2021年山西省忻州市青石學(xué)校高二數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.對(duì)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x，y有一組觀測(cè)數(shù)據(jù)（xi，yi）（i=1，2，…8），其回歸直線方程是x+a，且x1+x2+x3+…+x8=2（y1+y2+y3+…+y8）=6，則實(shí)數(shù)a的值是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】BK：線性回歸方程．【分析】求出橫標(biāo)和縱標(biāo)的平均數(shù)，寫(xiě)出樣本中心點(diǎn)，把樣本中心點(diǎn)代入線性回歸方程，得到關(guān)于a的方程，解方程即可．【解答】解：∵x1+x2+x3+…+x8=2（y1+y2+y3+…+y8）=6，∴=，=，∴樣本中心點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），代入回歸直線方程得，=×+a，∴a=．故選：B2.若方程表示雙曲線，則的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略3.在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)，則方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓的概率為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A4.的值是A．

B． C． D．參考答案：D5.已知空間四邊形ABCD的對(duì)角線為AC、BD，設(shè)G是CD的中點(diǎn)，則＋等于()A.

B.

C.

D.參考答案：A6.已知三次函數(shù)在上是增函數(shù)，則的取值范圍為（）Ａ．或

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．以上皆不正確參考答案：D7.已知函數(shù)f（x）=x3﹣2x2﹣4x﹣7，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x）．①f（x）的單調(diào)減區(qū)間是；

②f（x）的極小值是﹣15；③當(dāng)a＞2時(shí)，對(duì)任意的x＞2且x≠a，恒有f（x）＞f（a）+f′（a）（x﹣a）；④函數(shù)f（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)．

其中真命題的個(gè)數(shù)為（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)參考答案：C【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】由f（x）=x3﹣2x2﹣4x﹣7，知f′（x）=3x2﹣4x﹣4，令f′（x）=3x2﹣4x﹣4=0，得x=，x2=2，分別求出函數(shù)的極大值和極小值，知①錯(cuò)誤，②④正確；由a＞2，x＞2且x≠a，利用作差法知f（x）﹣f（a）﹣f′（a）（x﹣a）＞0，故③正確；【解答】解：f（x）=x3﹣2x2﹣4x﹣7，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x）=3x2﹣4x﹣4．令f′（x）=0，解得x=﹣，x=2，當(dāng)f′（x）＞0時(shí)，即x＜﹣，或x＞2時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)f′（x）＜0時(shí)，即﹣＜x＜2時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；故當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)有極小值，極小值為f（2）=﹣15，當(dāng)x=﹣時(shí)，函數(shù)有極大值，極大值為f（）＜0，故函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，①錯(cuò)誤，②④正確；∵a＞2，x＞2且x≠a，∴f（x）﹣f（a）﹣f′（a）（x﹣a）=x3﹣2x2﹣4x﹣a3+2a2+4a﹣（3a2﹣4a﹣4）（x﹣a）=x3+2a3﹣2x2﹣2a2﹣3a2x+4ax＞0，∴恒有f（x）＞f（a）+f′（a）（x﹣a），故③正確；所以中真命題的個(gè)數(shù)為3個(gè)，故選：C8.如圖，AB是⊙O的直徑，PB，PE分別切⊙O于B，C.若∠ACE＝40°，則∠P＝(

)A.60°

B.70°C.80°

D.90°參考答案：C9.已知向量，向量垂直，則實(shí)數(shù)的值為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D10.離心率為黃金比的橢圓稱為“優(yōu)美橢圓”.設(shè)是優(yōu)美橢圓，F(xiàn)、A分別是它的左焦點(diǎn)和右頂點(diǎn)，B是它的短軸的一個(gè)頂點(diǎn)，則等于（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，且滿足，則xy的最大值為

.參考答案：3

12.已知集合，則

_______．參考答案：13.設(shè)函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x），且f（x）=x2+2xf′（1），則f′（2）=．參考答案：0【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算；函數(shù)的值．【分析】先對(duì)f（x）=x2+2xf′（1）兩邊求導(dǎo)，然后代入x=1得f′（1），從而得到f′（x），進(jìn)而求得答案．【解答】解：∵f（x）=x2+2xf′（1），∴f′（x）=2x+2f′（1），令x=1，得f′（1）=2+2f′（1），解得f′（1）=﹣2，則f′（x）=2x﹣4，所以f′（2）=2×2﹣4=0，故答案為：0【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，考查學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力，屬基礎(chǔ)題．14.若函數(shù)f（x）=x3﹣x在（a，10﹣a2）上有最小值，則a的取值范圍為

．參考答案：[﹣2，1）【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】由題意求導(dǎo)f′（x）=x2﹣1=（x﹣1）（x+1）；從而得到函數(shù)的單調(diào)性，從而可得﹣2≤a＜1＜10﹣a2；從而解得．【解答】解：∵f（x）=x3﹣x，∴f′（x）=x2﹣1=（x﹣1）（x+1）；故f（x）=x3﹣x在（﹣∞，﹣1）上是增函數(shù)，在（﹣1，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)；f（x）=x3﹣x=f（1）=﹣；故x=1或x=﹣2；故﹣2≤a＜1＜10﹣a2；解得，﹣2≤a＜1故答案為：[﹣2，1）．15.某少數(shù)民族刺繡有著悠久歷史，下圖中的（1）（2）（3）（4）為她們刺繡最簡(jiǎn)單的四個(gè)圖案，這些圖案都是由小正方形構(gòu)成的，小正方形越多刺繡越漂亮，現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡（小正方形的擺放規(guī)律相同），設(shè)第n個(gè)圖形包含f（n）個(gè)小正方形，則f（5）=，f（n）=．參考答案：41,2n2﹣2n+1.【考點(diǎn)】F1：歸納推理．【分析】先分別觀察給出正方體的個(gè)數(shù)為：1，1+4，1+4+8，…總結(jié)一般性的規(guī)律，將一般性的數(shù)列轉(zhuǎn)化為特殊的數(shù)列再求解．【解答】解：根據(jù)前面四個(gè)發(fā)現(xiàn)規(guī)律：f（2）﹣f（1）=4×1，f（3）﹣f（2）=4×2，f（4）﹣f（3）=4×3，…f（n）﹣f（n﹣1）=4（n﹣1）這n﹣1個(gè)式子相加可得：f（n）=2n2﹣2n+1．當(dāng)n=5時(shí)，f（5）=41．故答案為：41；2n2﹣2n+1．16.已知等比數(shù)列中，，在與兩項(xiàng)之間依次插入個(gè)正整數(shù)，得到數(shù)列，即．則數(shù)列的前2013項(xiàng)之和

▲

(用數(shù)字作答)．參考答案：2007050

在數(shù)列中，到項(xiàng)共有項(xiàng)，即為．

則．

設(shè)等比數(shù)的公比為，由，，得，解得，因此故答案為2007050．

17.如圖，曲邊梯形由直線、、軸及曲線圍成，則它的面積是____________.（注：為自然對(duì)數(shù)的底）xyOABCD參考答案：2略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)（1）若函數(shù)在上減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的最小值；（2）若存在，使成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.參考答案：解：因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，故在上恒成立，又，故當(dāng)，即時(shí)，，所以，于是，故的最小值為.（2）命題“若，使成立”等價(jià)于“當(dāng)時(shí)，有”由（1），當(dāng)時(shí)，，所以.問(wèn)題等價(jià)于：“當(dāng)時(shí)，有”①當(dāng)時(shí)，由（1），在上是減函數(shù)，則，故②當(dāng)時(shí)，由于在上為增函數(shù)，于是的值域?yàn)?，?.若，即，，在上恒成立，故在上為增函數(shù)，于是，不合題意；.若，即，由的單調(diào)性和值域知，存在唯一，使，且滿足當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，所以，所以，與矛盾，不合題意；綜上：的取值范圍為.

19.如圖，在三棱錐P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠BAC=60°，E，F(xiàn)分別是AP，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D在棱AB上，且AD=AC．求證：（1）EF∥平面PBC；（2）平面DEF⊥平面PAC．參考答案：【考點(diǎn)】平面與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定．【分析】（1）利用三角形中位線定理推導(dǎo)出EF∥PC，由此能證明EF∥平面PBC．（2）由已知條件推導(dǎo)出△ACD為正三角形，DF⊥AC，從而得到DF⊥平面PAC，由此能證明平面DEF⊥平面PAC．【解答】證明：（1）在△PAC中，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AP，AC的中點(diǎn)，所以EF∥PC．…又因?yàn)镋F?平面PBC，PC?平面PBC，所以EF∥平面PBC．…（2）連結(jié)CD．因?yàn)椤螧AC=60°，AD=AC，所以△ACD為正三角形．因?yàn)镕是AC的中點(diǎn)，所以DF⊥AC．…因?yàn)槠矫鍼AC⊥平面ABC，DF?平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，所以DF⊥平面PAC．…因?yàn)镈F?平面DEF，所以平面DEF⊥平面PAC．…20.（本題滿分12分）如圖,四面體ABCD中,O、E分別是BD、BC的中點(diǎn),CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=.（1）求證:平面BCD;（2）求異面直線AB與CD所成角的余弦值;（3）求點(diǎn)E到平面ACD的距離.參考答案：(Ⅰ).證明:連結(jié)OC.

同理.在中,由已知可得

即

∴平面

…………………4分(Ⅱ)解:以O(shè)為原點(diǎn),如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則,

∴異面直線AB與CD所成角余弦的大小為

…………………8分

(Ⅲ)設(shè)E到平面ACD的距離為h,由E是BC的中點(diǎn)得B到平面ACD的距離為2h

又經(jīng)計(jì)算得:

E到平面ACD的距離為

…………………12分

21.設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn).（1）.若是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最大值和最小值;w.w（2）.設(shè)過(guò)定點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且∠為銳角（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的斜率的取值范圍.

參考答案：解析：（Ⅰ）的最大值為4；最小值為1。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

（Ⅱ）顯然直線不滿足題設(shè)條件，可設(shè)直線，聯(lián)立，消去，整理得：∴由得：或

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m