2022-2023學(xué)年天津鈴鐺閣中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.表面積為40π的球面上有四點(diǎn)S、A、B、C且△SAB是等邊三角形，球心O到平面SAB的距離為，若平面SAB⊥平面ABC，則三棱錐S﹣ABC體積的最大值為（）A．2 B． C．6 D．參考答案：C【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．【專題】數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；立體幾何．【分析】作出直觀圖，根據(jù)球和等邊三角形的性質(zhì)計(jì)算△SAB的面積和棱錐的最大高度，代入體積公式計(jì)算．【解答】解：過O作OF⊥平面SAB，則F為△SAB的中心，過F作FE⊥SA于E點(diǎn)，則E為SA中點(diǎn)，取AB中點(diǎn)D，連結(jié)SD，則∠ASD=30°，設(shè)球O半徑為r，則4πr2=40π，解得r=．連結(jié)OS，則OS=r=，OF=，∴SF==2．∴DF=EF=，SE==．∴SA=2SE=2，S△SAB=SA2=6．過O作OM⊥平面ABC，則當(dāng)C，M，D三點(diǎn)共線時(shí)，C到平面SAB的距離最大，即三棱錐S﹣ABC體積最大．連結(jié)OC，∵平面SAB⊥平面ABC，∴四邊形OMDF是矩形，∴MD=OF=，OM=DF=．∴CM==2．∴CD=CM+DM=3．∴三棱錐S﹣ABC體積V=S△SAB?CD==6．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了棱錐的體積計(jì)算，空間幾何體的作圖能力，準(zhǔn)確畫出直觀圖找到棱錐的最大高度是解題關(guān)鍵．2.已知，，則“”是“”的（）

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A略3.等差數(shù)列{an}、{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn、Tn，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)是()A．3

B．

4

C．5

D．6參考答案：C4.設(shè),其中e≈2.71828，則D的最小值為(

)A. B. C. D.參考答案：C分析：由表示兩點(diǎn)與點(diǎn)的距離，而點(diǎn)在拋物線上，拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為，則表示與的距離和與準(zhǔn)線的距離的和加上1，由拋物線的定義可得表示與的距離和加上1，畫出圖象，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，可求得最小值.詳解：由題意，，由表示兩點(diǎn)與點(diǎn)的距離，而點(diǎn)在拋物線上，拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為，則表示與的距離和與準(zhǔn)線的距離的和加上1，由拋物線的定義可得表示與的距離和加上1，由圖象可知三點(diǎn)共線時(shí)，且為曲線的垂線，此時(shí)取得最小值，即為切點(diǎn)，設(shè)，由，可得，設(shè)，則遞增，且，可得切點(diǎn)，即有，則的最小值為，故選C.點(diǎn)睛：本題考查直線與拋物線的綜合應(yīng)用問題，解答中注意運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式和拋物線的定義，以及三點(diǎn)共線等知識(shí)綜合運(yùn)用，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想，以及推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.5.函數(shù)f（x）＝的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A.0

B.1

C.2

D.3參考答案：B6.已知非零向量、，“函數(shù)為偶函數(shù)”是“”的----------（

）（A）充分非必要條件 （B）必要非充分條件（C）充要條件

（D）既非充分也非必要條件參考答案：C【測(cè)量目標(biāo)】邏輯思維能力/能從數(shù)學(xué)的角度有條理地思考問題.【知識(shí)內(nèi)容】函數(shù)與分析/函數(shù)及其基本性質(zhì)/函數(shù)的基本性質(zhì)；圖形與幾何/平面向量的坐標(biāo)表示/向量平行與垂直的坐標(biāo)關(guān)系；方程與代數(shù)/集合與命題/充分條件，必要條件，充分必要條件.【試題分析】函數(shù)，若函數(shù)為偶函數(shù)，則，所以，，充分性成立；反之由可得函數(shù)是偶函數(shù)，必要性也成立，所以“函數(shù)為偶函數(shù)”是“”的充要條件，故答案為C.7.在關(guān)于X的方程，中，已知至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A.-4≤a≤4 B.a≥9或a≤7 C.a≤-2或a≥4 D.-2<a<4參考答案：C8.設(shè)F1、F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，，若直線x＝上存在點(diǎn)P，使線段PF1的中垂線過點(diǎn)F2，則橢圓離心率的取值范圍是（

）

參考答案：D略9.如圖，地在地的正東方向處，地在地的北偏東30°方向處，河流的沒岸（曲線）上任意一點(diǎn)到的距離比到的距離遠(yuǎn)現(xiàn)要在曲線上選一處建一座碼頭，向、C兩地轉(zhuǎn)運(yùn)貨物.經(jīng)測(cè)算，從到、到修建公路的費(fèi)用分別是萬元/km、萬元/km，那么修建這兩條公路的總費(fèi)用最低是（

） A．(2－2)a萬

B．5a萬元 C．(2+1)a萬元 D.(2+3)a萬元【知識(shí)點(diǎn)】雙曲線的幾何性質(zhì)

H6參考答案：Ｂ解析：依題意知曲線是以、為焦點(diǎn)、實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線的一支（以為焦點(diǎn)），此雙曲線的離心率為2，以直線為軸、的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則該雙曲線的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則修建這條公路的總費(fèi)用設(shè)點(diǎn)、在右準(zhǔn)線上射影分別為點(diǎn)，根據(jù)雙曲線的定義有，所以，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)取等號(hào)，故的最小值是.故選擇Ｂ.【思路點(diǎn)撥】依題意知曲線是雙曲線的方程為的一支，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則修建這條公路的總費(fèi)用根據(jù)雙曲線的定義有，所以.10.從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取得2個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（

）A．至少有1個(gè)黑球與都是黑球

B．至少有1個(gè)紅球與都是黑球C．至少有1個(gè)黑球與至少有1個(gè)紅球

D．恰有1個(gè)黑球與恰有2個(gè)黑球

參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.直線與圓x2+y2﹣2x﹣2=0相切，則實(shí)數(shù)m=．參考答案：或【考點(diǎn)】圓的切線方程．【專題】計(jì)算題；直線與圓．【分析】求出圓x2+y2﹣2x﹣2=0的圓心為C（1，0）、半徑r=，根據(jù)直線與圓相切可得圓心到直線的距離等于半徑，利用點(diǎn)到直線的距離公式列式，解之即可得到實(shí)數(shù)m的值．【解答】解：∵將圓x2+y2﹣2x﹣2=0化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得（x﹣1）2+y2=3，∴圓x2+y2﹣2x﹣2=0的圓心為C（1，0），半徑r=．∵直線與圓x2+y2﹣2x﹣2=0相切，∴點(diǎn)C到直線的距離等于半徑，即=，解之得m=或．故答案為：或【點(diǎn)評(píng)】本題給出含有參數(shù)m的直線與已知圓相切，求參數(shù)m之值．著重考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、點(diǎn)到直線的距離公式和直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．12.若雙曲線的漸近線方程為，它的一個(gè)焦點(diǎn)是，則雙曲線的方程是__________.參考答案：13.已知實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組，則的最大值是

.參考答案：12作出不等式組表示的平面區(qū)域如陰影部分，分析知，當(dāng)時(shí)，平移直線，由圖可得直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，取得最大值，且，故答案為.

14.直線l與橢圓C:+y2=1相交于A，B兩點(diǎn)，l與x軸、y軸分別相交于C，D兩點(diǎn).如果C，D是線段AB的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則直線l的斜率為_____________.參考答案：提示：由題意，設(shè)直線的方程為，，，則，，由方程組得，所以，由韋達(dá)定理，得,.由是線段的兩個(gè)三等分點(diǎn)，得線段的中點(diǎn)與線段的中點(diǎn)重合.所以，解得.

15.已知數(shù)列{an}，{bn}，若b1=0，an=，當(dāng)n≥2時(shí)，有bn=bn﹣1+an﹣1，則b2017=．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式．【分析】由已知可得an==，結(jié)合bn=bn﹣1+an﹣1，利用累加法求得b2017．【解答】解：∵an==，且bn=bn﹣1+an﹣1，∴bn﹣bn﹣1=an﹣1（n≥2），則，，…．∴，又b1=0，∴b2017=．故答案為：．16.已知圓C過點(diǎn)（1,0），且圓心在x軸的正半軸上，直線l：被該圓所截得的弦長(zhǎng)為，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

.參考答案：17.已知f(n)＝1+(n∈N*)，經(jīng)計(jì)算得f(4)＞2,f(8)＞,f(16)＞3,f(32)＞,……，觀察上述結(jié)果，則可歸納出一般結(jié)論為

。

參考答案：

略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題12分，(I)小問6分，(II)小問6分）已知函數(shù)(I)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(Ⅱ)若函數(shù)的圖象過點(diǎn)(1，1)且極小值點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．參考答案：(1)

則或的單增區(qū)間是單減區(qū)間是由題知有兩不等實(shí)根且大根在區(qū)間(1，2)內(nèi)又對(duì)稱轉(zhuǎn)

即

略19.已知函數(shù)f（x）=x|x﹣a|﹣lnx（1）若a=1，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]的最大值；（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（3）若f（x）＞0恒成立，求a的取值范圍參考答案：解：（1）若a=1，則f（x）=x|x﹣1|﹣lnx．當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，f（x）=x2﹣x﹣lnx，，所以f（x）在[1，e]上單調(diào)增，∴．（2）由于f（x）=x|x﹣a|﹣lnx，x∈（0，+∞）．（ⅰ）當(dāng)a≤0時(shí)，則f（x）=x2﹣ax﹣lnx，，令f′（x）=0，得（負(fù)根舍去），且當(dāng)x∈（0，x0）時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x∈（x0，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，所以f（x）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（ⅱ）當(dāng)a＞0時(shí)，①當(dāng)x≥a時(shí)，，令f′（x）=0，得（舍），若，即a≥1，則f′（x）≥0，所以f（x）在（a，+∞）上單調(diào)增；若，即0＜a＜1，則當(dāng)x∈（0，x1）時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x∈（x1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，所以f（x）在區(qū)間上是單調(diào)減，在上單調(diào)增．②當(dāng)0＜x＜a時(shí)，，令f′（x）=0，得﹣2x2+ax﹣1=0，記△=a2﹣8，若△=a2﹣8≤0，即，則f′（x）≤0，故f（x）在（0，a）上單調(diào)減；若△=a2﹣8＞0，即，則由f′（x）=0得，，且0＜x3＜x4＜a，當(dāng)x∈（0，x3）時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x∈（x3，x4）時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x∈（x4，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，所以f（x）在區(qū)間上是單調(diào)減，在上單調(diào)增；在上單調(diào)減．綜上所述，當(dāng)a＜1時(shí)，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，f（x）單調(diào)遞減區(qū)間是（0，a），單調(diào)的遞增區(qū)間是（a，+∞）；當(dāng)時(shí)，f（x）單調(diào)遞減區(qū)間是（0，）和，單調(diào)的遞增區(qū)間是和（a，+∞）．（3）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閤∈（0，+∞）．由f（x）＞0，得．*（ⅰ）當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，|x﹣a|≥0，，不等式*恒成立，所以a∈R；（ⅱ）當(dāng)x=1時(shí)，|1﹣a|≥0，，所以a≠1；

（ⅲ）當(dāng)x＞1時(shí)，不等式*恒成立等價(jià)于恒成立或恒成立．令，則．因?yàn)閤＞1，所以h'（x）＞0，從而h（x）＞1．因?yàn)楹愠闪⒌葍r(jià)于a＜（h（x））min，所以a≤1．令，則．再令e（x）=x2+1﹣lnx，則在x∈（1，+∞）上恒成立，e（x）在x∈（1，+∞）上無最大值．綜上所述，滿足條件的a的取值范圍是（﹣∞，1）．略20.(本小題滿分12分，(I)小問6分，(Ⅱ)小問6分．)如圖，四邊形ABCD、BCFE、CDGF都是邊長(zhǎng)為1的正方形，M為棱AE上任意一點(diǎn)．(I)若M為AE的中點(diǎn)，求證：AE⊥面MBC；(II)若M不為AE的中點(diǎn)，設(shè)二面角B﹣MC﹣A的大小為，直線BE與平面BMC所成的角為，求的值。參考答案：21.已知、滿足約束條件，求的最值。參考答案：①畫出可行域，如圖（1）所示。②將變?yōu)?，令，；③平移直線，顯然當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A（1，1）時(shí)，最大，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)B（0，－1）時(shí)，最小，如圖（2）；④當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，。22.

定義在R上的單調(diào)函數(shù)f(x)滿足f(3)＝log23，且對(duì)任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．

（I）求證：f(x)為奇函數(shù)；（II）若f(k·3x)＋f(3x－9x－2)<0對(duì)任意x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．參考答案：(1)證明：由f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，令x＝y(tǒng)＝0，得f(0)＝0.令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)，又f(0)＝0，則有f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)對(duì)任意x∈R成立，所以f(x)是奇函數(shù)．(2)f(3)＝log23>0，即f(3)>f(0)，又f(x)是R上的單調(diào)函數(shù)，所以f(x)在R上是增函數(shù)．又由(1)知f(x)是奇函數(shù)．f(k·3x)＋f(3x－9x－2)<0?f(k·3x)<f(9x－3x＋2)?k·3x<9x－3x＋2，