2021-2022學(xué)年山西省呂梁市柳林縣部分學(xué)校高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試

題

一、單選題

1.設(shè)機(jī)二（2,5）,〃=（44）,若m_L〃，則;I的值為（）

A-IB-4c.-10D.10

【答案】c

【分析】根據(jù)垂直的坐標(biāo)表示求解.

【詳解】因?yàn)?所以機(jī)?“=2/1+20=0,解得4=—1（）,

故選:C.

2.如圖四個(gè)幾何體中是棱錐的選項(xiàng)是（）

B.

D.

【分析】利用棱錐的定義判斷選項(xiàng)即可.

【詳解】因?yàn)橛幸粋€(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面圍成的幾何體叫

做棱錐.所以D中幾何體為棱錐,

故選：D.

3.設(shè)iz=4-3i,則復(fù)數(shù)z=()

A.-3-4iB.-3+4iC.3-4iD.3+4i

【答案】A

【分析】由題意結(jié)合復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則即可求得z的值.

4-3i(4-3i)i4i+3

【詳解】由題意可得：z=

i2

故選：A.

4.在如圖..ABC中，AQ為3C邊上的中線，E為的中點(diǎn)，則BE二（）

31

B.--AB+-AC

44

3113

C.-AB+-ACD.——AB+-AC

4444

【答案】B

【分析】根據(jù)平面向量基本定理，結(jié)合平面向量線性運(yùn)算的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【詳解】因?yàn)锳O為BC邊上的中線，

所以AO=；(AB+AC),

因?yàn)镋為A￡＞的中點(diǎn),

所以可得￡B=E￡>+O8=,AO+4C8=1(AB+AC)+,(A8-AC)=3A8」AC,

224244

31

^AB+-AC

BE=44

故選:B.

i-i

5.設(shè)z==+2i,則|z|=

l+i

A.0B.3C.1D.72

【答案】C

【詳解】分析：利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則：分子、分母同乘以分母的共軌復(fù)數(shù)，化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z,然后

求解復(fù)數(shù)的模.

=—i+2i=i,

則|z|=l,故選c.

點(diǎn)睛：復(fù)數(shù)是高考中的必考知識(shí)，主要考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運(yùn)算.要注意對(duì)實(shí)部、虛部的理解,

掌握純虛數(shù)、共鈍復(fù)數(shù)這些重要概念，復(fù)數(shù)的運(yùn)算主要考查除法運(yùn)算，通過(guò)分母實(shí)數(shù)化轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)

的乘法，運(yùn)算時(shí)特別要注意多項(xiàng)式相乘后的化簡(jiǎn)，防止簡(jiǎn)單問(wèn)題出錯(cuò)，造成不必要的失分.

6.“ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知。sinA+acos8=0,則NB=()

【答案】C

【分析】利用正弦定理化邊為角，再結(jié)合同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系，得解.

【詳解】解：由正弦定理及/?sinA+acos3=(),知sin3sinA+sinAcos3=0,

因?yàn)閟inAwO,所以sin8+cosB=0,即tan3=-l,

又8w(0,〃)，所以8=差37r.

故選：C.

7.已知向量a,Z?滿足1〃1=5,|/?|=6,0.b=—6，則cos<c“+b>=()

A31191719

A--七BR?-玉C.天D?天

【答案】D

【分析】計(jì)算出“?(。+/月、,+目的值，利用平面向量數(shù)量積可計(jì)算出cos<a,a+b>的值.

［詳解］|?|=5,|ZJ|=6,a-b=-6，a-(a+/?)=|a|+?-/>=52-6=19.

+4=J(a+b)=yja'+2a-h+b=J25-2x6+36=7,

a+h］1919

因此，cos<a,a+b>=

忖*+05x735

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查平面向量夾角余弦值的計(jì)算，同時(shí)也考查了平面向量數(shù)量積的計(jì)算以及向量模的

計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

8.某幾何體底面的四邊形OA8C直觀圖為如圖矩形0出耳。|,其中。4=6,0a=2,則該幾何體

底面對(duì)角線AC的實(shí)際長(zhǎng)度為()

B.4nC.4夜D.25/10

【答案】B

【分析】通過(guò)直觀圖與原圖的關(guān)系得出A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出答案.

【詳解】根據(jù)四邊形OABC直觀圖將其還有為平面圖形如圖:

根據(jù)直觀圖與原圖的關(guān)系可得：

OA=OiAl=6,0口=2&+2?=4&，CD=OtC,=2,

則點(diǎn)4(6,0),C(-2,4^),

.?.|AC|=J(40-O『+(-2-6)2=46,

故選：B.

二、多選題

9.下列關(guān)于復(fù)數(shù)的說(shuō)法正確的是（）

A.任意兩個(gè)虛數(shù)都不能比較大小

B.在復(fù)平面中，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)

C.復(fù)數(shù)集中的數(shù)與復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量可以建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系

D.（-02=1

【答案】AC

【分析】根復(fù)數(shù)的性質(zhì)即可判斷出A正誤；根據(jù)原點(diǎn)表示實(shí)數(shù)0即可判斷出B正誤；由復(fù)數(shù)的幾何

意義即可判斷出C正誤；根據(jù)（-i）2=-l,即可判斷出D正誤.

【詳解】A.任意兩個(gè)虛數(shù)都不能比較大小，正確；

B.在復(fù)平面中，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)，不正確，因?yàn)樵c(diǎn)在虛軸上，原點(diǎn)表示實(shí)數(shù)0；

C.由復(fù)數(shù)的幾何意義可得：復(fù)數(shù)集中的數(shù)與復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量可以建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，

正確；

D.因?yàn)橐虼瞬徽_.

故選：AC.

10.下列關(guān)于幾何體的說(shuō)法中正確的是（）

A.棱臺(tái)所有的側(cè)棱所在直線交于一點(diǎn)

B.圓錐頂點(diǎn)和底面圓周上任意一點(diǎn)的連線是圓錐的母線

C.圓臺(tái)上下兩個(gè)底面不一定互相平行

D.圓柱的任意兩條母線互相平行

【答案】ABD

【分析】利用棱臺(tái)，棱錐、圓臺(tái)、圓柱的定義結(jié)合它們的結(jié)構(gòu)特征，判斷選項(xiàng)的正誤即可.

【詳解】棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面間的部分叫做棱臺(tái),故棱臺(tái)所有的側(cè)棱所在直線

交于一點(diǎn)，所以A正確；

以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓

錐，所以圓錐頂點(diǎn)和底面圓周上任意一點(diǎn)的連線是圓錐的母線，所以B正確；

以直角梯形中垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面所圍成的幾何體

叫做圓臺(tái)，圓臺(tái)上下兩個(gè)底面一定互相平行，所以C不正確；

以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將矩形旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓柱，所以

圓柱的任意兩條母線互相平行，所以D正確.

故選：ABD.

11.一艘船在靜水中的航行速度為5km/h,河水的流速為3km/h,則船的實(shí)際航行的速度可能為()

A.lkm/hB.5km/hC.8km/hD.lOkm/h

【答案】BC

【分析】設(shè)該船實(shí)際航行的速度為V，由向量模的關(guān)系可得||丫靜I-|我|兇U兇|丫臧|+|煤II，由此求

解可得到答案.

【詳解】設(shè)該船實(shí)際航行的速度為V,因?yàn)榇膶?shí)際航行速度為靜水中的航行速度與水流速度的合

速度，

所以llv靜I—B水I的V靜1+1煤11，

因?yàn)榇陟o水中的航行速度為5km/h,河水的流速為3km/h,

所以5-34|咋5+3,

則24問(wèn)48,

所以船實(shí)際航行的速度的取值范圍是[2,8].

故選：BC.

12.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(l,0),[(cose,sine),g(cos/?,-sin￡),/?(cos(a+/?),sin(a+^)),

(cosAsin^),則下列選項(xiàng)中的等式恒成立的是()

A.\OP]=\OP'\B.|叫』阿

C.OAOR=OP\ORD.OAOI]=OP^OP,

【答案】ACD

UUIUuuu

【分析】A、B寫(xiě)出。4，0P「的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)公式求模，即可判斷正誤；C、D根據(jù)

向量的坐標(biāo)，應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及兩角和差公式化簡(jiǎn)，即可判斷正誤.

【詳解】對(duì)于A,OP}=(cosa,sina),OP,=(cos/?,-sinp),所以=Jcos?a+sin2a=1,

|oq=J(cos02+(_sin02=i,故河卜J。川，故正確；

對(duì)于B,=(cosa-1,sina),AP2=(cosy?-l,-sin^),所以

|叫=7(cosa-l)2+sin2a=7cos2-2cosa+1+sin2a==^2(1-cosa)=^4sin2y=2siny,

同理kH=J(cos/?-l)2+sin2/=2sing，故,林,可不一定相等，故錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由題意得：OAOPi=lxcos(￡Z+/7)+Oxsin(a+y0)=cos(cz+/7),

OF\OP2-cosa-cos/?+sina?(—sin/?)=cos(cr+/?),故正確；

對(duì)于D,由題意得：040q=lxcosa+0xsina=cosa,

OROf^=cos(3xcos(6Z+/)+sin/xsin(a+萬(wàn))

=cos(/?-(a+/?))=cosa,所以=0烏.OR,故正確；

故選：ACD.,

三、填空題

13.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，將多項(xiàng)式分解成為一次因式的積，則/一1=,

【答案】(x-l)(x+D(x-i)(x+i)

【分析】根據(jù)平方差公式在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)分解因式即可.

【詳解】由已知J-1=)2-f=(f-i)(f+1)=(x-l)(x+l)(x-i)(x+i).

故答案為:(x-l)(x+l)(x-i)(x+i).

14.已知正方形A8C￡>的邊長(zhǎng)為2,E為CD的中點(diǎn)，貝!IA￡.8D=.

【答案】2

【詳解】AE-3O=(A￡>+；OC).(AO-AB)

=AD'-AB+~DC-AD--AB-DC=22-*6gx22=2.

15.在復(fù)平面內(nèi)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量0A所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為Z1=l+2i,向量4B所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為

z2=-4-3i,點(diǎn)C所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為Z3=l-4i,貝Ijcos/ABC的值為.

7

【答案】—##0.28

【分析】求出BA、8c向量的坐標(biāo)，由向量的夾角公式可得答案.

【詳解】因?yàn)椤?=(1,2),AB=(T-3),OC=(1,-4),

所以班=(4,3),/4C=C?C-OA=(l,-4)-(1,2)=(0,-6),

BC=AC-AB=(0,-6)-(-4,-3)=(4,-3),

..DA16-97

所以8s(BC,附=國(guó)研

5x5-25

7

所以cos/A3C=—.

25

故答案為：

.7

16.已知向量a=(cosa,sina),Z?=(cos<9,sin0),若6=0+公)，則向量〃與人夾角的余弦值為

【答案】T

2

【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算和向量的夾角公式即可求解.

【詳解】因?yàn)橄蛄俊?(cosa,sina),&=(cos0,sin^),

所以pz|=Vcos2?+sin2?=1,忖=Vcos2^+sin20=1,

,a-bcosacos0+sincrsin0/八、

由向量的夾角公式可得：cos<〃]>==--------------i--------------=cos(9_a),

\a\\h\1

又因?yàn)?=a+二兀，則6—二=(兀，所以cos<a,Z?>=cos(6-a)=-走，

662

故答案為：￡

2

四、解答題

17.已知復(fù)數(shù)4滿足(l+i"=—l+5i,z2=a-2-i,其中i為虛數(shù)單位，aeR,若卜-司=㈤，求

。的值.

【答案】1或7.

【分析】化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)為分式的形式，利用復(fù)數(shù)同乘分母的共枕復(fù)數(shù)即可得到4,根據(jù)模長(zhǎng)之間的關(guān)系,

得到關(guān)于〃的方程，解出〃的值即可.

-14-5i+—

【詳解】解：.=■?=八\一=2+31,z2=?-2-i,z2=a-2+i,

所以卜I_Z2]=〔(2+3i)-2+i)|=|4-a+2i|=J(4-a.+4,

又因?yàn)閨zj=ji5,>1―2|=國(guó)，

所以J(4_a『+4=m，

所以a?-8a+7=0,解得a=1或a=7.

所以”的值是1或7.

18.在JLBC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.若c=6，b=\,C=120,求：

⑴角B；

⑵.ABC的面積S

【答案】(1)8=30

⑵手.

4

【分析】(1)正弦定理求解；

(2)根據(jù)面積公式求解.

【詳解】(1)由正弦定理工=三，得$m8=變必==，

sinBsinCc2

因?yàn)樵?ABe中，6<c且C=120,所以8=30.

(2)因?yàn)锳+8+C=180,

所以A=180-120-30=30.

所以S=—Z?csinA=.

24

19.己知單位向量q,e2,q與S的夾角為

⑴求證(2q-e2)_Le?；

(2)若//1=雞+4,n-3el-2e2,且網(wǎng)=”,求2的值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)4=2或九=-3.

【分析】(1)利用向量數(shù)量積的運(yùn)算即可證明；

(2)根據(jù)向量的模和數(shù)量積的計(jì)算公式即可求解.

【詳解】(1)因?yàn)橥?同=1，q與e2的夾角為?，

所以(2q-ezje?=2q-e?-e?-=2同,Jcosg-"|=2xlxlx--I2=0,

所以(2q-ez)_Le2.

(2)由同=”得(雞+ej=(3q-2e?),

即(萬(wàn)—9)q2+(22+]2)q?e2—3q=().

因?yàn)橥?同=1,%與/的夾角為

所以et-^2=lxlxcos^=^,

所以(/P-9)xl+(2/l+12)x；-3xl=0,

即無(wú)+/1-6=0.所以＞1=2或/1=一3.

20.在ZkABC中，內(nèi)角4、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,且"d=百cosC

ac

⑴求角C的大??；

(2)如果。+。=6,C4-CB=4，求c的值.

【答案】(吟

⑵26

【分析】(1)由正弦定理化邊為角，得出tanC=百，即可求出;

(2)由數(shù)量積的定義可得必=8,再由余弦定理即可求出.

【詳解】(1)由si"'=6cosc得csinA=0acosC,

ac

由正弦定理可得sinCsinA=V3sinAcosC,

因?yàn)閟inA>0,所以sinC=V5cosC,即tanC=V5,

因?yàn)镃e(O,萬(wàn))，所以C=5.

(2)因?yàn)镃ACB=bacosC=,“b=4,所以而=8,

2

所以。2=。2+匕2-2abcosC=(a+b)2-3a〃=36—24=12,所以c=26.

21.一個(gè)圓錐的底面半徑為2,高為6,在其中有一個(gè)高為x的內(nèi)接圓柱.

(1)用x表示圓柱的軸截面面積S；

(2)當(dāng)x為何值時(shí)，S最大？

2

【答案】(l)S=—§x2+4x(0<r<6).

(2)當(dāng)x=3時(shí)，S最大，最大值為6.

【分析】分析：(1)畫(huà)出圓錐的軸截面，將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)

和比例的性質(zhì)，得出內(nèi)接圓柱底面半徑r與x關(guān)系式即可

(2)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)易得到其最大值，及對(duì)應(yīng)的x的值.

詳解：

畫(huà)出圓柱和圓錐的軸截面，

如圖所示，

設(shè)圓柱的底面半徑為r,則由三角形相似可得

x2-r-x

-=.,解得尸=2-；.

623

(1)圓柱的軸截面面積

x2

S=2r.X=2.(2—y)-X=—yx2+4X(0<￥<6).