無錫市2022年秋學(xué)期高三期終教學(xué)質(zhì)量調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意，集合A為奇數(shù)集，求出集合B，根據(jù)交集的定義即可求解.【詳解】解：因?yàn)榧希?，故選：B.2.“”是“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”的（）．A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】，時(shí)是純虛數(shù)，是純虛數(shù)，則，得到答案．【詳解】，時(shí)是純虛數(shù)，充分；是純虛數(shù)，則，不必要．故選：A3.若，，則（）．A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)確定得到，根據(jù)得到，得到答案.【詳解】，即，，故，，故，故，故，，，故．故選：D4.函數(shù)的部分圖象大致為（）．A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出定義域，由得到為偶函數(shù)，結(jié)合函數(shù)在上函數(shù)值的正負(fù)，排除BC，結(jié)合函數(shù)圖象的走勢(shì)，排除D，得到正確答案.【詳解】變形為，定義域?yàn)?，，故為偶函?shù)，關(guān)于y軸對(duì)稱．當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，排除BC，又時(shí)，，故排除D，A正確.故選：A．5.已知m，n為異面直線，平面，平面．若直線l滿足，，，．則下列說法正確的是（）．A.， B.，C.與相交，且交線平行于l D.與相交，且交線垂直于l【答案】C【解析】【分析】利用異面直線、線面的位置關(guān)系即可求解.【詳解】由于m，n為異面直線，平面，平面，則平面與平面必相交，但未必垂直，且交線垂直于直線m，n，故AB錯(cuò)誤；又直線滿足，，，，則交線平行于故C正確，D錯(cuò)誤.故選：C6.在平行四邊形ABCD中，已知，，，，則（）．A. B. C.6 D.9【答案】A【解析】【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算及平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算律，可以得所求數(shù)量積的值.【詳解】由題意可得：，，∵，①，②①－②得：，即，∴．故選：A．7.雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過的直線與雙曲線左、右兩支分別交于點(diǎn)P，Q，若，M為PQ的中點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為（）．A. B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】由得出，，，在中利用勾股定理得出離心率.【詳解】解：MPQ中點(diǎn)，，∴等腰三角形．令，則，，，∴，∴，∴，，，，，，，∴中，，∴，∴．故選：C．8.設(shè)，，，則下列關(guān)系正確的是（）．A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可比較，再構(gòu)造函數(shù)，判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，即可比較，從而可得出答案.【詳解】令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以，即，所以，令，則，令，則，所以在上遞減，所以，所以，所以在上遞減，所以，即當(dāng)時(shí)，，所以，即，所以．故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)和，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，當(dāng)時(shí)，.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知由樣本數(shù)據(jù)組成的一個(gè)樣本，得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，且，去除兩個(gè)樣本點(diǎn)和后，得到新的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為．在余下的8個(gè)樣本數(shù)據(jù)和新的經(jīng)驗(yàn)回歸方程中（）．A.相關(guān)變量x，y具有正相關(guān)關(guān)系B.新的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為C.隨著自變量x值增加，因變量y值增加速度變小D.樣本的殘差為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)線性回歸方程的求法、意義可判斷ABC，再由殘差的概念判斷D.【詳解】，x新平均數(shù)，．y新平均數(shù)，∴，∴．新的線性回歸方程，x，y具有正相關(guān)關(guān)系，A對(duì)．新的線性回歸方程：，B對(duì)．由線性回歸方程知，隨著自變量x值增加，因變量y值增加速度恒定，C錯(cuò)；，，，D對(duì)．故選：ABD．10.已知，為曲線的焦點(diǎn)，則下列說法正確的是（）．A.若曲線C的離心率，則B.若，則曲線C的兩條漸近線夾角為C.若，曲線C上存在四個(gè)不同點(diǎn)P，使得D.若，曲線C上存在四個(gè)不同點(diǎn)P，使得【答案】BD【解析】【分析】分焦點(diǎn)在軸上和焦點(diǎn)在軸上兩種情況討論，即可判斷A；分別求出雙曲線兩漸近線的夾角即可判斷B；當(dāng)點(diǎn)位于上下頂點(diǎn)時(shí)，最大，求出此時(shí)的值，即可判斷C；若，則曲線是焦點(diǎn)在上的雙曲線，再根據(jù)以線段為直徑的圓與雙曲線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，若曲線C的離心率，則該曲線為橢圓，當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，，，解得，當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，，，解得，綜上，若曲線C的離心率，則或，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，時(shí)，曲線，漸近線，兩漸近線的傾斜角分別為，所以兩漸近線夾角為，故B正確；對(duì)于C，，曲線，，，，當(dāng)點(diǎn)位于上下頂點(diǎn)時(shí)，最大，點(diǎn)位于上下頂點(diǎn)時(shí)，，則，所以曲線上不存在點(diǎn)P使得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則曲線是焦點(diǎn)在上的雙曲線，則，所以以線段為直徑的圓與雙曲線有4個(gè)交點(diǎn)，此4個(gè)交點(diǎn)即為點(diǎn)，故D正確.故選：BD．11.已知正三棱柱，底面邊長(zhǎng)為2，D是AC中點(diǎn)，若該正三棱柱恰有一內(nèi)切球，下列說法正確的是（）．A.平面平面B.平面C.該正三棱柱體積為2D.該正三棱柱外接球的表面積為【答案】AC【解析】【分析】利用線面、面面垂直的判定定理即可判斷A，根據(jù)空間垂直的坐標(biāo)表示即可證明B，根據(jù)柱體的體積公式計(jì)算即可判斷C，根據(jù)球的表面積公式計(jì)算即可判斷D.【詳解】C：正三棱柱存在內(nèi)切圓，則內(nèi)切圓的直徑為球的直徑，亦為三棱柱的高，設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，則，，，∴，故C正確；A：在正三棱柱中，由正三棱柱的性質(zhì)可得，，平面，，∴平面，平面，∴平面平面，故A正確；B：如圖建系，則，，，，，，∴，∴與不垂直，故B錯(cuò)誤．D：設(shè)三棱柱外接球的半徑為R，外接圓半徑為，∴，，D錯(cuò)誤．故選：AC．12.已知函數(shù)滿足．下列說法正確的是（）．A.B.當(dāng)，都有，函數(shù)的最小正周期為C.若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則方程在上最多有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根D.設(shè)，存在，，則【答案】ACD【解析】【分析】A選項(xiàng)，賦值法得到且關(guān)于中心對(duì)稱；B選項(xiàng)，得到，故；C選項(xiàng)，結(jié)合函數(shù)圖象得到，即，先考慮時(shí)，實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)，再由函數(shù)圖象的伸縮變化得到時(shí)根的情況，求出答案；D選項(xiàng)，分析得到，即在有兩個(gè)最大值點(diǎn)，故，求出，，根據(jù)最大值點(diǎn)個(gè)數(shù)列出不等式組，求出的取值范圍.【詳解】對(duì)應(yīng)A，中，令可得：，故，且關(guān)于中心對(duì)稱，A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，恒成立，不妨取時(shí)，此時(shí)之間的距離最長(zhǎng)，求得的周期應(yīng)為函數(shù)的最小周期，∴，∴，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，畫出大致圖象，因?yàn)殛P(guān)于中心對(duì)稱，又在單調(diào)遞增，∴，∴．當(dāng)時(shí)，此時(shí)，故，將代入可得，解得：，故，不妨令令，解得：，因?yàn)?，所以，故令或或或，解得：或或?所以在兩個(gè)周期內(nèi)存在四個(gè)根．時(shí)，此時(shí)圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變大，整個(gè)函數(shù)圖象拉伸，故在至多4個(gè)根，C正確；對(duì)于D，，，，即，，即，∴，即在至少有兩個(gè)最大值點(diǎn)，故，∴，∴，，，由于，所以，①，解得；②，解得；③，解得．②與③求并集為；當(dāng)時(shí)，，滿足在至少有兩個(gè)最大值點(diǎn)，可知，D對(duì)．故選：ACD．【點(diǎn)睛】在三角函數(shù)圖象與性質(zhì)中，對(duì)整個(gè)圖象性質(zhì)影響最大，因?yàn)榭筛淖兒瘮?shù)的單調(diào)區(qū)間，極值個(gè)數(shù)和零點(diǎn)個(gè)數(shù)，求解的取值范圍是經(jīng)?？疾斓膬?nèi)容，綜合性較強(qiáng)，除掌握三角函數(shù)圖象和性質(zhì)，還要準(zhǔn)確發(fā)掘題干中的隱含條件，找到切入點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合求出相關(guān)性質(zhì)，如最小正周期，零點(diǎn)個(gè)數(shù)，極值點(diǎn)個(gè)數(shù)等，此部分題目還常常和導(dǎo)函數(shù)，去絕對(duì)值等相結(jié)合考查綜合能力.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若的展開式中第5項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則該常數(shù)項(xiàng)為______（用數(shù)字表示）．【答案】60【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式可得，令即可求解.【詳解】展開式第項(xiàng)，，第5項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)：，，，．故答案為：60.14.請(qǐng)寫出一個(gè)與x軸和直線都相切的圓的方程______．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】先判斷出圓心在，寫出圓心和半徑，即可得到圓的方程.【詳解】因?yàn)閳A與x軸與都相切，所以圓心在.不妨取，則.要使圓與x軸相切，只需半徑為1.所以圓的方程為：．故答案為：（答案不唯一）.15.函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線l恒過定點(diǎn)，則該定點(diǎn)坐標(biāo)為______．【答案】【解析】【分析】利用函數(shù)值的定義及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程即可求解.【詳解】由題意可知，，切點(diǎn)，，所以函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為，所以函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，即，所以，解得，所以切線方程恒過定點(diǎn)為．故答案為：.16.已知向量，，，則______，______．【答案】①.②.【解析】【分析】設(shè)，，得到，利用累乘法求出，結(jié)合，求出，，裂項(xiàng)相消法求和得到答案.【詳解】設(shè)，，∴，∴，故，，∴，，以上個(gè)式子相乘得：，，又因?yàn)?，所以，∴，，∴，，，，∴．故答案為：，．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公差，是，的等比中項(xiàng)，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，，求．【答案】（1）（2）191【解析】【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列的基本量的計(jì)算列出方程組，解之即可求解；(2)由(1)知，，進(jìn)而，兩式相減，即可求解.【小問1詳解】設(shè)公差為d，由題意得，解得，∴．【小問2詳解】，①，②②－①得，，∵，∴．∴．18.在①，②，③的面積為，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并加以解答．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且______．（1）求角A；（2）若，的內(nèi)切圓半徑為，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）選①，根據(jù)已知條件及正弦定理的邊角化，再利用三角形的內(nèi)角和定理及兩角和的正弦公式，結(jié)合三角函數(shù)的特殊值對(duì)應(yīng)特殊角注意角的范圍即可求解；選②，根據(jù)已知條件及三角形的內(nèi)角和定理，再利用兩角和的正切公式及三角函數(shù)的特殊值對(duì)應(yīng)特殊角注意角的范圍即可求解；選③，根據(jù)已知條件及三角形的面積公式，再利用余弦定理的推論及三角函數(shù)的特殊值對(duì)應(yīng)特殊角注意角的范圍即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及三角形的面積公式，結(jié)合余弦定理即可求解.【小問1詳解】若選①，由及正弦定理，得，即，即，所以，因?yàn)?所以，所以，又,所以．若選②，由，得，∴，因?yàn)?所以，當(dāng)時(shí)，不存在，所以，又,所以．若選③，因?yàn)榈拿娣e為，所以，即，所以，又,所以．【小問2詳解】由（1）知，，∵內(nèi)切圓半徑為，∴，即，由余弦定理，得，即，所以，聯(lián)立，得，解得，所以．19.如圖，在四棱錐中，平面，底面為矩形，分別為的中點(diǎn)，，．（1）求證：平面PAD；（2）在線段上求點(diǎn)，使得平面與平面夾角余弦值為．【答案】（1）證明見解析（2）為上靠近的四等分點(diǎn)的位置．【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，畫出圖形利用線面平行的方法證明即可；（2）假設(shè)存在根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量建立面面角的等式，求出參數(shù)即可.【小問1詳解】證明：取中點(diǎn)，連接，如圖所示：∵分別為中點(diǎn)，且四邊形為矩形，∴，，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵平面PAD，平面PAD，∴平面PAD．【小問2詳解】由平面，底面為矩形，所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)，，則，，，，∴，，∴，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為：，∴，設(shè)平面的一個(gè)法向量為：，．設(shè)平面與平面所成角為，∴，，∴在AP上存在，即M為AP上靠近PA的四等分點(diǎn)的位置．20.體育比賽既是運(yùn)動(dòng)員展示個(gè)人實(shí)力的舞臺(tái)，也是教練團(tuán)隊(duì)排兵布陣的戰(zhàn)場(chǎng)．在某團(tuán)體比賽項(xiàng)目中，教練組想研究主力隊(duì)員甲、乙對(duì)運(yùn)動(dòng)隊(duì)得獎(jiǎng)牌的貢獻(xiàn)，根據(jù)以往的比賽數(shù)據(jù)得到如下統(tǒng)計(jì)：運(yùn)動(dòng)隊(duì)贏得獎(jiǎng)牌運(yùn)動(dòng)隊(duì)未得獎(jiǎng)牌總計(jì)甲參加40b70甲未參加c40f總計(jì)50en（1）根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為該運(yùn)動(dòng)隊(duì)贏得獎(jiǎng)牌與甲參賽有關(guān)聯(lián)？（2）根據(jù)以往比賽的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，乙隊(duì)員安排在1號(hào)，2號(hào)，3號(hào)三個(gè)位置出場(chǎng)比賽，且出場(chǎng)率分別為0.3，0.5，0.2，同時(shí)運(yùn)動(dòng)隊(duì)贏得獎(jiǎng)牌的概率依次為：0.6，0.7，0.5．則①當(dāng)乙隊(duì)員參加比賽時(shí)，求該運(yùn)動(dòng)隊(duì)比賽贏得獎(jiǎng)牌的概率；②當(dāng)乙隊(duì)員參加比賽時(shí)，在運(yùn)動(dòng)隊(duì)贏得比賽獎(jiǎng)牌的條件下，求乙在2號(hào)位置出場(chǎng)的概率．附表及公式：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）可以認(rèn)為該運(yùn)動(dòng)隊(duì)贏得獎(jiǎng)牌與甲參賽有關(guān)聯(lián)（2）①0.63；②．【解析】【分析】(1)根據(jù)數(shù)據(jù)的分析完成列聯(lián)表，利用卡方公式和獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想即可下結(jié)論；(2)根據(jù)獨(dú)立事件的概率公式和條件概率的求法即可求解.【小問1詳解】由題意知，，，，2×2列聯(lián)表如下：運(yùn)動(dòng)隊(duì)贏得獎(jiǎng)牌運(yùn)動(dòng)隊(duì)未得獎(jiǎng)牌總計(jì)甲參加403070甲未參加104050總計(jì)5070120，∴可以認(rèn)為該運(yùn)動(dòng)隊(duì)贏得獎(jiǎng)牌與甲參賽有關(guān)聯(lián)．小問2詳解】①乙隊(duì)員參加比賽時(shí)，贏得獎(jiǎng)牌的概率．②記事件A為“乙運(yùn)動(dòng)員贏得比賽獎(jiǎng)牌”，事件B為“乙在2號(hào)位置出場(chǎng)”，∴．21.已知橢圓的右焦點(diǎn)F和拋物線的焦點(diǎn)重合，且和的一個(gè)公共點(diǎn)是．（1）求和的方程；（2）過點(diǎn)F作直線l分別交橢圓于A，B，交拋物線于P，Q，是否存在常數(shù)，使為定值？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【答案】（1），（2）存在，【解析】【分析】（1）先求出拋物線的方程，進(jìn)而求出焦點(diǎn)，再根據(jù)橢圓的右焦點(diǎn)與其重合，列出方程組求解即可；（2）利用弦長(zhǎng)公式分別表示出，然后代入，可求出使為定值的常數(shù).【小問1詳解】解：由題意知，∴，拋物線焦點(diǎn)，∴方程：，方程：．【小問2詳解】解：方法一：假設(shè)存在這樣的l，設(shè)直線l的方程為：，，，，．，∴．設(shè)，，，，，∴，∴為定值．∴，∴存在常數(shù)使為定值．方法二：對(duì)比前系數(shù)．方法三：設(shè)l傾斜角為，∴，，∴為定值，∴，，此時(shí)定值為．22.已知函數(shù)，其中a為實(shí)數(shù)．（1）若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求a的取值范