電磁場(chǎng)與電磁波時(shí)變電磁場(chǎng)1第一頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日本章內(nèi)容

4.1

波動(dòng)方程

4.2電磁場(chǎng)的位函數(shù)

4.3電磁能量守恒定律

4.4惟一性定理

4.5時(shí)諧電磁場(chǎng)2第二頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日4.1波動(dòng)方程在無(wú)源空間中，設(shè)媒質(zhì)是線性、各向同性且無(wú)損耗的均勻媒質(zhì)，則有無(wú)源區(qū)的波動(dòng)方程波動(dòng)方程——二階矢量偏微分方程，揭示電磁場(chǎng)的波動(dòng)性。

麥克斯韋方程——

一階矢量偏微分方程組，描述電場(chǎng)與磁場(chǎng)間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系。（較復(fù)雜）

麥克斯韋方程組波動(dòng)方程。（較簡(jiǎn)單）

問(wèn)題的引入電磁波動(dòng)方程3第三頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日同理可得

推證電磁場(chǎng)波動(dòng)方程在無(wú)源空間中，。設(shè)媒質(zhì)是線性、各向同性且無(wú)損耗的均勻媒質(zhì)，則有4第四頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日在直角坐標(biāo)系中，波動(dòng)方程可以分解成三個(gè)標(biāo)量方程，每個(gè)方程只含有一個(gè)方向上的場(chǎng)分量。

波動(dòng)方程的解是在空間中沿一個(gè)特定方向傳播的電磁波。研究電磁波的傳播問(wèn)題都可歸結(jié)為在給定的邊界條件和初始條件下，求解波動(dòng)方程的解。5第五頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日4.2電磁場(chǎng)的位函數(shù)

討論內(nèi)容位函數(shù)的性質(zhì)位函數(shù)的定義位函數(shù)的規(guī)范條件位函數(shù)的微分方程6第六頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日引入位函數(shù)來(lái)描述時(shí)變電磁場(chǎng)，使一些問(wèn)題的分析得到簡(jiǎn)化。

引入位函數(shù)的意義時(shí)變電磁場(chǎng)中位函數(shù)的定義電磁場(chǎng)的矢量位電磁場(chǎng)的標(biāo)量位7第七頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日

位函數(shù)的不唯一性滿足下列變換關(guān)系的兩組位函數(shù)和能描述同一個(gè)電磁場(chǎng)問(wèn)題。即也就是說(shuō)，對(duì)一給定的電磁場(chǎng)可用不同的位函數(shù)來(lái)描述。

原因：未規(guī)定的散度。為任意標(biāo)量函數(shù)8第八頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日除了利用洛侖茲條件外，另一種常用的是庫(kù)侖規(guī)范條件，即在電磁理論中，通常采用洛侖茲規(guī)范條件，即

位函數(shù)的規(guī)范條件造成位函數(shù)的不確定性（不唯一性）的原因就是沒(méi)有規(guī)定的散度。利用位函數(shù)的不確定性，可通過(guò)規(guī)定的散度使位函數(shù)滿足的方程得以簡(jiǎn)化。9第九頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日

位函數(shù)滿足的微分方程10第十頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日同樣達(dá)郎貝爾方程11第十一頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日①以上方程是在應(yīng)用“洛侖茲條件”下所得到的。②位函數(shù)滿足的方程在形式上是對(duì)稱的，且比較簡(jiǎn)單，易求解；③解的物理意義非常清楚，明確反映出電磁波具有有限傳播速度；④矢量位只決定于J，標(biāo)量位只決定于ρ，這對(duì)求解方程特別有利。⑤電磁位函數(shù)只是簡(jiǎn)化時(shí)變電磁場(chǎng)分析求解的一種輔助函數(shù)，應(yīng)用不同的規(guī)范條件，矢量位A和標(biāo)量位的解也不相同，但最終得到的電磁場(chǎng)矢量E、H是相同的。注意：12第十二頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日靜態(tài)場(chǎng)與時(shí)變場(chǎng)中位函數(shù)的比照靜態(tài)場(chǎng)（靜電場(chǎng)、恒定磁場(chǎng)）時(shí)變電磁場(chǎng)特點(diǎn)：電場(chǎng)、磁場(chǎng)相互獨(dú)立特點(diǎn)：電場(chǎng)、磁場(chǎng)是一個(gè)整體矢量磁位標(biāo)量電位庫(kù)侖規(guī)范電磁場(chǎng)的矢量位電磁場(chǎng)的標(biāo)量位洛侖茲規(guī)范泊松方程達(dá)郎貝爾方程13第十三頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日4.3電磁能量守恒定律

討論內(nèi)容

能流密度矢量S

電磁能量守恒原理

坡印廷矢量及其特點(diǎn)

電磁能量的流動(dòng)14第十四頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日電磁能量的定向流動(dòng)形成“能流”，類似于“水流”。電磁能量的流動(dòng)定性分析：15第十五頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日電場(chǎng)能量密度：磁場(chǎng)能量密度：電磁場(chǎng)能量密度：空間區(qū)域V中的電磁能量：

特點(diǎn)：當(dāng)場(chǎng)隨時(shí)間變化時(shí)，空間各點(diǎn)的電磁場(chǎng)能量密度也要隨時(shí)間改變，從而引起電磁能量流動(dòng)。定量分析：16第十六頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日能流密度矢量又稱“坡印廷矢量”，用表示，其單位為W/m2(瓦/米2)。坡印廷矢量=能流密度矢量=功率密度矢量為了描述能量的流動(dòng)狀況，引入“能流密度矢量”，其方向表示能量的流動(dòng)方向，其大小表示“單位時(shí)間”內(nèi)穿過(guò)與能量流動(dòng)方向相垂直的“單位面積”的能量。能流密度矢量17第十七頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日進(jìn)入體積V的能量＝體積V內(nèi)增加的能量＋體積V內(nèi)損耗的能量

電磁能量守恒關(guān)系（定性描述）：電磁能量守恒原理—坡印廷定理前提假設(shè)：假設(shè)閉合曲面S包圍的體積V中無(wú)外加源，其中媒質(zhì)是線性和各向同性的，且參數(shù)不隨時(shí)間變化。18第十八頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日其中：——單位時(shí)間內(nèi)體積V中所增加的電磁能量?！?/p>

單位時(shí)間內(nèi)電場(chǎng)對(duì)體積V中的電流所做的功；在導(dǎo)電媒質(zhì)中，即為體積V內(nèi)總的損耗功率?！?/p>

通過(guò)曲面S進(jìn)入體積V的電磁功率。積分形式：微分形式：坡印廷定理（能量守恒原理的數(shù)學(xué)表示）：19第十九頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日在線性和各向同性的媒質(zhì)中，當(dāng)參數(shù)都不隨時(shí)間變化時(shí)，則有將以上兩式相減，得到由

推證20第二十頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日即可得到坡印廷定理的微分形式再利用矢量恒等式：在任意閉曲面S所包圍的體積V上，對(duì)上式兩端積分，并應(yīng)用散度定理，即可得到坡印廷定理的積分形式物理意義：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)，通過(guò)曲面S進(jìn)入體積V的電磁能量等于體積V中所增加的電磁場(chǎng)能量與損耗的能量之和。21第二十一頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日

定義：

(W/m2

)

物理意義：

的方向

——電磁能量傳輸?shù)姆较虻拇笮?/p>

——通過(guò)垂直于能量傳輸方向的單位面積的電磁功率描述時(shí)變電磁場(chǎng)中電磁能量傳輸?shù)囊粋€(gè)重要物理量坡印廷矢量（電磁能流密度矢量）22第二十二頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日

S(r,t)=E(r,t)H(r,t)

由于式中的E(r,t)和H(r,t)都是瞬時(shí)值，所以能流密度S(r,t)也是瞬時(shí)值，只有當(dāng)E(r,t)和H(r,t)同時(shí)達(dá)到最大值時(shí)，S(r,t)才能達(dá)到最大。若某一時(shí)刻，E(r,t)或H(r,t)為零，則S(r,t)=0。坡印廷矢量的特點(diǎn)S既垂直于E也垂直于H，又因?yàn)镋和H自身也是相互垂直的，因此，S、H、

E三者是相互垂直，且成右手螺旋關(guān)系。23第二十三頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日例4.3.1同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a、外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b，其間填充均勻的理想介質(zhì)。設(shè)內(nèi)外導(dǎo)體間的電壓為U，導(dǎo)體中流過(guò)的電流為I。（1）在導(dǎo)體為理想導(dǎo)體的情況下，計(jì)算同軸線中傳輸?shù)墓β?；?）當(dāng)導(dǎo)體的電導(dǎo)率σ為有限值時(shí)，計(jì)算通過(guò)內(nèi)導(dǎo)體表面進(jìn)入每單位長(zhǎng)度內(nèi)導(dǎo)體的功率。同軸線24第二十四頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日解：（1）在內(nèi)外導(dǎo)體為理想導(dǎo)體的情況下，電場(chǎng)和磁場(chǎng)只存在于內(nèi)外導(dǎo)體之間的理想介質(zhì)中，內(nèi)外導(dǎo)體表面的電場(chǎng)無(wú)切向分量，只有電場(chǎng)的徑向分量。利用高斯定理和安培環(huán)路定理，容易求得內(nèi)外導(dǎo)體之間的電場(chǎng)和磁場(chǎng)分別為內(nèi)外導(dǎo)體之間任意橫截面上的坡印廷矢量25第二十五頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日電磁能量在內(nèi)外導(dǎo)體之間的介質(zhì)中沿軸方向流動(dòng)，即由電源流向負(fù)載，如圖所示。穿過(guò)任意橫截面的功率為同軸線中的電場(chǎng)、磁場(chǎng)和坡印廷矢量（理想導(dǎo)體情況）26第二十六頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日（2）當(dāng)導(dǎo)體的電導(dǎo)率σ為有限值時(shí)，導(dǎo)體內(nèi)部存在沿電流方向的電場(chǎng)內(nèi)根據(jù)邊界條件，在內(nèi)導(dǎo)體表面上電場(chǎng)的切向分量連續(xù)，即因此，在內(nèi)導(dǎo)體表面外側(cè)的電場(chǎng)為內(nèi)磁場(chǎng)則仍為內(nèi)導(dǎo)體表面外側(cè)的坡印廷矢量為同軸線中的電場(chǎng)、磁場(chǎng)和坡印廷矢量（非理想導(dǎo)體情況）27第二十七頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日式中是單位長(zhǎng)度內(nèi)導(dǎo)體的電阻。由此可見(jiàn)，進(jìn)入內(nèi)導(dǎo)體中功率等于這段導(dǎo)體的焦耳損耗功率。由此可見(jiàn)，內(nèi)導(dǎo)體表面外側(cè)的坡印廷矢量既有軸向分量，也有徑向分量，如圖所示。進(jìn)入每單位長(zhǎng)度內(nèi)導(dǎo)體的功率為以上分析表明電磁能量是由電磁場(chǎng)傳輸?shù)?，?dǎo)體僅起著定向引導(dǎo)電磁能流的作用。當(dāng)導(dǎo)體的電導(dǎo)率為有限值時(shí)，進(jìn)入導(dǎo)體中的功率全部被導(dǎo)體所吸收，成為導(dǎo)體中的焦耳熱損耗功率。同軸線中的電場(chǎng)、磁場(chǎng)和坡印廷矢量（非理想導(dǎo)體情況）28第二十八頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日4.4惟一性定理

在以閉曲面S為邊界的有界區(qū)域V內(nèi)，如果給定t＝0時(shí)刻的電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度的初始值，并且在t

0時(shí)，給定邊界面S上的電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量或磁場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量，那么，在t>0時(shí)，區(qū)域V內(nèi)的電磁場(chǎng)由麥克斯韋方程惟一地確定。

惟一性定理的表述在分析有界區(qū)域的時(shí)變電磁場(chǎng)問(wèn)題時(shí)，常常需要在給定的初始條件和邊界條件下，求解麥克斯韋方程。那么，在什么定解條件下，有界區(qū)域中的麥克斯韋方程的解才是惟一的呢？這就是麥克斯韋方程的解的惟一問(wèn)題。

惟一性問(wèn)題29第二十九頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日

惟一性定理的證明

利用反證法對(duì)惟一性定理給予證明。假設(shè)區(qū)域內(nèi)的解不是惟一的，那么至少存在兩組解、和、滿足同樣的麥克斯韋方程，且具有相同的初始條件和邊界條件。則在區(qū)域V內(nèi)和的初始值為零；在邊界面S上電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量為零或磁場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量為零，且和滿足麥克斯韋方程令30第三十頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日根據(jù)坡印廷定理，應(yīng)有所以由于場(chǎng)的初始值為零，將上式兩邊對(duì)t積分，可得根據(jù)和的邊界條件，上式左端的被積函數(shù)為31第三十一頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日上式中兩項(xiàng)積分的被積函數(shù)均為非負(fù)的，要使得積分為零，必有（證畢）即惟一性定理指出了獲得惟一解所必須滿足的條件，為電磁場(chǎng)問(wèn)題的求解提供了理論依據(jù)，具有非常重要的意義和廣泛的應(yīng)用。

32第三十二頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日4.5時(shí)諧電磁場(chǎng)

復(fù)矢量的麥克斯韋方程

時(shí)諧電磁場(chǎng)的復(fù)數(shù)表示

復(fù)電容率和復(fù)磁導(dǎo)率時(shí)諧場(chǎng)的位函數(shù)

亥姆霍茲方程

平均能流密度矢量33第三十三頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日時(shí)諧電磁場(chǎng)的概念如果場(chǎng)源以一定的角頻率隨時(shí)間呈時(shí)諧（正弦或余弦）變化，則所產(chǎn)生電磁場(chǎng)也以同樣的角頻率隨時(shí)間呈時(shí)諧變化。這種以一定角頻率作時(shí)諧變化的電磁場(chǎng)，稱為時(shí)諧電磁場(chǎng)或正弦電磁場(chǎng)。

研究時(shí)諧電磁場(chǎng)具有重要意義在工程上，應(yīng)用最多的就是時(shí)諧電磁場(chǎng)。廣播、電視和通信的載波等都是時(shí)諧電磁場(chǎng)。

任意的時(shí)變場(chǎng)在一定的條件下可通過(guò)傅里葉分析方法展開(kāi)為不同頻率的時(shí)諧場(chǎng)的疊加。4.5.1時(shí)諧電磁場(chǎng)的復(fù)數(shù)表示34第三十四頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日時(shí)諧電磁場(chǎng)可用復(fù)數(shù)方法來(lái)表示，使得大多數(shù)時(shí)諧電磁場(chǎng)問(wèn)題的分析得以簡(jiǎn)化。

設(shè)是一個(gè)以角頻率隨時(shí)間t作正弦變化的場(chǎng)量，它可以是電場(chǎng)或者磁場(chǎng)，也可以是電荷或電流等物理量，它的時(shí)域表達(dá)式（即它與時(shí)間的關(guān)系）如下：其中時(shí)間因子空間相位因子利用歐拉公式式中的A0為振幅、為與坐標(biāo)有關(guān)的相位因子。實(shí)數(shù)表示法或瞬時(shí)表示法（時(shí)域形式）復(fù)數(shù)表示法復(fù)振幅時(shí)諧電磁場(chǎng)的復(fù)數(shù)表示35第三十五頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日復(fù)數(shù)形式只是一種數(shù)學(xué)表示方式，不代表真實(shí)的場(chǎng)。按照此方法，矢量場(chǎng)的各分量Ei（i表示x、y

或z）可表示成各分量合成以后，電場(chǎng)強(qiáng)度為

有關(guān)復(fù)數(shù)表示的進(jìn)一步說(shuō)明復(fù)矢量真實(shí)場(chǎng)是復(fù)數(shù)式的實(shí)部，即瞬時(shí)表達(dá)式（時(shí)域表達(dá)式）。由于時(shí)間因子是默認(rèn)的，有時(shí)它不用寫(xiě)出來(lái)，只用與坐標(biāo)有關(guān)的部分就可表示復(fù)矢量。36第三十六頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日例4.5.1

將下列場(chǎng)矢量的瞬時(shí)值形式寫(xiě)為復(fù)數(shù)形式（2）解：（1）由于（1）所以37第三十七頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日（2）因?yàn)楣仕?8第三十八頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日

例4.5.2

已知電場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量解其中kz和Exm為實(shí)常數(shù)。寫(xiě)出電場(chǎng)強(qiáng)度的瞬時(shí)矢量總結(jié)：

電磁場(chǎng)時(shí)域形式電磁場(chǎng)復(fù)數(shù)形式

39第三十九頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日4.5.2復(fù)矢量的麥克斯韋方程（麥克斯韋方程的復(fù)數(shù)形式）麥克斯韋方程組的標(biāo)準(zhǔn)時(shí)域形式其中：均為時(shí)域形式（瞬時(shí)表達(dá)形式），即40第四十頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日以方程為例，推導(dǎo)Maxwell方程的復(fù)數(shù)形式。將代入上式，可得將、與交換次序，得上式對(duì)任意t

均成立。令t＝0，得同理，可獲得其它3個(gè)方程的復(fù)數(shù)形式41第四十一頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日從形式上講，只要把微分算子用代替，就可以把時(shí)諧電磁場(chǎng)的場(chǎng)量之間的時(shí)域關(guān)系，轉(zhuǎn)換為復(fù)矢量之間關(guān)系。從而，得到復(fù)數(shù)形式的麥克斯韋方程。略去“.”和下標(biāo)m42第四十二頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日實(shí)際的介質(zhì)都存在損耗：

導(dǎo)電媒質(zhì)——當(dāng)電導(dǎo)率有限時(shí)，存在歐姆損耗。

電介質(zhì)——受到極化時(shí)，可能存在電極化損耗。

磁介質(zhì)——受到磁化時(shí)，可能存在磁化損耗。損耗的大小與媒質(zhì)性質(zhì)、隨時(shí)間變化的頻率有關(guān)。一些媒質(zhì)的損耗在低頻時(shí)可以忽略，但在高頻時(shí)就不能忽略。4.5.3復(fù)電容率（介電常數(shù)）和復(fù)磁導(dǎo)率

導(dǎo)電媒質(zhì)的“等效復(fù)介電常數(shù)”（復(fù)電容率）其中稱為導(dǎo)電媒質(zhì)的等效復(fù)介電常數(shù)或復(fù)電容率。

對(duì)于介電常數(shù)為、電導(dǎo)率為的導(dǎo)電媒質(zhì)，有43第四十三頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日電介質(zhì)的等效復(fù)介電常數(shù)同時(shí)存在電極化損耗和歐姆損耗的介質(zhì)磁介質(zhì)的復(fù)磁導(dǎo)率

對(duì)于存在電極化損耗的電介質(zhì)，有，稱為等效復(fù)介電常數(shù)或復(fù)電容率。其虛部為大于零的數(shù)，表示電介質(zhì)的電極化損耗。在高頻情況下，實(shí)部和虛部都是頻率的函數(shù)。對(duì)于同時(shí)存在電極化損耗和歐姆損耗的電介質(zhì)，等效復(fù)介電常數(shù)為

對(duì)于磁性介質(zhì)，復(fù)磁導(dǎo)率數(shù)為，其虛部為大于零的數(shù)，表示磁介質(zhì)的磁化損耗。44第四十四頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日損耗角正切導(dǎo)電媒質(zhì)導(dǎo)電性能的相對(duì)性電介質(zhì)導(dǎo)電媒質(zhì)磁介質(zhì)——

弱導(dǎo)電媒質(zhì)和良絕緣體——

一般導(dǎo)電媒質(zhì)——

良導(dǎo)體

工程上通常用損耗角正切來(lái)表示媒質(zhì)的損耗特性，其定義為復(fù)介電常數(shù)或復(fù)磁導(dǎo)率的虛部與實(shí)部之比，即有

導(dǎo)電媒質(zhì)的導(dǎo)電性能具有相對(duì)性，在不同頻率情況下，導(dǎo)電媒質(zhì)具有不同的導(dǎo)電性能。45第四十五頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日導(dǎo)電媒質(zhì)理想介質(zhì)4.5.4亥姆霍茲方程

在時(shí)諧時(shí)情況下，將、，即可得到復(fù)矢量的波動(dòng)方程，稱為亥姆霍茲方程。瞬時(shí)形式復(fù)數(shù)形式46第四十六頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日4.5.5時(shí)諧場(chǎng)的位函數(shù)

在時(shí)諧情況下，矢量位和標(biāo)量位以及它們滿足的方程都可以表示成復(fù)數(shù)形式。洛侖茲條件達(dá)朗貝爾方程瞬時(shí)形式復(fù)數(shù)形式位函數(shù)定義47第四十七頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日4.5.6平均能量密度和平均能流密度矢量

注意：①“二次式”本身沒(méi)有復(fù)數(shù)形式，只有時(shí)域形式；②其中的場(chǎng)量必須是實(shí)數(shù)形式（即時(shí)域形式）才有意義，不能將復(fù)數(shù)形式的場(chǎng)量E、H直接代入公式計(jì)算。必須先將E、H轉(zhuǎn)換成時(shí)域形式后，再代入相應(yīng)公式計(jì)算。電磁場(chǎng)能量密度和能流密度的表達(dá)式中都包含了場(chǎng)量的平方關(guān)系，這種關(guān)系式稱為“二次式”。瞬時(shí)形式48第四十八頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日二次式的時(shí)間平均值在時(shí)諧電磁場(chǎng)中，常常要關(guān)心二次式在一個(gè)時(shí)間周期T中的平均值，即平均能流密度矢量平均電場(chǎng)能量密度平均磁場(chǎng)能量密度在時(shí)諧電磁場(chǎng)中，二次式的時(shí)間平均值可以直接由復(fù)矢量（矢量的復(fù)數(shù)形式）計(jì)算，有49第四十九頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日則平均能流密度矢量為如果電場(chǎng)和磁場(chǎng)都用復(fù)數(shù)形式給出，即有時(shí)間平均值與時(shí)間無(wú)關(guān)例如：某正弦電磁場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度都用實(shí)數(shù)形式給出50第五十頁(yè)，共五十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日具有普遍意義，不僅適用于正弦電磁場(chǎng)，也適用于其他時(shí)變電磁場(chǎng)；而只適用于時(shí)諧電磁場(chǎng)。

在中，和都是實(shí)數(shù)形式且是時(shí)間的函數(shù)，所以也是時(shí)間的函數(shù)，反映的是能流密度在某一個(gè)瞬時(shí)的取值；而