的數(shù)學(xué)描述

平面波的空間頻率-信息光學(xué)中最基本的概念空間頻率的單位:cm-1,mm-1,周/mm,條數(shù)/mm等空間頻率的正負:表示傳播方向與x(或y)軸的夾角小于或大于90在給定的座標系,任意單色平面波有一組對應(yīng)的fx和fy,它僅決定于光波的波長和傳播方向.反之,給定一組fx和fy,對于給定波長的單色平面波就能確定其傳播方向cosa=l,fx,cosb=l,fy

要與光的時間頻率嚴格區(qū)分開空間比時間更具體,更直觀,是有形的如果在xy平面上的復(fù)雜的復(fù)振幅分布可以分解為許多簡單的周期分布,則復(fù)雜的光振動可以分解成許多簡單平面波的疊加.二維F.T.在光學(xué)上的意義:第二十頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期六光波的數(shù)學(xué)描述