晶體衍射和倒格子第一頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日為什么研究衍射？第二頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日用什么做為衍射源？晶格常數(shù)的數(shù)量級(jí)是?，由衍射的基本公式2dsin=n可知的數(shù)量級(jí)人們通常利用光子衍射，中子衍射和電子衍射來研究晶體結(jié)構(gòu)。衍射依賴于晶體結(jié)構(gòu)和入射粒子的波長。如果光的波長為500nm，則被晶體單個(gè)原子彈性散射的波的疊加將給出通常的光折射。但是，當(dāng)輻射的波長同晶格常數(shù)相當(dāng)或小于晶格常數(shù)時(shí)，在與入射方向完全不同的方向上將出現(xiàn)衍射束。晶格的周期性決定了晶格可作為衍射光柵。X光的波長可以小于晶體中原子的間距，所以，它是晶體衍射的重要光源。

第三頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日1meV1eV1keV1MeV1mm1m1nm1pmEInfraredregime(IR)UVregimeX-rayGamma-rayWave-particledualityDescribedbyMaxwell’sequationsaspropagatingelectricandmagneticfieldsinwavesoffrequencyandwavelength.DescribedbyquantumtheoryasquantizedbundlesofenergyE,(Photons).E=h=hc/X-raysofenergy10keVcorrespondtolatticespacingof1.24?.Photons(Electromagneticradiation)第四頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日Wave-particleduality

EnergyE=P2/2M(MomentumP)deBrogliewavelength=h/PNeutronsM=1.67x10-27kgElectronsm=0.91x10-30KgWhenE=80meV,=1?WhenE=144eV,=1?Particles第五頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日幾種衍射的比較X射線衍射：

XRD簡易高效，晶胞參數(shù)能定準(zhǔn)，但得到的是宏觀平均信息，而且細(xì)節(jié)結(jié)構(gòu)尤其是輕原子不能準(zhǔn)確確定；

中子衍射確定輕原子、同位素和磁性原子的細(xì)節(jié)信息上功能最強(qiáng)，但晶胞參數(shù)最不靠譜，而且使用不便，因?yàn)槿澜缒茏鲋凶友苌涞膯挝磺缚蓴?shù)；電子衍射總能在微區(qū)細(xì)節(jié)上顯神通，但晶胞參數(shù)等定量結(jié)果不能作為標(biāo)準(zhǔn)，而且電子衍射的制樣困難，好的制樣技術(shù)甚至比電鏡操作本身更難以掌握。物質(zhì)對(duì)電子的散射作用很強(qiáng)[主要來源于原子核對(duì)電子的散射作用，遠(yuǎn)強(qiáng)于物質(zhì)對(duì)X射線的散射作用]，因而電子(束)穿透物質(zhì)的能力大大減弱，故電子衍射只適于材料表層或薄膜樣品的結(jié)構(gòu)分析第六頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日LawrenceBraggHenryBragg布拉格父子簡介1912年開始研究1913年3月制成第一臺(tái)X射線分光計(jì)1913年底，布拉格父子已把晶體結(jié)構(gòu)分析問題總結(jié)成標(biāo)準(zhǔn)步驟，形成了一門嶄新的分析技術(shù)，小布拉格只有23歲。1915年父子二人同獲諾貝爾獎(jiǎng)，小布拉格是最年輕的獲獎(jiǎng)?wù)摺?.1

Bragg衍射公式第七頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日§2.1

Bragg衍射公式當(dāng)觀察點(diǎn)到晶體的距離，以及光源到晶體的距離比晶體尺寸大得多時(shí)，入射光和衍射光都可視為平行光線。我們以簡單晶格（晶格常數(shù)相等）為例來討論晶體衍射問題。第八頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日n稱為衍射級(jí)數(shù)

討論1、波長的要求

2、對(duì)于理想晶體，有103～105個(gè)晶面對(duì)衍射有貢獻(xiàn)

3、上式不考慮基元的具體情況，只是將其看成一個(gè)點(diǎn)

4、布拉格定理是晶格周期性的直接結(jié)果第九頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日

晶體是由放在點(diǎn)陣陣點(diǎn)上的微觀物體(離子、原子團(tuán))組成，x-ray與晶體物體的相互作用歸結(jié)為組成晶體的原子或原子團(tuán)中的電子對(duì)電磁波的散射。

當(dāng)x-ray入射到晶體中時(shí)，每個(gè)離子或原子都將作為散射中心或著說作為新的子波源，以特定的波長和特定的方向?qū)⑷肷洳ㄔ偕⑸涑鋈?，?dāng)從各個(gè)散射中心來的散射波相長干涉時(shí)，將出現(xiàn)散射波的極大值，散射波的強(qiáng)度決定于每個(gè)晶胞中電子的數(shù)目和電子的分布?！?.2散射波振幅第十頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日衍射的兩個(gè)問題衍射的方向問題（什么條件下有衍射，與晶體點(diǎn)陣參數(shù)等幾何因素有關(guān)）振幅的問題（衍射強(qiáng)度的問題，與結(jié)構(gòu)基元所代表的具體結(jié)構(gòu)有關(guān)，如原子的性質(zhì)、數(shù)目、位置及晶體的完整性）第十一頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日1.周期函數(shù)的傅立葉分析

晶體結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)在于平移對(duì)稱性，晶體中任何兩個(gè)用平移矢量聯(lián)系起來的點(diǎn)都具有相同的物理性質(zhì)。

Λ（+）=Λ（），是代表如電荷密度、磁距密度、質(zhì)量密度等局域性質(zhì)的物理量，比如電子濃度n（）=n（+）第十二頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日對(duì)于任何一個(gè)周期函數(shù)常常用來處理問題的方法是作傅立葉分析，看它由什么樣的平面波分量組成，波矢的取值如何，這種處理方法是處理周期結(jié)構(gòu)中波動(dòng)過程的基本出發(fā)點(diǎn)。

第十三頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日考慮一個(gè)具有晶體點(diǎn)陣周期性的函數(shù)：的傅氏級(jí)數(shù)可用三角函數(shù)或指數(shù)函數(shù)來表示：=

、為實(shí)數(shù)，為保證具有晶體點(diǎn)陣的周期性。第十四頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日寫成指數(shù)函數(shù)的形式：=每一個(gè)指數(shù)項(xiàng)叫做一個(gè)傅里葉分量，是一個(gè)平面波。波矢量為：，p為整數(shù)（正、負(fù)和零）。第十五頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日以上分析同樣可用于三維情況，對(duì)：

總可以找到一組波矢，將其展成傅氏級(jí)數(shù)這些波矢在空間的規(guī)則排列，構(gòu)成三維倒易點(diǎn)陣

以倒易點(diǎn)陣矢量為波矢的平面波具有周期性。（因?yàn)樵春瘮?shù)是周期函數(shù)）第十六頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日尋求所有可能的對(duì)任意的晶格平移矢量都應(yīng)該滿足此條件

第十七頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日第十八頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日2.倒易點(diǎn)陣矢量（倒格矢）

假定晶體點(diǎn)陣基矢為，倒易點(diǎn)陣基矢為，由下式定義：

第十九頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日這樣定義的倒易點(diǎn)陣基矢和晶體點(diǎn)陣基矢有如下性質(zhì)：同理：

第二十頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日用表示；表示則上式可寫成：

表明倒易點(diǎn)陣任一基矢和晶體點(diǎn)陣中的兩基矢正交。第二十一頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日

與正點(diǎn)陣相同，由倒易點(diǎn)陣基矢可以定義倒易點(diǎn)陣矢量（為整數(shù)），具有以上形式的矢量稱為倒易點(diǎn)陣矢量，即倒易點(diǎn)陣平移矢量，同晶體點(diǎn)陣類似，倒易點(diǎn)陣就是由倒易點(diǎn)陣矢量所聯(lián)系的諸點(diǎn)的列陣。第二十二頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日可以證明由此定義的倒易點(diǎn)陣矢量正是前面由周期函數(shù)傅氏級(jí)數(shù)中的波矢，即

若，則即可用展成傅氏級(jí)數(shù)，用數(shù)學(xué)式子來表示就是：

第二十三頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日證：若

則

∴

必有故第二十四頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日

傅氏級(jí)數(shù)中的波矢就是這里定義的倒易點(diǎn)陣矢量，故倒易點(diǎn)陣也就是由所聯(lián)系的諸點(diǎn)的列陣，只要函數(shù)有平移不變性，就可以用倒易點(diǎn)陣矢量展成傅氏級(jí)數(shù)，或者說，一個(gè)函數(shù)如果具有晶體點(diǎn)陣周期性，它的傅氏級(jí)數(shù)中的波矢只能是倒易點(diǎn)陣矢量。

倒易點(diǎn)陣基矢由晶體點(diǎn)陣基矢定義，一個(gè)晶體點(diǎn)陣的倒易點(diǎn)陣是唯一的，盡管晶體點(diǎn)陣基矢有不同取法，倒易點(diǎn)陣基矢也不只一組，但一種晶體點(diǎn)陣只有唯一的一種倒易點(diǎn)陣與之對(duì)應(yīng)。第二十五頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日

倒易點(diǎn)陣（倒格子）是傅立葉空間中的點(diǎn)陣，倒易點(diǎn)陣的陣點(diǎn)告訴我們一個(gè)具有晶體點(diǎn)陣周期性的函數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)中的波矢在波矢空間的分布情況，倒易點(diǎn)陣陣點(diǎn)分布決定于晶體點(diǎn)陣的周期性質(zhì)，一個(gè)給定的晶體點(diǎn)陣，其倒易點(diǎn)陣是一定的，因此，一種晶體結(jié)構(gòu)有兩種類型的點(diǎn)陣與之對(duì)應(yīng)：晶體點(diǎn)陣是真實(shí)空間中的點(diǎn)陣，量綱為[L]；倒易點(diǎn)陣是傅立葉空間中的點(diǎn)陣,量綱為[L-1]。如果把晶體點(diǎn)陣本身理解為周期函數(shù)，則倒易點(diǎn)陣就是晶體點(diǎn)陣的傅立葉變換，所以倒易點(diǎn)陣也是晶體結(jié)構(gòu)周期性的數(shù)學(xué)抽象，只是在不同空間(波矢空間)來反映,其所以要變換到波矢空間是由于研究周期性結(jié)構(gòu)中波動(dòng)過程的需要。

第二十六頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日為什么倒空間(reciprocalspace)？一個(gè)物理問題，既可以在正(實(shí)，坐標(biāo))空間描寫，也可以在倒(動(dòng)量)空間描寫坐標(biāo)表象r，動(dòng)量表象k為什么選擇不同的表象？適當(dāng)?shù)剡x取一個(gè)表象，可使問題簡化容易處理。比如電子在均勻空間運(yùn)動(dòng)，雖然坐標(biāo)一直變化，但k守衡，這時(shí)在坐標(biāo)表象當(dāng)然不如在動(dòng)量表象簡單這兩個(gè)空間完全是等價(jià)的，只是一個(gè)變換第二十七頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日正(坐標(biāo))空間倒(動(dòng)量)空間

數(shù)學(xué)：(正)格子數(shù)學(xué)：倒格子觀察：顯微鏡

觀察：X射線衍射第二十八頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日（1）基矢正交性

正點(diǎn)陣基矢為

倒易點(diǎn)陣基矢為

則

3、倒易點(diǎn)陣的性質(zhì)第二十九頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日（2）倒易點(diǎn)陣初基晶胞體積

（3）倒易點(diǎn)陣的倒易點(diǎn)陣是晶體點(diǎn)陣本身

即第三十頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日（4）晶體點(diǎn)陣中一族點(diǎn)陣平面

()，以此晶面指數(shù)為指數(shù)的倒易點(diǎn)陣矢量

與這組晶面正交，并且面間距(即相鄰平面之間的距離)

第三十一頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日第三十二頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日證明：若離原點(diǎn)最近的()晶面

在、、三個(gè)晶軸上的截距為：、、，只需證明

則肯定垂直于（）平面。第三十三頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日∵=-=

=-=

而

∴=

同理=0∴()第三十四頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日面間距ｄ就是或在法線方向的投影，法線方向就是的方向，此時(shí)原點(diǎn)也在()晶面族的某一個(gè)平面上，因此只要求出原點(diǎn)與()晶面之間的距離即可。

∴

第三十五頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日上面的結(jié)果表明了晶體點(diǎn)陣中的一族晶面可用倒易點(diǎn)陣中的一個(gè)陣點(diǎn)來表示(定義了倒易點(diǎn)陣中的一個(gè)陣點(diǎn),也就是說這組平面的法線與面間距均可用來表示，這組晶面就是唯一確定了)。

知道了的方向，晶面族的法線就確定，并且面間距也確定了，一個(gè)晶面族反映在倒易點(diǎn)陣中是一個(gè)陣點(diǎn)，就是以面指數(shù)為指數(shù)的倒易矢量:

第三十六頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日研究衍射方法的改變第三十七頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日

正因?yàn)槿绱?一個(gè)有晶體點(diǎn)陣的周期性的函數(shù)才能展成波矢為的傅氏級(jí)數(shù),也就是說只有的波才有周期性,才能存在，而不是任意平面波都有周期性，只有的波才與晶體的周期性相協(xié)調(diào)。（5）以倒易點(diǎn)陣矢量為波矢的平面波具有晶體點(diǎn)陣的周期性質(zhì)

以為波矢的平面波具有晶體點(diǎn)陣的周期性,既平移后平面波不變,因?yàn)?/p>

因?yàn)榈谌隧?，共一百三十三頁，編輯?023年，星期日（6）倒易點(diǎn)陣由布拉菲點(diǎn)陣唯一確定。（7）倒易點(diǎn)陣也是同一對(duì)稱系的布拉菲點(diǎn)陣。

hexagonalhexagonalSCSCBCCFCCFCCBCC（8）倒易點(diǎn)陣基矢的量綱是[長度]-1，與正格子基矢的量綱成倒數(shù)。倒易點(diǎn)陣，倒格子倒易空間，波矢空間，傅立葉空間，動(dòng)量空間

第三十九頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日

定理：一組倒易點(diǎn)陣矢量確定可能的x-ray反射(所謂x-ray反射是由各個(gè)方向的反射波發(fā)生相長干涉而來的)，所有的對(duì)應(yīng)了可能的反射束。4.勞厄衍射條件第四十頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日

考慮晶體中的體元距原點(diǎn)為，晶體中各個(gè)方向的散射波相長干涉時(shí)相差的兩點(diǎn)間的散射波有一個(gè)波程差與位相差〔設(shè)散射是彈性散射，即〕，則入射波的波程差，散射波的波程差，由于有這樣一個(gè)波程差，相應(yīng)的位相差為

入射波：

散射波：

總的位相差：

相距兩點(diǎn)的散射波相差的相因子為：第四十一頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日對(duì)于x-ray的衍射來說，散射波的振幅與體元中的電子數(shù)(或電子濃度)成正比，從位于處體元的散射振幅正比于，為電子濃度，考慮到位相差與原點(diǎn)處位置的差別，則散射振幅(未考慮比例因子)

∴在整個(gè)晶體中散射波的振幅為：

這也就是整個(gè)晶體對(duì)散射波振幅的貢獻(xiàn)。

Localchargedensity

Phasefactor第四十二頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日為方便起見，引入，稱為散射矢量，即散射過程中波矢的改變量，則整個(gè)晶體對(duì)散射波振幅的貢獻(xiàn)為：

是具有晶體點(diǎn)陣周期性的函數(shù)。可

把展成傅氏級(jí)數(shù)：

(把展成了傅氏級(jí)數(shù))代入上式得:

第四十三頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日因此，

F

={Laue衍射條件，也即各陣點(diǎn)的散射波相長干涉的條件

若對(duì)散射矢量進(jìn)行掃描（連續(xù)改變?nèi)肷洳ㄊ福?也就是讓依次等于一個(gè)倒易點(diǎn)陣矢量,可得到一系列反射束,由此可得到倒易點(diǎn)陣的映象。這也就是一開始所說的定理：一組倒易點(diǎn)陣矢量確定可能的x-ray反射，即：

見習(xí)題四第四十四頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日研究衍射的新思路！找勞厄衍射條件，滿足的有衍射！逐項(xiàng)分析！第四十五頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日

對(duì)于彈性散射()

上式兩邊平方得：或

由于是倒易點(diǎn)陣矢量，-也是倒易點(diǎn)陣矢量，所以上式可寫成這就是周期結(jié)構(gòu)中各陣點(diǎn)彈性散射波的相長干涉條件，這個(gè)條件不限于x-ray，對(duì)其它波也同樣適用。

第四十六頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日

實(shí)際上彈性散射的Laue衍射條件就是Bragg定理在倒易空間的表現(xiàn)形式。

由而∵，（這里的不是最短的）

由圖：∵

則代入

∴→

2dsin=nBraggresult第四十七頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日在Laue衍射條件中的對(duì)應(yīng)的散射峰(Bragg峰)可看作與垂直的晶面組的Bragg反射，出現(xiàn)在Bragg定理中的反射級(jí)正好是與最短的之間的倍數(shù)。

如衍射條件滿足時(shí)：

代表（100）面的一級(jí)反射

代表（100）面的二級(jí)反射

代表（110）面的一級(jí)反射

代表(110)面的二級(jí)反射

第四十八頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日

Laue衍射條件的另一種表達(dá)形式是Laue方程DiffractionconditionReciprocallatticevectorand

Laue方程意思是：應(yīng)在以為軸的錐面上，夾角是一個(gè)恒定值，同理也應(yīng)在以、為軸的錐面上，即應(yīng)同時(shí)落在三個(gè)圓錐面的交線上。當(dāng)對(duì)連續(xù)掃描使就得到一個(gè)反射束的極大值，x-ray實(shí)驗(yàn)方法正是利用了這個(gè)原理。

第四十九頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日討論：

vonLaue方程的物理圖象非常清楚。對(duì)Bragg定律提出的所有疑問全都迎刃而解，或在此基礎(chǔ)上全都可以解決，而Bragg定律實(shí)際上只是vonLaue方程中滿足衍射極大的條件特例。

注意：當(dāng)時(shí)量子力學(xué)還未完全建立，但是vonLaue方程物理圖象就是在今天看來也是正確的。X射線被電子在各個(gè)方向散射，由于原子核的周期性排列的，圍繞著原子核的電子也可以被認(rèn)為是周期性分布的，所以在某些方向上，散射波相消干涉；在某些方向上，散射波相長干涉，產(chǎn)生衍射極大。第五十頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日§2.3布里淵區(qū)（BrillouinZone）第五十一頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日第五十二頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日第一布里淵區(qū)定義為倒易空間中的WS原胞（威格納-賽茲原胞）。作WS晶胞時(shí)的中垂面稱為Bragg平面（布里淵區(qū)界面）。1、布里淵區(qū)的定義和意義布里淵區(qū)是Laue衍射條件的幾何表示法。引進(jìn)布里淵區(qū)的意義在于它給晶體衍射提供了生動(dòng)、清晰的幾何解釋，給晶體散射、能帶等理論模型的表述和理解提供了方便。第五十三頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日

從原點(diǎn)出發(fā)最小的布里淵區(qū)稱為第一布里淵區(qū)(或從原點(diǎn)出發(fā)不穿過任何Bragg平面所能到達(dá)的區(qū)域)。

從第一布里淵區(qū)出發(fā)，只穿過一個(gè)中垂面(不包括第一BZ)所能到的達(dá)區(qū)域稱為第二布里淵區(qū)(因?yàn)椴ㄊ缚臻g被中垂面分成了一塊塊的區(qū)域)。以此類推，從第n個(gè)BZ出發(fā)只穿過一個(gè)Bragg平面所能到達(dá)的不包括n-1個(gè)BZ區(qū)的那個(gè)區(qū)域稱為第n+1BZ

各級(jí)BZ有相同的體積，邊界是Laue衍射條件的幾何表示法。2DObliqueLatticeRealspaceReciprocalspace第五十四頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日Brillouimzone---givesgeometricalinterpretationofthediffractioncondition

mustlineonbisectionofGvectorBrillouimzonesurfacedescribesallkvectorsthatareconstructivelydiffractedbythecrystal.第五十五頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日1)點(diǎn)陣常數(shù)為a的一維點(diǎn)陣

正點(diǎn)陣基矢為

不能用定義來求，要用正交關(guān)系，倒易點(diǎn)陣的基矢為（利用），倒易點(diǎn)陣矢量為

為整數(shù)，∴點(diǎn)陣常數(shù)為的一維點(diǎn)陣的倒易點(diǎn)陣是點(diǎn)陣常數(shù)為的一維點(diǎn)陣。

2.幾種簡單點(diǎn)陣的第一布里淵區(qū)第五十六頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日2)點(diǎn)陣常數(shù)為的二維正方點(diǎn)陣二維正方點(diǎn)陣的基矢為:、

、，倒易點(diǎn)陣的基矢可用正交關(guān)系

求得：

∴，，它是一個(gè)點(diǎn)陣常數(shù)為的二維正方點(diǎn)陣，倒易點(diǎn)陣矢量

第五十七頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日k·

(1/2G)=(1/2G)2各級(jí)布里淵區(qū)第五十八頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日3)點(diǎn)陣常數(shù)為a的簡單立方點(diǎn)陣CrystallatticePrimitivetranslationvectors:Volume=a3ReciprocallatticePrimitivetranslationvectors:xyza點(diǎn)陣常數(shù)為

2/a的簡單立方點(diǎn)陣，倒易點(diǎn)陣矢量第五十九頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日xzya3a1a24)點(diǎn)陣常數(shù)為a的體心立方點(diǎn)陣CrystallatticePrimitivetranslationvectors:Volume=a3/2ReciprocallatticePrimitivetranslationvectors:點(diǎn)陣常數(shù)為

4/a的面心立方點(diǎn)陣第六十頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日倒易點(diǎn)陣為點(diǎn)陣常數(shù)為4/a的fcc點(diǎn)陣Theseshortest:正菱形十二面體Thevectorsfromorigintothecenterofeachfaceofthezone第六十一頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日FirstBrillouinZone：BCC第六十二頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日5)點(diǎn)陣常數(shù)為a的面心立方點(diǎn)陣xyza3a1a2CrystallatticePrimitivetranslationvectors:Volume=a3/4ReciprocallatticePrimitivetranslationvectors:點(diǎn)陣常數(shù)為

4/a的體心立方點(diǎn)陣第六十三頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日倒易點(diǎn)陣為點(diǎn)陣常數(shù)為4/a的bcc點(diǎn)陣Theseshortest:Corners:截角八面體(十四面體)第六十四頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日FirstBrillouinZone：FCC第六十五頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日

在14種布拉菲點(diǎn)陣中，只有四種點(diǎn)陣的正點(diǎn)陣與倒易點(diǎn)陣不同，這四種點(diǎn)陣是：體心立方→面心立方面心立方→體心立方體心正交→面心正交面心正交→體心正交其他的點(diǎn)陣、正點(diǎn)陣與倒易點(diǎn)陣的對(duì)稱操作相同，點(diǎn)對(duì)稱性不變，倒易點(diǎn)陣的類型與正點(diǎn)陣相同。

第六十六頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日§2.4結(jié)構(gòu)基元的傅里葉分析第六十七頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日

無論采取哪種方法，是滿足衍射條件的基本根據(jù)，當(dāng)衍射條件滿足時(shí)，各陣點(diǎn)來的散射波發(fā)生相長干涉(即散射波位相相同)。若每個(gè)陣點(diǎn)上是一個(gè)單個(gè)原子，問題比較簡單；若陣點(diǎn)上不是單個(gè)原子，而是一個(gè)基元，那么問題就比較復(fù)雜，這時(shí)基元中的每一個(gè)原子都會(huì)成為點(diǎn)散射中心，基元中的各原子的散射又會(huì)發(fā)生相互干涉，此時(shí)就要考慮基元中各原子的散射波的相互干涉問題。

Laue衍射條件只是考慮了各陣點(diǎn)上散射波的相長干涉條件，因而對(duì)一定的晶體結(jié)構(gòu)，可能會(huì)出現(xiàn)盡管Laue條件滿足，而由于基元中各原子散射波之間發(fā)生相互干涉而使得總散射波強(qiáng)度為零的情況，所以要對(duì)基元內(nèi)部作傅立葉分析。

第六十八頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日基元的幾何結(jié)構(gòu)因子

就是考慮在衍射條件滿足時(shí)，即時(shí)，基元內(nèi)各原子散射波的相互干涉情況以及對(duì)總散射波的貢獻(xiàn)，我們從散射波振幅的表達(dá)式入手

當(dāng)衍射條件滿足時(shí)，，

∴上式可寫成

第六十九頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日式中應(yīng)當(dāng)是晶體中各原子在點(diǎn)處對(duì)電子密度貢獻(xiàn)之和，如一個(gè)二維點(diǎn)陣，原點(diǎn)在頂角上，晶胞中的所有原子組成一個(gè)基元，表示晶胞中第個(gè)原子相對(duì)于晶胞頂角的位矢，而陣點(diǎn)的位矢為，空間任一點(diǎn)處的電子濃度應(yīng)是所有原子在這一點(diǎn)處電子濃度貢獻(xiàn)之和，即：

第七十頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日第七十一頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日相當(dāng)于晶胞中第個(gè)原子相對(duì)于原點(diǎn)的位矢，相當(dāng)于空間任一點(diǎn)與的位矢，將上式代入散射振幅表達(dá)式中可得：

為求，需作變數(shù)變換,令于是

第七十二頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日∵=∴

且對(duì)求和，就等于晶胞數(shù)，則

令稱為原子的形狀因子或原子的散射因子，則

令稱為基元的幾何結(jié)構(gòu)因子，則

第七十三頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日

代表一個(gè)基元(或一個(gè)晶胞)里面的各個(gè)原子的散射波相互干涉的結(jié)果對(duì)總散射波振幅的影響。

如果基元中的原子配置使得=0，則基元中無散射波發(fā)出，也就是說，此時(shí)雖然從點(diǎn)陣的角度來看Laue衍射條件是滿足的，但基元中無散射波，則空間點(diǎn)陣的衍射要消失，這就是所謂的消光，衍射譜線消失的規(guī)律稱為消光規(guī)律，可用來分析基元中的原子的排列，決定基元中各原子的相對(duì)位置、原子的種類和倒易點(diǎn)陣矢量。

第七十四頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日由于基元中的原子的位矢可用基矢表示：

且≤＜1∵

因此可得基元結(jié)構(gòu)因子的表達(dá)式為：

為基元中的原子數(shù)。

第七十五頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日1.體心立方結(jié)構(gòu)的

選用立方慣用晶胞，即sc點(diǎn)陣，基元中有兩個(gè)原子，原子坐標(biāo)分別為（000）、

（），若為同種原子，則

利用

=

通常也寫作

第七十六頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日

當(dāng)=奇數(shù)時(shí)，

此時(shí)=0消光

當(dāng)=偶數(shù)時(shí)，

此時(shí)=

如金屬鈉為體心立方結(jié)構(gòu)，x-ray衍射不存在（100）、（300）、（111）等譜線，而存在（200）、（110）、（222）等譜線。

第七十七頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日

2.面心立方結(jié)構(gòu)的

仍選用sc點(diǎn)陣，用立方晶軸，基元中有四個(gè)原子，坐標(biāo)為：（000）、（）、（）

則：

=

第七十八頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日當(dāng)、、均為偶數(shù)時(shí)=4

當(dāng)、、均為奇數(shù)時(shí)=4

當(dāng)、、奇、偶均有時(shí)=0

如（111）、（200）反射時(shí)是允許的，而（110）、（100）等反射是不允許的。

第七十九頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日原子形狀因子

晶體物質(zhì)對(duì)x-ray的作用歸根結(jié)底是晶體中的電子對(duì)x-ray的散射，是各陣點(diǎn)的散射波的相長干涉條件

=，前面講過基元結(jié)構(gòu)因子中有一個(gè)()，稱為原子形狀因子，表示第個(gè)原子的散射能力。第八十頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日若原子中的電子是任意分布的，則原子形狀因子的計(jì)算較復(fù)雜，但對(duì)一些特殊情況，我們還可以進(jìn)行分析，若原子的電子密度的分布是球?qū)ΨQ的，可選擇一個(gè)坐標(biāo)軸，使得在Z的方向，換用球坐標(biāo)體積元

第八十一頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日第八十二頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日第八十三頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日＝＝即

若原子的各部分的電子密度集中于球心上，可看作函數(shù)，原子各部分的電子密度集中于球心上，就意味著在處集中了同樣的總電子密度，那么只有對(duì)被積函數(shù)才有貢獻(xiàn)。第八十四頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日又因?yàn)?/p>

則

點(diǎn)電荷的原子形狀因子就等于它的原子序數(shù)，無論被積函數(shù)是什么樣的函數(shù)，是原子的總電子數(shù)。

第八十五頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日

實(shí)際上散射波的振幅表達(dá)式中是一個(gè)電子的散射波對(duì)總散射波振幅的貢獻(xiàn)為單位進(jìn)行度量的，是與散射波振幅成正比的量，并非真正的散射波振幅，若一個(gè)點(diǎn)電荷對(duì)散射波振幅的貢獻(xiàn)是，則是與散射波振幅成正比的量。

第八十六頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日原子的形狀因子是原子的散射波振幅與一個(gè)點(diǎn)電荷電子散射波振幅之比，就表示原子的散射是一個(gè)電子散射波的倍，實(shí)際上是的傅立葉變換。

第八十七頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日在這里要特別注意零結(jié)構(gòu)因子的物理意義，即基元中各原子的相對(duì)位置使得各衍射波相消，此時(shí)，盡管Laue衍射條件滿足，但從基元中沒有散射波發(fā)出，空間點(diǎn)陣的反射就會(huì)消失，相應(yīng)的衍射譜線就不會(huì)出現(xiàn)，根據(jù)零結(jié)構(gòu)因子可以分析基元的組成。

第八十八頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日

代表一個(gè)基元(或一個(gè)晶胞)里面的各個(gè)原子的散射波相互干涉的結(jié)果對(duì)總散射波振幅的影響。

如果基元中的原子配置使得=0，則基元中無散射波發(fā)出，也就是說，此時(shí)雖然從點(diǎn)陣的角度來看Laue衍射條件是滿足的，但基元中無散射波，則空間點(diǎn)陣的衍射要消失，這就是所謂的消光，衍射譜線消失的規(guī)律稱為消光規(guī)律，可用來分析基元中的原子的排列，決定基元中各原子的相對(duì)位置、原子的種類和倒易點(diǎn)陣矢量。

第八十九頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日

實(shí)際上散射波的振幅表達(dá)式中是一個(gè)電子的散射波對(duì)總散射波振幅的貢獻(xiàn)為單位進(jìn)行度量的，是與散射波振幅成正比的量，并非真正的散射波振幅，若一個(gè)點(diǎn)電荷對(duì)散射波振幅的貢獻(xiàn)是，則是與散射波振幅成正比的量。

第九十頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日結(jié)構(gòu)因子：晶胞的散射本領(lǐng)原子形狀因子：原子的散射本領(lǐng)第九十一頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日§2.5Ewarld球和晶體衍射主要實(shí)驗(yàn)方法（參考孫會(huì)元或者閆守勝的教材）第九十二頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日椐Laue衍射條件，Ewarld提出簡單構(gòu)圖法(Ewarld球）當(dāng)且僅當(dāng)?shù)挂c(diǎn)陣的陣點(diǎn)落在反射球面上時(shí)，滿足Laue衍射條件，可得到加強(qiáng)了的反射波，而球內(nèi)或球外的點(diǎn)都不滿足Laue衍射條件。第九十三頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日1、勞厄法xzyδ單晶體（固定）連續(xù)譜X射線平面底片平面底片連續(xù)譜X射線投射到固定晶體上，滿足勞厄方程時(shí)，在平面底片上出現(xiàn)衍射斑點(diǎn)。若X射線入射方向與晶體對(duì)稱軸平行，則衍射斑點(diǎn)將具有與該軸同樣的對(duì)稱性。主要用于判斷晶體的對(duì)稱性和確定晶體的取向。第九十四頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日從Ewarld球來看第九十五頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日2、旋轉(zhuǎn)晶體法單晶筒形衍射屏準(zhǔn)直儀X光管

單色X射線投射到晶體，轉(zhuǎn)動(dòng)晶體，實(shí)際是改變夾角以獲得衍射。這種方法可用于結(jié)構(gòu)分析。

第九十六頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日3、粉末法準(zhǔn)直儀X光管衍射錐多晶粉末樣品

單色X射線照射粉末或多晶體樣品（粉末晶粒壓成、樣品固定）。由于樣品中晶粒方向隨機(jī)分布，所以同一晶面系的空間取向是多種多樣的，容易達(dá)到布拉格衍射極大條件。第九十七頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日粉末法的特點(diǎn)：對(duì)樣品要求不高，實(shí)驗(yàn)容易，速度快，獲得的信息多。主要用于物相分析和點(diǎn)陣常數(shù)的測(cè)定。第九十八頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日第二章內(nèi)容提要倒易點(diǎn)陣和倒易點(diǎn)陣矢量倒易點(diǎn)陣（倒格子）的定義、初基平移矢量倒易點(diǎn)陣矢量（倒格矢）G倒易點(diǎn)陣與晶體點(diǎn)陣的關(guān)系倒易點(diǎn)陣矢量與晶面指數(shù)的關(guān)系布里淵區(qū)（BZ），第一BZ（倒易點(diǎn)陣的WS晶胞）晶體衍射的基本知識(shí)第九十九頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日衍射條件的幾種等價(jià)表示

Bragglaw

2dsin=nLaueDiffractionconditionLaueequationsBrillouinzone基元的幾何結(jié)構(gòu)因子第一百頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日Example3.衍射極大寬度。(習(xí)題4）1.二維晶體點(diǎn)陣a=1.25?,b=2.50?，夾角120度，求倒易點(diǎn)陣基矢2.證明：（1）點(diǎn)陣平面上的陣點(diǎn)密度（2）bcc點(diǎn)陣陣點(diǎn)密度最大的點(diǎn)陣平面是{110}面，fcc點(diǎn)陣陣點(diǎn)密度最大的點(diǎn)陣平面是{111}面.第一百零一頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日習(xí)題例1、金屬W，經(jīng)X射線分析，屬立方晶系。晶胞參數(shù)為求晶胞中的原子個(gè)數(shù)，原子分?jǐn)?shù)坐標(biāo)，并確定其點(diǎn)陣型式解：Z=晶胞質(zhì)量/每個(gè)原子質(zhì)量晶胞中的原子個(gè)數(shù)為2，點(diǎn)陣型式屬立方I（如圖）原子分?jǐn)?shù)坐標(biāo)：（0，0，0），（1/2，1/2，1/2）第一百零二頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日例2、試證具有底心點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的晶體，當(dāng)H+K為奇數(shù)時(shí)產(chǎn)生系統(tǒng)消光。證：如圖具有底心點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的晶胞占點(diǎn)為2，原子分?jǐn)?shù)坐標(biāo)（0，0，0）（1/2，1/2，0）衍射強(qiáng)度結(jié)構(gòu)因子第一百零三頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日討論：1、當(dāng)H+K=偶數(shù)出現(xiàn)衍射2、當(dāng)H+K=奇數(shù)衍射不出現(xiàn)由此證明當(dāng)（H+K）為奇數(shù)時(shí)，產(chǎn)生系統(tǒng)消光。第一百零四頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日[例4]證明體心立方點(diǎn)陣得倒（易）點(diǎn)陣是面心立方點(diǎn)陣。反之，面心立方點(diǎn)陣的倒易點(diǎn)陣是體心立方。其中a是立方晶胞邊長，是平行于立方體邊的正交的單位矢量。初基晶胞體積[證明]選體心立方點(diǎn)陣的初基矢量如圖所示第一百零五頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日根據(jù)倒易點(diǎn)陣基矢定義公式計(jì)算倒易點(diǎn)陣基矢第一百零六頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日于是有顯然正是面心立方點(diǎn)陣的初基矢量，故體心立方點(diǎn)陣的倒易點(diǎn)陣是面心立方點(diǎn)陣，立方晶胞邊長是。同理對(duì)面心立方點(diǎn)陣寫出初基矢量第一百零七頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日初基晶胞體積根據(jù)倒易點(diǎn)陣基矢定義公式計(jì)算倒易點(diǎn)陣基矢顯然，正是體心立方點(diǎn)陣的初基矢量，故面心立方點(diǎn)陣的倒易點(diǎn)陣為體心立方點(diǎn)陣，其立方晶胞邊長是。第一百零八頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日[例5]二維倒易點(diǎn)陣一個(gè)二維晶體點(diǎn)陣由邊長AB＝4，AC＝3，夾角BAC＝的平行四邊形ABDC重復(fù)而成，試求倒易點(diǎn)陣的初基矢量。由得到下面四個(gè)方程式解法之一yxCDAB第一百零九頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日由式（1）得：由式（2）得：即解得由式（3）得：代入式（4）得:于是得出倒易點(diǎn)陣基矢第一百一十頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日選取為方向得單位矢量，即令于是初基晶胞體積為倒易點(diǎn)陣基矢為解法之二第一百一十一頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日對(duì)二維點(diǎn)陣，僅取兩個(gè)方向，于是得第一百一十二頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日[例6]

體心立方結(jié)構(gòu)和面心立方結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)因子有時(shí)為了方便，我們把立方晶體慣用晶胞中的原子選作基元，把體心立方和面心立方結(jié)構(gòu)用簡單立方點(diǎn)陣來描寫，求相應(yīng)的基元的幾何結(jié)構(gòu)因子。說明考慮到消光規(guī)律后，這種處理方法得到的X射線反射譜與直接把體心立方、面心立方考慮為布喇菲點(diǎn)陣所得到的結(jié)果是完全一樣的。第一百一十三頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日[例6]

體心立方結(jié)構(gòu)和面心立方結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)因子有時(shí)為了方便，我們把立方晶體慣用晶胞中的原子選作基元，把體心立方和面心立方結(jié)構(gòu)用簡單立方點(diǎn)陣來描寫，求相應(yīng)的基元的幾何結(jié)構(gòu)因子。說明考慮到消光規(guī)律后，這種處理方法得到的X射線反射譜與直接把體心立方、面心立方考慮為布喇菲點(diǎn)陣所得到的結(jié)果是完全一樣的。（a）體心立方結(jié)構(gòu)體心立方結(jié)構(gòu)可以直接用體心立方布喇菲點(diǎn)陣處理，其倒易點(diǎn)陣是面心立方點(diǎn)陣，立方晶胞邊長是。相應(yīng)于這個(gè)面心立方點(diǎn)陣的倒易點(diǎn)陣矢量G所給出的波矢改變，都有勞厄衍射峰出現(xiàn)。但是，為了方便，人們常把體心立方結(jié)構(gòu)考慮為一個(gè)帶有兩格點(diǎn)的基元的簡單立方點(diǎn)陣，基元中兩格點(diǎn)的坐標(biāo)為。從這個(gè)觀點(diǎn)來看，倒易點(diǎn)陣仍然是簡單立方點(diǎn)陣，立方晶胞邊長為。根據(jù)衍射條件，當(dāng)DK等于這個(gè)簡單立方倒易點(diǎn)陣的G時(shí)，都可能有勞厄衍射的峰值。但是，既把體心立方結(jié)構(gòu)考慮為帶有基元的簡單立方點(diǎn)陣，就必須相應(yīng)地處理基元的幾何結(jié)構(gòu)因子，計(jì)入結(jié)構(gòu)因子對(duì)散射波振幅的影響。第一百一十四頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日其中是基元中第j個(gè)原子的坐標(biāo)是簡單立方點(diǎn)陣的初基矢量是簡單立方點(diǎn)陣的倒易點(diǎn)陣矢量將和的表達(dá)式代入式（1）中得到體心立方結(jié)構(gòu)作為簡單立方點(diǎn)陣處理時(shí)，基元包含兩個(gè)全同的原子，它們的位置是，即，即第一百一十五頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日而原子的形狀因子將以上關(guān)系式代入式（2）中，就得到體心立方結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)因子為偶數(shù)為奇數(shù)在簡單立方倒易點(diǎn)陣中，去掉那些＝奇數(shù)的點(diǎn)（在這些點(diǎn)，由于從基元中兩個(gè)原子來的散射波相互抵消的結(jié)果，使散射波的總振幅為零，于是相應(yīng)的反射消失），剩下的正好是一個(gè)面心立方點(diǎn)陣，其立方晶胞邊長為，如下頁所示。當(dāng)波矢改變DK等于這個(gè)面心立方倒易點(diǎn)陣的G時(shí)，才有實(shí)際上的勞厄衍射峰出現(xiàn)。由以上的分析看出，體心立方結(jié)構(gòu)可以直接用體心立方布喇菲點(diǎn)陣處理，也可以作為帶有基元的簡單立方點(diǎn)陣處理，所得的X射線反射譜是完全相同的。第一百一十六頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日在簡單立方倒易點(diǎn)陣中，去掉結(jié)構(gòu)因子為零的點(diǎn)（

），剩下的點(diǎn)（）正好是一個(gè)面心立方點(diǎn)陣，其立方晶胞邊長為。G=0第一百一十七頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日（b）面心立方結(jié)構(gòu)面心立方結(jié)構(gòu)可以直接用面心立方布喇菲點(diǎn)陣處理，倒易點(diǎn)陣為體心立方點(diǎn)陣，立方晶胞邊長為。與其倒易點(diǎn)陣矢量G相應(yīng)的波矢改變DK都有衍射峰出現(xiàn)。但是，為了方便，我們有時(shí)把面心立方結(jié)構(gòu)用簡單立方點(diǎn)陣處理，相應(yīng)的基元包含四點(diǎn)：。這樣處理后，相應(yīng)的倒易點(diǎn)陣是簡單立方點(diǎn)陣，立方晶胞邊長為。需要注意的是，必須同時(shí)計(jì)入基元的結(jié)構(gòu)對(duì)散射波振幅的影響，計(jì)算得到面心立方結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)因子為全為奇數(shù)，全為偶數(shù)，部分為奇數(shù)，部分為偶數(shù)。當(dāng)指數(shù)部分為奇數(shù)或部分為偶數(shù)時(shí)，結(jié)構(gòu)因子為零，相應(yīng)的反射消失。第一百一十八頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日在簡單立方倒易點(diǎn)陣中去掉結(jié)構(gòu)因子為零的點(diǎn)，剩下的正好是一個(gè)體心立方點(diǎn)陣，其立方晶胞邊長為，如下圖所示。這和把面心立方結(jié)構(gòu)直接用面心立方布喇菲點(diǎn)陣處理所得的結(jié)果是完全一樣的。從簡單立方倒易點(diǎn)陣中去掉結(jié)構(gòu)因子為零的點(diǎn)（○），剩下的點(diǎn)（●）正好是一個(gè)體心立方點(diǎn)陣，其立方晶胞的邊長為。G=0第一百一十九頁，共一百三十三頁，編輯于2023年，星期日[例7]

金剛石結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)因子金剛石結(jié)構(gòu)的慣用晶胞是立方體，其中包含8個(gè)相同的原子。把立方慣用晶胞中的8個(gè)原子取作基元，金剛石結(jié)構(gòu)可