數(shù)列求和的數(shù)列求和的8種常用方法（最全）#（5）n+2 1 ?—（5）n+2 1 ?—=n(n+1)2n2(n+1)-n1

? n(n+1) 2n1(n+1)2n（6）sin1。cosn。cos(n+1)。=tan(n+1)。-tann。；數(shù)列求和的8種常用方法（最全）與組合思想（分是為了更好地合）在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項法的實質(zhì)是將數(shù)列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的.適用于，^^|，其中｛〃｝Ia.aI nnn+1）是各項不為0的等差數(shù)列，c為常數(shù)；部分無理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等。其基本方法是a=f（n+1）-f（n）.n常見裂項公式：（1）=1-，， 1=1（1-，）； =1（1--）（｛a｝的公差為d）；TOC\o"1-5"\h\zn（n+1）nn+1 n（n+k）knn+ka，adaa nnn+1 n n+1_1_=Li-ja）.（根式在分母上時可考慮利用分母有理化，因式相消求和）;二a+Ja d n+1 n*n%n+1（3）1=1[^-1]；n（n一1）（n+1） 2n（n+1） （n+1）（n+2）（4）(2n-1)(2n+1)=2(￡(2n)2（4）(2n-1)(2n+1)=2(￡(2n-1)(2n+1) 22n-12n+1⑺A=1-，(n+1)!n! (n+1)!常見放縮公式：2（、常見放縮公式：2（、m-，n）=_^ <_1_<_2%n+1+ '--nnnnn+%n-1=2(，n-->n-1)?例6求數(shù)歹列」_,」_,???,―!,???的前n項和.1+v2v2+v3vn+、：n+1解：設(shè)a=一,—=\-<n (裂項)nnn+n++1則s= +_+…+―1— (裂項求和)n1+v2V2+33yn+nn+1=('?'2--V1)+(v3—22)+,,,+(、:'n+1—vn)=n++1—1例7求和S=1―+,+'+ + 1 n1x33X55X7 (2n-1)(2n+1)例8在數(shù)列｛a例8在數(shù)列｛a｝中，a=-L++二+…+—二nnn+1n+1n+1解：.. 1 2 nn?a= + +,,,+ =一nn+1n+1n+12a?an n+1求數(shù)列｛b｝的前n項的和.n1（裂項）1（裂項）22數(shù)列｛b｝的前n項和Sn=8[(1-Sn=8[(1-2)+(2-3)+(3-++???+)]（裂項求和）=8(1-例9求證:cos0。例9求證:cos0。cos1。cos1。cos2。+ Fcos1。cos88。cos89。sin21。解：設(shè)S=解：設(shè)S= + cos0。cos1。cos1。cos2。+???+ cos88。cos89。sin1。cosn。cos(n+1)。=tan(n+1)。sin1。cosn。cos(n+1)。=tan(n+1)。一tann。（裂項）???S= + cos0。cos1。cos1。cos2。F Fcos88。cos89。（裂項求和）sin1。1{(tan1。-tan0)+(tan2。一tan1。)+(tan3。-tan2)+[tan89。-tan88。]}sin1。(tan89。-tan0。)=1 . cos1。—"cot1。- sin1。sin21。原等式成立變式求S=1111-+—+—原等式成立變式求S=1111-+—+—+—.3153563解：1111+ + +-31535631x33X55X77x9=1(1-1"(1-1)+1(1-1)+1(1-1)

2 3 235 257 2791“1、/1、/1、/1、=—(1--)+()+(--—)+()2 3 35 57 79J1-1)29五.分段求和法：例10五.分段求和法：例10在等差數(shù)列｛a｝中a=23,a=-22，10 25求：（1）數(shù)列｛〃｝前多少項和最大；（2）數(shù)列｛a｝前n項和.六.分組求和法：有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，可把數(shù)列的每一項分成多個項或把數(shù)列的項重新組合，使其轉(zhuǎn)化成常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.例11求數(shù)列的前n項和：1+1,1+4,—+7,…,'+3n-2，…a a2 an-1數(shù)列求和的8種常用方法(最全)解：設(shè)S=(1+1)+(-+4)+(―+7)+???+(-1-+3n—2)n a a2 an-1將其每一項拆開再重新組合得（分組）（分組求和）S=(1+1+—+.??+-L-++(1+4+7+.??+3n-（分組）（分組求和）n aa2 an-1(3n-1)n—(3n+1)n當a=1a—1時,S=n+ — n 2 21--當a豐1時，S=T+(3n-1)n=020：1+(3n-1)n.ni1 2 a-1 2——例12求數(shù)列｛n(n+1)(2n+1)｝的前n項和.解：設(shè)a=k(k+1)(2k+1)=2k3+3k2+kkTOC\o"1-5"\h\z???S=Zk(k+1)(2k+1)=Z(2k3+3k2+k)nk=1 k=1將其每一項拆開再重新組合得S=2Zk3+3Zk2+Zk (分組)nk=1 k=1 k=1=2(13+23+-??+n3)+3(12+22+-??+n2)+(1+2+-??+n)（分組求和）n2(n+1)2 n(n+1)(2n+1) n(n+1)（分組求和）= + + 2 2_n(n+1)2(n+2)11r1、變式求數(shù)列1不,2齊33，,n+—,的前n項和.2 4 8 1 2nJ解：S=11+21+31++(n+1)TOC\o"1-5"\h\zn24?8? 2/ 1 11 1、=(1+2+3++n)+(—++_++_)-22223 2/11=_n(n+1)+1——2 …2七.并項求和法：在數(shù)列求和過程中，將某些項分組合并后即可轉(zhuǎn)化為具有某種特殊的性質(zhì)的特殊數(shù)列，可將這些項放在一起先求和，最后再將它們求和，則稱之為并項求和.形如a=（-1>f（n）n類型，可采用兩項合并求.利用該法時要特別注意有時要對所分項數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)進行討論例13求cos1°+cos2°+cos3°+...+cos178°+cos179°的值.解：設(shè)$=cos1°+cos2°+cos3°+..…+cos178°+cos179°cosn。=-cos（180。-n。） （找特殊性質(zhì)項）/.S=（cos1°+cos179°）+（cos2°+cos178°）+（cos3°+cos177°）+…+（cos89°+cos91°）+cos90° （合并求和）二0TOC\o"1-5"\h\z例14數(shù)列｛〃｝：a=1,a=3,a=2,a=a一a，求Sn1 2 3 n+2 n+1 n 2002角軍：^設(shè)S =a+a+a+,?,+a2002 1 2 3 2002由a=1,a=3,a=2,a=a―a可得1 2 3 n+2 n+1 na=―1,a=—3,a=—2,4 5 6a=1,a=3,a=2,a=—1,a=—3,a=—2,7 8 9 10 11 12a=1,a=3,a=2,a=—1,a =—3,a =—26k+1 6k+2 6k+3 6k+4 6k+5 6k+6?「a+a+a+a+a+a=0 (找特殊性質(zhì)項)6k+1 6k+2 6k+3 6k+4 6k+5 6k+6??S=a+a+a+,,,+a (合并求和)2002 1 2 3 2002=(a +a+a+ ,??a )+ (a +a +,??a )+,,,+ (a +a+,??+a)1 2 3 6 7 8 12 6k+1 6k+2 6k+6+,,,+(a +a+,,,+a)+a+a+a+a1993 1994 1998 1999 2000 2001 2002—a+a+a+a1999 2000 2001 2002=a+a+a+a6k+1 6k+2 6k+3 6k+4=5例15在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若aa=9,求loga+loga+…+loga的值.、 56 31 3 2 3 10解：設(shè)S=loga+loga+ +logan 3 1 3 2 3 10由等比數(shù)列的性質(zhì)m+n=p+qnaa二aa (找特殊性質(zhì)項)mnpq和對數(shù)的運算性質(zhì)10gM+logN=logM.N得a a aS=(loga+loga)+(loga+loga)+ +(loga+loga) (合并求和)n 3 1 3 10 3 2 3 9 3 5 3 6=(loga?a)+(loga?a)+ +(loga?a)3 1 10 3 2 9 3 5 6=log9+log9+—+log933 3=10變式求和S=12—22+32—42+52—62+ +992—1002.n八.利用數(shù)列的通項求和先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進行分析，找出數(shù)列的通項及其特征，然后再利用數(shù)列的通項揭示的規(guī)律來求數(shù)列的前n項和，是一個重要的方法.例16求1+11+111+…+111???1之和.n個1解：由于111…1=1x999…9=1（10k—1） （找通項及特征）9 9k個1 k個1???1+11+111+…+11i1-n個1數(shù)列求和的8種常用方法(最全)=1(101-1)+9(102-1)+9(103-1)+…+9(10n-1) (分組求和)TOC\o"1-5"\h\z1(101+102+103+.??+10n)-1(1+1+1+…+1)9 9n個1110(10n-1)n=-- —9 10-1 9' V '=__(10n+1-10-9n)例17已知數(shù)列｛〃｝：a=——8——，求￡(n+1)(a-a)的值.nn (n+1)(n+3) n n+1n=1(找通項及特征)解：;(n+1)(a-a)=8(n+1)[1~~---~~-](找通項及特征)n n+1 (n+1)(n+3)(n+2)(n+4)=8?[ +——-——] (設(shè)制分組)(n+2)(n+4)(n+3)(n+4)=4-(—L--_J_)+8(^^--^—)(裂項)

n+2n+4n+3n+4?，?￡(n?，?￡(n+1)(ann=1—a)=

n+14￡」-')+n+2n+4n=1n+4(分組、裂項求和)13T變式求5+