專題六數(shù)學(xué)思想方法要點梳理

數(shù)學(xué)思想方法是指對數(shù)學(xué)知識和方法形成的規(guī)律性的理性認識，是解決數(shù)學(xué)問題的根本策略．?dāng)?shù)學(xué)思想方法揭示概念、原理、規(guī)律的本質(zhì)，是溝通基礎(chǔ)知識與能力的橋梁，是數(shù)學(xué)知識的重要組成部分．?dāng)?shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識在更高層次上的抽象和概括，它蘊含于數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程中．要點梳理

抓住數(shù)學(xué)思想方法，善于迅速調(diào)用數(shù)學(xué)思想方法，更是提高解題能力根本之所在．因此，在復(fù)習(xí)時要注意體會教材例題、習(xí)題以及中考試題中所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想和方法，培養(yǎng)用數(shù)學(xué)思想方法解決問題的意識．要點梳理

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的精髓，是讀書由厚到薄的升華，在復(fù)習(xí)中一定要注重培養(yǎng)在解題中提煉數(shù)學(xué)思想的習(xí)慣，中考常用到的數(shù)學(xué)思想方法有：整體思想、轉(zhuǎn)化思想、方程與函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想等．在中考復(fù)習(xí)備考階段，教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生系統(tǒng)總結(jié)這些數(shù)學(xué)思想與方法，掌握了它的實質(zhì)，就可以把所學(xué)的知識融會貫通，解題時可以舉一反三．解題方法(1)整體思想：整體是與局部對應(yīng)的，按常規(guī)不容易求某一個(或多個)未知量時，可打破常規(guī)，根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)特征，把一組數(shù)或一個代數(shù)式看作一個整體，從而使問題得到解決．(2)轉(zhuǎn)化思想：在研究數(shù)學(xué)問題時，我們通常是將未知問題轉(zhuǎn)化為已知的問題，將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，將抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的問題，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．(3)分類討論思想：體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法．分類的原則：①分類中的每一部分是相互獨立的；②一次分類按一個標準；③分類討論應(yīng)逐級進行．正確的分類必須是周全的，既不重復(fù)，也不遺漏．(4)方程思想：用方程思想解題的關(guān)鍵是利用已知條件或公式、定理中的已知結(jié)論構(gòu)造方程(組)．這種思想在代數(shù)、幾何及生活實際中有著廣泛的應(yīng)用．(5)函數(shù)思想：用運動和變化的觀點，集合與對應(yīng)的思想，去分析和研究數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，運用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題，從而使問題獲得解決．運用函數(shù)思想要善于抓住事物在運動過程中那些保持不變的規(guī)律和性質(zhì)．(6)數(shù)形結(jié)合思想：從幾何直觀的角度，利用幾何圖形的性質(zhì)研究數(shù)量關(guān)系，尋求代數(shù)問題的解決方法(以形助數(shù))，或利用數(shù)量關(guān)系來研究幾何圖形的性質(zhì)，解決幾何問題(以數(shù)助形)．?dāng)?shù)形結(jié)合思想使數(shù)量關(guān)系和幾何圖形巧妙地結(jié)合起來，使問題得以解決．1．(2014·淄博)當(dāng)x＝1時，代數(shù)式12ax3－3bx＋4的值是7，則當(dāng)x＝－1時，這個代數(shù)式的值是(

)

A．7

B．3

C．1

D．－7

2．(2014·綏化)分式方程2x－5x－2＝32－x的解是(

)

A．x＝－2

B．x＝2

C．x＝1

D．x＝1或x＝2

CC3．(2014·山西)我們學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)，回顧學(xué)習(xí)過程，都是按照列表、描點、連線得到函數(shù)的圖象，然后根據(jù)函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)，這種研究方法主要體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是(

)A．演繹B．?dāng)?shù)形結(jié)合C．抽象D．公理化B4．(2014·無錫)已知△ABC的三條邊長分別為3，4，6，在△ABC所在平面內(nèi)畫一條直線，將△ABC分割成兩個三角形，使其中的一個是等腰三角形，則這樣的直線最多可畫(

)A．6條B．7條C．8條D．9條B5．(2014·綿陽)如圖，⊙O的半徑為1cm，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，則圖中陰影部分面積為____cm2.(結(jié)果保留π)整體思想【例1】

(2013·吉林)若a－2b＝3，則2a－4b－5＝____．【點評】本題考查了代數(shù)式求值．代數(shù)式中的字母表示的數(shù)沒有明確告知，而是隱含在題設(shè)中，首先應(yīng)從題設(shè)中獲取代數(shù)式(a－2b)的值，然后利用“整體代入法”求代數(shù)式的值．11．(2014·鹽城)已知x(x＋3)＝1，則代數(shù)式2x2＋6x－5的值為____．-3【例2】

(2013·東營)如圖，圓柱形容器中，高為1.2m，底面周長為1m，在容器內(nèi)壁離容器底部0.3m的點B處有一蚊子，此時一只壁虎正好在容器外壁，離容器上沿0.3m與蚊子相對的點A處，則壁虎捕捉蚊子的最短距離為____m．(容器厚度忽略不計)轉(zhuǎn)化思想

1.3【點評】本題利用轉(zhuǎn)化思想把立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題，從而使問題簡單化、直觀化．將圖形展開，利用軸對稱的性質(zhì)和勾股定理進行計算是解題的關(guān)鍵．同時也考查了同學(xué)們的創(chuàng)造性思維能力．2．(2014·棗莊)圖①所示的正方體木塊棱長為6cm，沿其相鄰三個面的對角線(圖中虛線)剪掉一角，得到如圖②的幾何體，一只螞蟻沿著圖②的幾何體表面從頂點A爬行到頂點B的最短距離為

cm.分類討論思想

【例3】

(2013·南平)在矩形ABCD中，點E在BC邊上，過E作EF⊥AC于F，G為線段AE的中點，連接BF，F(xiàn)G，GB.設(shè)ABBC＝k.

(1)證明：△BGF是等腰三角形；(2)當(dāng)k為何值時，△BGF是等邊三角形？(3)我們知道：在一個三角形中，等邊所對的角相等；反過來，等角所對的邊也相等．事實上，在一個三角形中，較大的邊所對的角也較大；反之也成立．利用上述結(jié)論，探究：當(dāng)△BGF分別為銳角、直角、鈍角三角形時，k的取值范圍．【點評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的運用、等腰三角形的判定定理的運用、外角與內(nèi)角的關(guān)系的運用、分類討論思想在實際問題中的運用，解答時靈活運用直角三角形的性質(zhì)及外角與內(nèi)角的關(guān)系是關(guān)鍵．3．(2014·綏化)在一條筆直的公路旁依次有A，B，C三個村莊，甲、乙兩人同時分別從A，B兩村出發(fā)，甲騎摩托車，乙騎電動車沿公路勻速駛向C村，最終到達C村．設(shè)甲、乙兩人到C村的距離y1，y2(km)與行駛時間x(h)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，請回答下列問題：(1)A，C兩村間的距離為

km，a＝

；1202(2)求出圖中點P的坐標，并解釋該點坐標所表示的實際意義；解：(2)設(shè)y1＝k1x＋120，代入(2，0)解得y1＝－60x＋120，y2＝k2x＋90，代入(3，0)解得y2＝－30x＋90，由－60x＋120＝－30x＋90解得x＝1，則y1＝y(tǒng)2＝60，所以P(1，60)表示經(jīng)過1小時甲與乙相遇且距C村60km.(3)乙在行駛過程中，何時距甲10km?方程思想【例4】

(2014·淄博)為鼓勵居民節(jié)約用電，某省試行階段電價收費制，具體執(zhí)行方案如表：

檔次

每戶每月用電數(shù)(度)

執(zhí)行電價(元/度)

第一檔

小于等于200

0.55

第二檔

大于200小于400

0.6

第三檔

大于等于400

0.85

例如：一戶居民7月份用電420度，則需繳電費420×0.85＝357(元)．

某戶居民5，6月份共用電500度，繳電費290.5元．已知該用戶6月份用電量大于5月份，且5，6月份的用電量均小于400度．問該戶居民5，6月份各用電多少度？解：當(dāng)5月份用電量為x度≤200度，6月份用電(500－x)度，由題意，得0.55x＋0.6(500－x)＝290.5，解得：x＝190，∴6月份用電500－x＝310度．當(dāng)5月份用電量為x度＞200度，六月份用電量為(500－x)度，由題意，得0.6x＋0.6(500－x)＝290.5，300＝290.5，原方程無解．∴5月份用電量為190度，6月份用電310度．【點評】本題考查了列一元一次方程解實際問題、方程思想的運用、分類討論思想的運用，另外要注意：總價＝單價×數(shù)量．4．(2013·婁底)2013年3月，某煤礦發(fā)生瓦斯爆炸，該地救援隊立即趕赴現(xiàn)場進行救援，救援隊利用生命探測儀在地面A，B兩個探測點探測到C處有生命跡象．已知A，B兩點相距4米，探測線與地面的夾角分別是30°和45°，試確定生命所在點C的深度．(精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，3≈1.73)

解：如圖，過點C作CD⊥AB于點D，設(shè)CD＝x，在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，則AD＝3CD＝3x，在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，則BD＝CD＝x，由題意得，3x－x＝4，解得：x＝43－1＝2(3＋1)≈5.5.答：生命所在點C的深度為5.5米．

函數(shù)思想【例5】

(2013·河池)華聯(lián)超市欲購進A，B兩種品牌的書包共400個，已知兩種書包的進價和售價如下表所示，設(shè)購進A種書包x個，且所購進的兩種書包能全部賣出，獲得的總利潤為w元．

品牌

進價(元/個)

售元(元/個)

A

47

65

B

37

50

(1)求w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)如果購進兩種書包的總費用不超過18000元，那么該商場如何進貨才能獲得利潤最大？并求出最大利潤．(提示利潤＝售價－進價)解：(1)由題意得：W＝(65－47)x＋(50－37)(400－x)＝2x＋5200.(2)由題意得：47x＋37(400－x)≤18000，解得x≤320.∵W＝2x＋5200，k＝2＞0，W隨x增大而增大，∴當(dāng)x＝320時，W最大＝5840，即A種書包購買320個，B種書包購買80個，才能獲得最大利潤，最大利潤為5840元．【點評】本題考查了由銷售問題的數(shù)量關(guān)系求函數(shù)的解析式的運用、列一元一次不等式解實際問題的運用、一次函數(shù)的性質(zhì)的運用，解答時注意函數(shù)思想的應(yīng)用．5．(2014·沈陽)某種商品每件進價為20元，調(diào)查表明：在某段時間內(nèi)若以每件x元(20≤x≤30，且x為整數(shù))出售，可賣出(30－x)件．若使利潤最大，每件的售價應(yīng)為____元．25數(shù)形結(jié)合思想

【例6】

(2013·玉林)如圖，在直角坐標系中，O是原點，已知A(4，3)，P是坐標軸上的一點，若以O(shè)，A，P三點組成的三角形為等腰三角形，則滿足條件的點P共有____個，寫出其中一個點P的坐標是

．(5，0)8【點評】本題考查了等腰三角形的判定、坐標與圖形的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的思想求解更簡便．6．(2014·孝感)拋物線y＝ax2＋bx＋c的頂點為D(－1，2)，與x軸的一個交點A在點(－3，0)和(－2，0)之間，其部分圖象如圖所示，則以下結(jié)論：①b2－4ac＜0；②a＋b＋c＜0；③c－a＝2；④方程ax2＋bx＋c－2＝0有兩個相等的實數(shù)根．其中正確的個數(shù)有()A．1個B．2個C．3個D．4個C試題求出所有滿足|ab|＋|a＋b|＝1的整數(shù)對(a，b)．錯解根據(jù)絕對值的非負性和a，b均為整數(shù)，討論|ab|＝0且|a＋b|＝1的情況，得到滿足條件的整數(shù)對(a，b)共有(0，1)，(0，－1)，(1，0)，(－1，0)四對．剖析分類討論時漏掉了|ab|＝1且|a＋b|＝0的情況，在研究此類問題的解法時，需認真審題，全面考慮，對可能存在的各種情況進行討論，做到不重、不漏、條理清晰．正解

∵|ab|＋|a＋b|＝1，∴整數(shù)a，b滿足：

①??í?ì|ab|＝0，|a＋b|＝1或②??í?ì|ab|＝1，|a＋b|＝0，解①得??í?ìa＝0，b＝1，??í?ìa＝0，b＝－1，??í?ìa＝1，b＝0，??í?ìa＝－1，b＝0，解②得??í?ìa＝1，b＝－1，??í?ìa＝－1，b＝1.故滿足條件的整數(shù)對(a，b)共有(0，1)，(0，－1)，(1，0)，(－1，0)，

(1，－1)，(－1，1)六對．

專題跟蹤突破六數(shù)學(xué)思想方法一、選擇題(每小題6分，共30分)

1．(2014·湘潭)分式方程5x＋2＝3x的解為(

)

A．1

B．2

C．3

D．4

2．(2014·黔東南州)已知拋物線y＝x2－x－1與x軸的一個交點為(m，0)，則代數(shù)式m2－m＋2014的值為(

)

A．2012

B．2013

C．2014

D．2015

C

D

3．(2013·達州)如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，點D在BC上，以AC為對角線的所有?ADCE中，DE最小的值是(

)A．2B．3C．4D．5B

4．(2013·齊齊哈爾)CD是⊙O的一條弦，作直徑AB，使AB⊥CD，垂足為點E，若AB＝10，CD＝8，則BE的長是(

)A．8B．2C．2或8D．3或7C

5．(2014·濟寧)“如果二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸有兩個公共點，那么一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有兩個不相等的實數(shù)根．”請根據(jù)你對這句話的理解，解決下面問題：若m，n(m＜n)是關(guān)于x的方程1－(x－a)(x－b)＝0的兩根，且a＜b，則a，b，m，n的大小關(guān)系是(

)A．m＜a＜b＜nB．a(chǎn)＜m＜n＜bC．a(chǎn)＜m＜b＜nD．m＜a＜n＜bA

二、填空題(每小題6分，共30分)6．(2013·平?jīng)?如圖，路燈距離地面8米，身高1.6米的小明站在距離燈的底部(點O)20米的A處，則小明的影子AM長為____米．5

7．(2014·廣州)若關(guān)于x的方程x2＋2mx＋m2＋3m－2＝0有兩個實數(shù)根x1，x2，則x1(x2＋x1)＋x22的最小值為____．

8．(2013·廣安)如圖，如果從半徑為5

cm的圓形紙片上剪去15圓周的一個扇形，將留下的扇形圍成一個圓錐(接縫處不重疊)，那么這個圓錐的高是____cm.

3

9．(2013·昆明)在平面直角坐標系xOy中，已知點

A(2，3)，在坐標軸上找一點P，使得△AOP是等腰三角形，則這樣的點P共有____個．

8

10．(2014·棗莊)如圖，將矩形ABCD沿CE向上折疊，使點B落在AD邊上的點F處．若AE＝23BE，則長AD與寬AB的比值是____．

三、解答題(共40分)11．(10分)(2013·齊齊哈爾)甲、乙兩車分別從A，B兩地相向而行，甲車出發(fā)1小時后乙車出發(fā)，并以各自速度勻速行駛，兩車相遇后依然按照原速度原方向各自行駛，如圖所示是甲、乙兩車之間的距離s(千米)與甲車出發(fā)時間t(小時)之間的函數(shù)圖象，其中D點表示甲車到達B地，停止行駛．(1)A，B兩地的距離

千米；乙車速度是

；a表示

；560

100

(2)乙車出發(fā)多長時間后兩車相距330千米？12．(10分)(2014·遂寧)如圖，反比例函數(shù)y＝kx的圖象與一次函數(shù)y＝x＋b的圖象交于點A(1，4)，點B(－4，n)．

(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；

(2)求△OAB的面積；

(3)直接寫出一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值的自變量x的取值范圍．

解：(1)把A點(1，4)分別代入反比例函數(shù)y＝kx，一次函數(shù)

y＝x＋b，得k＝1×4，1＋b＝4，解得k＝4，b＝3，反比例函數(shù)的解析式是y＝4x，一次函數(shù)的解析式是y＝x＋3

(2)當(dāng)x＝－4時，y＝－1，B(－4，－1)，當(dāng)y＝0時，x＋3＝0，x＝－3，C(－3，0)，S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝

12×3×4＋12×3×1＝152

(3)∵B(－4，－1)，A(1，4)，∴根據(jù)圖象可知：當(dāng)x＞1或

－4＜x＜0時，一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值

13．(10分)(2014·濰坊)如圖，