高等數(shù)學第八章多元函數(shù)積分學第一頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二第一節(jié)二重積分的概念與性質(zhì)一、問題的提出二、二重積分的概念三、二重積分的性質(zhì)四、小結第二頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二柱體體積=底面積×高特點：平頂.柱體體積=？特點：曲頂.１．曲頂柱體的體積一、問題的提出曲頂柱體第三頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二回憶定積分.設一元函數(shù)y=f(x)在[a,b]可積.則如圖0xyabxixi+1iy=f(x)f(i)其中i[xi,xi+1],xi=xi+1

xi,表小區(qū)間[xi,xi+1]的長,f(i)xi表示小矩形的面積.第四頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二求曲頂柱體的體積采用“分割、求和、取極限”的方法．第五頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二求曲頂柱體的體積采用“分割、求和、取極限”的方法．第六頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二求曲頂柱體的體積采用“分割、求和、取極限”的方法．第七頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二求曲頂柱體的體積采用“分割、求和、取極限”的方法．第八頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二求曲頂柱體的體積采用“分割、求和、取極限”的方法．第九頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二設有一立體.其底面是xy

面上的區(qū)域D,其側面為母線平行于z軸的柱面,其頂是曲面z=f(x,y)0,連續(xù).稱為曲頂柱體.若立體的頂是平行于xy

面的平面.則平頂柱體的體積=底面積×高.0yzxz=f(x,y)D如圖

一、例1.求曲頂柱體的體積V.第十頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二(i)用曲線將D分成

n個小區(qū)域D1,D2,…,Dn,

每個小區(qū)域Di都對應著一個小曲頂柱體.如圖z=f(x,y)0yzxz=f(x,y)DDiDi第十一頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二(ii)由于Di很小,z=f(x,y)連續(xù),小曲頂柱體可近似看作小平頂柱體.(i,i)Di.小平頂柱體的高=f(i,i).若記

i=Di的面積.則小平頂柱體的體積=f(i,i)

i

小曲頂柱體體積

f(i,i)

(i,i)Diz=f(x,y)第十二頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二(iii)因此,大曲頂柱體的體積分割得越細,則右端的近似值越接近于精確值V,若分割得"無限細",則右端近似值會無限接近于精確值V.

若存在則第十三頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二(iv)其中Di的直徑是指Di中相距最遠的兩點的距離.其中

(i,i)Di,i=Di的面積.xyDi如圖第十四頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二求曲頂柱體體積的方法：分割、取近似、求和、取極限。第十五頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二步驟如下：1.分割2.取近似3.求和4.取極限第十六頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二２．求平面薄片的質(zhì)量將薄片分割成若干小塊，取典型小塊，將其近似看作均勻薄片，所有小塊質(zhì)量之和近似等于薄片總質(zhì)量第十七頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二二、二重積分的概念第十八頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二積分區(qū)域被積函數(shù)積分變量------被積表達式面積元素第十九頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二對二重積分定義的說明：第二十頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二二重積分的幾何意義當被積函數(shù)大于零時，二重積分是柱體的體積．當被積函數(shù)小于零時，二重積分是柱體的體積的負值．第二十一頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二在直角坐標系下用平行于坐標軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)域D，故二重積分可寫為則面積元素為D第二十二頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二性質(zhì)１當

k為常數(shù)時，性質(zhì)２（二重積分與定積分有類似的性質(zhì)）三、二重積分的性質(zhì)第二十三頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二性質(zhì)３對區(qū)域具有可加性性質(zhì)４若為D的面積，性質(zhì)５若在D上特殊地則有第二十四頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二性質(zhì)６性質(zhì)７（二重積分中值定理）（二重積分估值不等式）第二十五頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二解因此，由性質(zhì)6知即第二十六頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二二重積分的定義二重積分的性質(zhì)二重積分的幾何意義（曲頂柱體的體積）（積分和式的極限）四、小結第二十七頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二思考題將二重積分定義與定積分定義進行比較，找出它們的相同之處與不同之處.第二十八頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二定積分與二重積分相同之處：都表示某種和式的極限值，且此值只與被積函數(shù)及積分區(qū)域有關．不同的是:定積分的積分區(qū)域為區(qū)間，被積函數(shù)為定義在區(qū)間上的一元函數(shù);

二重積分的積分區(qū)域為平面區(qū)域，被積函數(shù)為定義在平面區(qū)域上的二元函數(shù)．思考題解答第二十九頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二第二節(jié)二重積分的計算法（1）利用直角坐標計算二重積分第三十頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二先討論積分區(qū)域為：其中函數(shù)、在區(qū)間上連續(xù).利用直角坐標系計算二重積分［X－型］X型區(qū)域的特點：穿過區(qū)域且平行于y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.第三十一頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二第三十二頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二積分區(qū)域為：［X－型］一般地，---先對y積分，后對x積分的二次積分第三十三頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二如果積分區(qū)域為：［Y－型］---先對x積分，后對y積分的二次積分第三十四頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二1.若D既是x—型區(qū)域,又是y—型區(qū)域.比如x0yx0yx0y當用某次序算二重積分不好算時,可改換積分次序,可能好算.則既可先對x積分,又可先對y積分.等等,此時,第三十五頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二2.（1）如果積分區(qū)域是矩形（2）如果被積函數(shù)f(x,y)=f1(x)·f2(y),且積分區(qū)域是矩形區(qū)域，則第三十六頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二

設D：a

x

b,c

y

d.f(x,y)=f1(x)·f2(y)可積，則yx0dcab第三十七頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二比如，第三十八頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二若區(qū)域如圖，在分割后的三個區(qū)域上分別使用積分公式則必須分割.3.第三十九頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二4.設D:y1(x)yy2(x),axb,為x—型區(qū)域.其中y2(x)為分段函數(shù).如圖則由于y2(x)是分段函數(shù),里層積分上限無法確定用哪一個表達式.

故應將D分成D1,D2,分塊積分.xy0D1D2y=1(x)y=2(x)ab第四十頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二例1將化為二次積分。其中

D

由直線圍成。解1：先畫出積分區(qū)域D

。D

是Y－型。于是，第四十一頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二解2：于是，第四十二頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二例2計算其中

D

由直線圍成。解先畫出積分區(qū)域D

。D

是X－型。于是，第四十三頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二于是，第四十四頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二例3第四十五頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二解積分區(qū)域為于是，第四十六頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二解設則第四十七頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二于是，設第四十八頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二解第四十九頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二第五十頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二解第五十一頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二例9.

求解：由于是“積不出”的，怎么辦？要改換積分次序.先畫積分區(qū)域D的圖形.由積分表達式知，D：y

x1,0y1畫曲線x=y

和x=1，直線y=0,y=1.如圖：故原式=yx0Dy

=x第五十二頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二由例8，例9知，選擇適當?shù)姆e分順序，有時能使積分變得簡便，易行。在作題時，當按某一順序積分很難，或不可行時，可改換積分順序試一試。第五十三頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二1.xy0y=xy=x2x解:

先畫區(qū)域D的圖形.法1.先對y積分.第五十四頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二第五十五頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二xy0y=xy=x211法2.

先對x

積分.y第五十六頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二第五十七頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二2.

解:

先畫D的圖形.先對x積分.xy0y=x+2y=x2112第五十八頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二所以,原式=問,若先對y

積分,情形怎樣?xy0y=x+2y=x2112第五十九頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二3.

改換解：寫出D的表達式，畫D的圖形改為先對x再對y的積分yx0D24第六十頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二第二節(jié)二重積分的計算（2）一、利用極坐標系計算二重積分二、小結第六十一頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二一、利用極坐標系計算二重積分面積元素第六十二頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二二重積分化為二次積分的公式（１）區(qū)域特征如圖D：第六十三頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二區(qū)域特征如圖D：第六十四頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二二重積分化為二次積分的公式（２）區(qū)域特征如圖D：第六十五頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二極坐標系下區(qū)域的面積二重積分化為二次積分的公式（３）區(qū)域特征如圖第六十六頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二例1將化為在極坐標系下的二次積分。1）4）2）3）第六十七頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二1）解在極坐標系中，閉區(qū)域D

可表示為2）在極坐標系中，閉區(qū)域D

可表示為第六十八頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二2）在極坐標系中，閉區(qū)域D

可表示為3）在極坐標系中，閉區(qū)域D

可表示為第六十九頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二3）在極坐標系中，閉區(qū)域D

可表示為4）在極坐標系中，閉區(qū)域D

可表示為第七十頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二4）在極坐標系中，閉區(qū)域D

可表示為第七十一頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二解第七十二頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二解第七十三頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二例4.

求其中D：x2+y2

1解：一般,若D的表達式中含有x2+y2時，可考慮用極坐標積分。0xyx2+y2

1令x=rcos,y=rsin,則x2+y2

1的極坐標方程為r=1.由(2)D*:0r1,0

2第七十四頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二另由幾何意義：第七十五頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二解第七十六頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二第七十七頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二第七十八頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二第七十九頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二二重積分在極坐標下的計算公式二、小結第八十頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二5利用極坐標計算二重積分第八十一頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二D：由所圍成區(qū)域（第一象限部分）第八十二頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二第八十三頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二第八十四頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二第八十五頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二第三節(jié)二重積分的應用第八十六頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期二一、立體的體積二重積分的幾何意義當