方向?qū)?shù)、偏導(dǎo)數(shù)、連續(xù)性關(guān)系曲面被平面

z

=

c

所截得,z

=

f

(

x,

y)z

=

c如圖等值線在幾何上z

=f

(x,y)表示一個(gè)曲面所得曲線在xoy面上投影oyxf

(x,

y)

=

c1f

(x,

y)

=

c等值線gradf

(

x,

y)梯度為等高線上的法向量f

(x,

y)

=

c2P'利用隱函數(shù)求導(dǎo)

xyf

'f

'=

-

x

y'

'

則法線方向:

fxi

+

f

y

j等值線定義：f

(x,y)=c

'

'

'

i

+

y j

或

f

y

i

-

f

x

j

是

等

值

線在點(diǎn)（

x,y)處的切線方向切線斜率梯度方向梯度與等高(值)線的關(guān)系：函數(shù)z

=f

(x,y)在點(diǎn)P(x,y)的梯度的方向與點(diǎn)P

的等高線f

(x,y)=c

在這點(diǎn)的法線的方向相同.而梯度的模等于函數(shù)在這個(gè)法線方向的方向?qū)?shù)．此時(shí)

f(x

,

y

)

沿該法線方向的方向?qū)?shù)為f

yyx+

fnf

2

+

f

2x

yf

2

+

f

2x

y?f

=

f

fx?=

gradf

>

0故應(yīng)從數(shù)值較低的等高線指向數(shù)值較高的等高線.?x

?y

?zgradf

(

x,

y,

z)

=

?f

+

?f

+

?f

i

j

k.類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個(gè)向量，其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模為方向?qū)?shù)的最大值.梯度的概念可以推廣到三元函數(shù)三元函數(shù)u

=f

(x,y,z)在空間區(qū)域G

內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對于每一點(diǎn)P(x,y,z)?

G，都可定義一個(gè)向量(梯度)梯度的基本運(yùn)算公式(2)

grad(cu)

=

c

grad

u(4)

grad(uv

)

=

u

grad

v

+

v

grad

u或或

(cu)

=

c

u(uv

)

=

u v

+

v

u例5求函數(shù)u

=x2

+2

y2

+3z2

+3

x

-2

y

在點(diǎn)(1,1,2)處的梯度，并問在哪些點(diǎn)處梯度為零？解由梯度計(jì)算公式得gradu(

x,

y,

z)

=

?u

+

?u

+

?u

i

j

k?x

?y

?z=

(2

x

+

3)i

+

(4

y

-

2)

j

+

6zk

,

故

gradu(1,1,2)

=

5i

+

2

j

+12k.在,0)處梯度為,2

2P

(-

3

100.例6：函數(shù)z=x2

-xy

+y2在(-1,1)沿哪個(gè)方向z的方向?qū)?shù)最大？方向?qū)?shù)最大值是多少？沿哪個(gè)方向z減小得最快？沿哪個(gè)方向z的變化率為零？解：grad

z

={?z

,?z

}?x

?y=|

grad

z(-1,1)

|=

3

2grad

z(-1,1)

=

{-3,

3}沿梯度方向{-3,3}，z的方向?qū)?shù)最大，?z?l

最大沿負(fù)梯度方向{3,

-3}，z減小得最快，=

?z

cosa

+

?z

cos

b?l

?x

?y若l的方向角為a，b，?z=

{2

x

-

y,

2

y

-

x}例：函數(shù)z=x2

-xy

+y2在(-1,1)沿哪個(gè)方向z的方向?qū)?shù)最大？方向?qū)?shù)最大值是多少？沿哪個(gè)方向z減小得最快？沿哪個(gè)方向z的變化率為零？解：?l?z

=

0當(dāng)cosa

=cos

b時(shí)，而a，b分別為l與x軸正向和y軸正向夾角，?z

=

04

4

?l當(dāng)a

=b

=p

時(shí)或a

=b

=5p

時(shí)，即沿(2

2

2

22

)和(-2

,-2

),z的變化率為零2

,?y

(-1,1)cosa

+

?z

cos

b

==-3

cosa

+

3

cos

b?l

(-1,1)

?x

(-1,1)?z

=

?z事實(shí)上,沿與梯度垂直的方向函數(shù)變化率為零.1、方向?qū)?shù)的概念（注意方向?qū)?shù)與一般所說偏導(dǎo)數(shù)的區(qū)別）2、梯度的概念（注意梯度是一個(gè)向量）四、小結(jié)?l?

f

=

grad

f

el梯度在方向l

上的投影.方向:

f

變化率最大的方向模:

f

的最大變化率之值梯度的特點(diǎn)3、方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系一、空間曲線的切線與法平面二、曲面的切平面與法線三、一元向量值函數(shù)第七節(jié)微分學(xué)在幾何上的應(yīng)用第七章設(shè)空間曲線的方程(1)

z

=

w

(t

)

y

=

y

(t

)

x

=

f(t

)zo

yx(1)式中的三個(gè)函數(shù)均可導(dǎo).設(shè)M

(x0

,y0

,z0

),對應(yīng)于t

=t0

;M

(

x0

+

Dx,

y0

+

Dy,

z0

+

Dz)對應(yīng)于t

=t0

+Dt.一、空間曲線的切線與法平面MM割線

MM

的方程為x

-

x0

=

y

-

y0

=

z

-

z0Dx

Dy

Dzzo

yxMM考察割線趨近于極限位置——切線的過程上式分母同除以Dt

,x

-

x0

=

y

-

y0

=

z

-

z0

,DxDtDyDtDzDt當(dāng)M

fi

M

,即Dt

fi

0時(shí)

,曲線在M處的切線方程x

-

x0

=

y

-

y0

=

z

-

z0

.f￠(t0

)

y

￠(t0

)

w

￠(t0

)切向量：切線的方向向量稱為曲線的切向量.0

0

0T

=

{f

(t

),y

(t

),w

(t

)}法平面：過M點(diǎn)且與切線垂直的平面.f

(t0

)(

x

-

x0

)

+y

(t0

)(

y

-

y0

)

+

w

(t0

)(z

-

z0

)

=

0例1

求曲線G

:

x

=tue

cos

udu，

y

=

2sin

t0+cos

t

,z

=1

+e3t

在t

=0處的切線和法平面方程.解

當(dāng)t

=

0時(shí)，

x

=

0,

y

=

1,

z

=

2,x

=

et

cos

t,

y

=

2cos

t

-

sin

t,

z

=

3e3t

,

x

(0)

=

1,y

(0)

=

2,

z

(0)

=

3,切線方程x

-

0

=

y

-

1

=

z

-

2

,1

2

3x

+

2(

y

-

1)

+

3(z

-

2)

=

0,即x

+2

y

+3z

-8

=0.法平面方程1.空間曲線方程為

y

=

f(

x

),

z

=

y

(

x

)在M

(x0

,y0

,z0

)處,,1

f￠(

x0

)

y

￠(

x0

)x

-

x0

=

y

-

y0

=

z

-

z0法平面方程為(

x

-

x0

)

+

f

(

x0

)(

y

-

y0

)

+y

(

x0

)(z

-

z0

)

=

0.切線方程為特殊地：2.空間曲線方程為G(

x,

y,

z)

=

0F

(

x,

y,

z)

=

0,切線方程為,Gy

Gz

Gz

Gx

Gx

Gy0

0

0z

-

z0Fy

Fz

Fz

Fx

Fx

Fy==x

-

x0

y

-

y0法平面方程為=

0.0(z

-

z

)0(

y

-

y

)

+0(

x

-

x

)

+G

Gy

0G

Gx

0G

Gy z

0Fy

FzxF

FyxzF

Fxz例2求曲線x

2

+

y2

+

z

2

=

6，

x

+

y

+

z

=

0在dx

dx

dy

dzdx

dx+ =

-1

y

dy

+

z

dz

=

-

x點(diǎn)(1,-2,

1)處的切線及法平面方程.解

1

直接利用公式;解

2

將所給方程的兩邊對x

求導(dǎo)并移項(xiàng)，得dy

=

z

-

x

,,dx y

-

zdx y

-

zdz x

-

y=由此得切向量T

=

{1,

0,-1},所求切線方程為x

-

1

=

y

+

2

=

z

-

1,1

0

-

1法平面方程為

(

x

-

1)

+

0 (

y

+

2)

-

(z

-

1)

=

0,

x

-

z

=

0=

0,dx

(1,-2,

1)dy=

-1,dx

(1,-2,

1)dz設(shè)曲面方程為F

(

x,

y,

z)

=

0在曲面上任取一條通過點(diǎn)M的曲線

x

=

f(t

)T

=

{f

(t0

),

y

(t0

),

w

(t0

)},曲線在M處的切向量z

=

w

(t

)G

:

y

=

y

(t

),二、曲面的切平面與法線nTM令n

={Fx

(x0

,y0

,z0

),Fy

(x0

,y0

,z0

),Fz

(x0

,y0

,z0

)}則n^T

,由于曲線是曲面上通過M

的任意一條曲線，它們在M

的切線都與同一向量n

垂直，故曲面上通過M

的一切曲線在點(diǎn)M

的切線都在同一平面上，這個(gè)平面稱為曲面在點(diǎn)M

的切平面.切平面方程為Fx

(

x0

,

y0

,

z0

)(

x

-

x0

)

+

Fy

(

x0

,

y0

,

z0

)(

y

-

y0

)+

Fz

(

x0

,

y0

,

z0

)(z

-

z0

)

=

0通過點(diǎn)M

(x0

,y0

,z0

)而垂直于切平面的直線稱為曲面在該點(diǎn)的法線.法線方程為Fx

(

x0

,

y0

,

z0

)

Fy

(

x0

,

y0

,

z0

)

Fz

(

x0

,

y0

,

z0

)z

-

z0=

=x

-

x0

y

-

y0垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量.曲面在M處的法向量即n

=

{Fx

(

x0

,

y0

,

z0

),

Fy

(

x0

,

y0

,

z0

),

Fz

(

x0

,

y0

,

z0

)}特殊地：空間曲面方程形為z

=f

(x,y)曲面在M處的切平面方程為fx

(

x0

,

y0

)(

x

-

x0

)

+

f

y

(

x0

,

y0

)(

y

-

y0

)

=

z

-

z0

,曲面在M處的法線方程為=

z

-

z0

.=x

-

x0

y

-

y0fx

(

x0

,

y0

)

f

y

(

x0

,

y0

)

-

1F

(

x,

y,

z)

=

f

(

x,

y)

-

z,令f

x

(

x0

,

y0

)(

x

-

x0

)

+

f

y

(

x0

,

y0

)(

y

-

y0

)z

-

z0

=切平面上點(diǎn)的豎坐標(biāo)的增量函數(shù)z

=f

(x,y)在點(diǎn)(x0

,y0

)的全微分全微分的幾何意義因?yàn)榍嬖贛處的切平面方程為z

=f

(x,y)在(x0

,y0

)的全微分，表示0

0

0曲面

z

=

f

(

x,

y)

在點(diǎn)(

x

,

y

,

z

)

處的切平面上的點(diǎn)的豎坐標(biāo)的增量.全微分的幾何意義xzOz

=

f

(

x,

y)(

x0

,

y0

)z0

=

f

(

x0

,

y0

)Dzdz平面z

=z0切平面曲面z

=

f

(

x,

y)(

x0

,

y0

)x0(

x0

+

Dx,

y0

+

Dy)x0

+

Dxyy0

+

Dyy0z0若a

、b

、g表示曲面的法向量的方向角，并假定法向量的方向是向上的，即使得它與z軸的正向所成的角g

是銳角，則法向量的方向余弦為,1

+

f

2

+

f

2x

ycosa

=-

fx,cos

b

=-

f

y.1

+

f

2

+

f

2x

y1cosg

=2y2x+

f1

+

f其中f

x

=

f

x

(

x0

,

y0

)f

y

=

f

y

(

x0

,

y0

)例3求旋轉(zhuǎn)拋物面z

=x

2

+y2

-1在點(diǎn)(2,1,4)處的切平面及法線方程.解F(x,y,z)=x2

+y2

-z

-1,n

(

2,1,4)

=

{2

x,

2

y,-

1}(

2,1,4)=

{4,

2,-1},切平面方程為法線方程為4(

x

-

2)

+

2(

y

-

1)

-

(z

-

4)

=

0,

4

x

+

2

y

-

z

-

6

=

0,x

-

2

=

y

-

1

=

z

-

4

.4

2

-

1例

4

求曲面z

-

ez

+

2

xy

=

3

在點(diǎn)(1,2,0)處的切平面及法線方程.解令F

(x,y,z)=z

-ez

+2

xy

-3,Fx

(1,2,0)

=

2

y

(1,2,0)

=

4,Fy

=

2

x

(1,2,0)

=

2,(1,2,0)=

0,F

=

1

-

ezz

(1,2,0)(1,2,0)切平面方程法線方程4(

x

-

1)

+

2(

y

-

2)

+

0

(z

-

0)

=

0,

2

x

+

y

-

4

=

0,x

-

1

=

y

-

2

=

z

-

0

.2

1

0例

5

求曲面

x2

+

2

y2

+

3z2

=

21

平行于平面x

+4

y

+6z

=0的各切平面方程.解設(shè)(x0

,y0

,z0

)為曲面上的切點(diǎn),切平面方程為2

x0

(

x

-

x0

)

+

4

y0

(

y

-

y0

)

+

6z0

(z

-

z0

)

=

0依題意，切平面方程平行于已知平面，得61

40

002

x

4

y

6z=

=

,000

2

x

=

y

=

z

.因?yàn)?x0

,y0

,z0

)是曲面上的切點(diǎn)，x0

=

–1,(1,2,2), (-1,-2,-2),滿足方程\所求切點(diǎn)為切平面方程(1)2(

x

-

1)

+

8(

y

-

2)

+

12(z

-

2)

=

0x

+

4

y

+

6z

=

21切平面方程(2)-

2(

x

+

1)

-

8(

y

+

2)

-

12(z

+

2)

=

0

x

+

4

y

+

6z

=

-21思考題如果平面3

x

+ly

-3z

+16

=0與橢球面3

x

2

+y

2

+z

2

=16相切，求l

.思考題解答n

=

{6

x0

,

2

y0

,

2z0

},{3,

l,-3}設(shè)切點(diǎn)(x0

,y0

,z0

),依題意知切向量為6

x0

=

2

y0

=

2z0

y0

=

lx0

,3

l

-

3切點(diǎn)滿足曲面和平面方程z0

=

-3

x0

,,20+

9

x

-

16

=

02

20203

x3

x0

+

l

x

+

9

x

+

16

=

020

0+

l

x

l

=

–2.三、一元向量值函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)引例:已知空間曲線G

的參數(shù)方程:

y

=y

(t)

t

?

[a

,

b]

z

=

w

(t)

x

=

j(t)f

(t)

=

(j

(t),y

(t),w

(t))記r

=(x,y,z),MrGxzyOG

的向量方程

r

=

f

(t),

t

?

[a

,

b]此方程確定映射

f

:[a

,

b]

fi

R3

,稱此映射為一元向量值函數(shù).對G

上的動點(diǎn)M,

顯然

r

=

OM，即G

是

r

的終點(diǎn)M的軌跡

,

此軌跡稱為向量值函數(shù)的終端曲線

.要用向量值函數(shù)研究曲線的連續(xù)性和光滑性，就需要引進(jìn)向量值函數(shù)的極限、連續(xù)和導(dǎo)數(shù)的概念.定義:

給定數(shù)集

D

R

,

稱映射f

:

D

fi

Rn

為一元向量值函數(shù)（簡稱向量值函數(shù)）,記為r

=

f

(t),

t

?

D定義域tfi

t0導(dǎo)數(shù)：f

(t)

=

(

f1

(t),

f2

(t),

f3

(t))Δ

t000f

￠(t

)

=

lim

f

(ttfi

t0+

Dt)

-

f

(t

)因變量

自變量向量值函數(shù)的極限、連續(xù)和導(dǎo)數(shù)都與各分量的極限、連續(xù)和導(dǎo)數(shù)密切相關(guān),因此下面僅以n

=3

的情形為代表進(jìn)行討論.設(shè)

f

(t)

=

(

f2

(t),

f1(t),

f3

(t)),

t

?

D,

則極限：lim

f

(t)=(lim

f1(t),lim

f2

(t),lim

f3

(t))tfi

t0

tfi

t0

tfi

t0

tfi

t0連續(xù)：lim

f

(t)=f

(t0

)d

t(3)

d

[u(t)

–

v(t)]

=

u￠(t)

–

v￠(t)d

t(4)

d

[j(t)u(t)]

=

j￠(t)u(t)

+j(t)u￠(t)d

t(5)

d

[u(t)

v(t)]

=

u￠(t)

v(t)

+

u(t)

v￠(t)d

t(6)

d

[u(t)·v(t)]

=

u￠(t)

·v(t)

+

u(t)·v￠(t)向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則:設(shè)u,v

是可導(dǎo)向量值函數(shù),C

是常向量,c

是任一常數(shù),j(t)是可導(dǎo)函數(shù),則(1)

d

C

=

O