實驗數學十三標尺刻度的設計1第一頁，共十六頁，編輯于2023年，星期二

由于經常注油和取油，有時很難知道油罐中剩油的數量。這給現有儲油量的統(tǒng)計帶來很大的麻煩。顯然，將剩油取出計量是不現實的。因此，希望能設計一個精細的標尺：工人只需將該尺垂直插入使尺端至油罐的最底部，就可以根據標尺上的油痕位置的刻度獲知剩油量的多少。這是一個來自油田的問題。

2第二頁，共十六頁，編輯于2023年，星期二13.3數學模型設圓柱的底面半徑為R，長度為L；而圓錐的底面半徑也是R，高為A。若標尺被油浸濕位置的高度為H，而此時罐內的油量為V。那么我們的問題歸結為求出函數換言之，要求油量函數的反函數。3第三頁，共十六頁，編輯于2023年，星期二由于對稱性，我們只要研究的情形就行了。13.4問題的解法Ⅰ．求油量函數的解析方法其中和分別為相應圓柱和圓錐（一側部分）中的儲油量。先求。

4第四頁，共十六頁，編輯于2023年，星期二設圓柱體截面中儲油部分對應的弓形區(qū)域面積為S(H)，弓形對應的圓心角的一半為

那么易得利用三角函數表達式，就有5第五頁，共十六頁，編輯于2023年，星期二6第六頁，共十六頁，編輯于2023年，星期二再求

設與圓錐體底面平行且距底面x處的截面上表示儲油部分的弓形區(qū)域面積為Q，那么和前面S不同的是：Q不僅與H有關，而且與x有關。設該弓形的半徑為r高為h，由幾何關系（見圖13.3）不難看出：

從而得到7第七頁，共十六頁，編輯于2023年，星期二于是類似于S的求法，有通過作變換8第八頁，共十六頁，編輯于2023年，星期二

這個積分雖然比較復雜，但還是可以積出來，建議讀者自己進行計算，也可以借助數學軟件。具體結果為從而可知9第九頁，共十六頁，編輯于2023年，星期二綜合（13.4）、（13.6）和（13.11）三式，就有10第十頁，共十六頁，編輯于2023年，星期二Ⅱ．刻度位置函數的求法

顯然，要由油量函數的解析表達式（13.12）來解析地求出反函數H(V)的顯式表示是不可能的。介紹兩種近似方法。1．插值法將區(qū)間[0，R]作如上等分：

那么由式（13.12）可以求得V在各分點的值：現在的問題是：如果給出油量V*，如何確定（求出）相應的標尺刻度位置H*？而這實際上是求方程的根。11第十一頁，共十六頁，編輯于2023年，星期二（1）線性插值

設，在此區(qū)間上用線性函數近似H(V)，則有（2）二次插值先找出最接近的V*的用二次函數近似H(V)，則有，然后在插值方法還有多種，這里介紹的是最簡單的。

12第十二頁，共十六頁，編輯于2023年，星期二2．二分法綜上所述，可以將標尺刻度設計的過程歸納為：步驟一把區(qū)間[0，R]依精度需要分成n等份，得剖分點；其中利用公式（13.12）算出刻度位置處相應的油量。

步驟二根據所需的各油量讀數所在上一步驟中的某一油量區(qū)間，通過插值或二分逼近法獲得相應的刻度位置值。13第十三頁，共十六頁，編輯于2023年，星期二五、數值實例現在我們以（單位：m）為例進行實際計算。（1）求油量函數的值取，由油量表達式（16.12）可得計算結果如表13.1所示。

00.00.00000.00000.000010.10.29360.00230.298220.20.81750.01280.843130.31.47750.03431.546140.42.23650.06822.372950.53.07090.11533.301560.63.96340.17544.314270.74.89960.24815.395880.85.86740.33206.531490.96.85570.42497.7055101.07.85400.52368.901214第十四頁，共十六頁，編輯于2023年，星期二（2）用插值法求刻度位置的值

這里我們僅求對應的H*的值。

由式（13.14）得線性插值近似值為而由式（13.15）得二次插值近似值為兩種插值得到的結果有相同的兩位有效數字，說明線性插值在此已有了相當的精度。15第十五頁，共十六頁，編輯于2023年，星期二（3）用二分法