第二節(jié)

數(shù)列的極限一、數(shù)列極限的定義二、收斂數(shù)列的性質(zhì)1/281、割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”——劉徽一、數(shù)列極限的定義1、割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”——劉徽一、數(shù)列極限的定義1、割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”——劉徽一、數(shù)列極限的定義1、割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”——劉徽一、數(shù)列極限的定義1、割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”——劉徽一、數(shù)列極限的定義1、割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”——劉徽一、數(shù)列極限的定義1、割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”——劉徽一、數(shù)列極限的定義1、割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”——劉徽一、數(shù)列極限的定義1、割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”——劉徽一、數(shù)列極限的定義劉徽(225—295）用割圓術(shù)算到了內(nèi)接正3072邊形的面積,求得π=3.1416祖沖之（429—500）用割圓術(shù)算到了內(nèi)接正24576邊形的面積,求得π在3.1415926與3.1415927之間3/28

R

正六邊形的面積A1正十二邊形的面積A2

正6

·

2n-1形的面積AnA1

,

A2

,

A3

,,

An,S4/28一列有序排列的數(shù)x1

,

x2

,,

xn

,（1）稱為一個（無窮）數(shù)列，其中的每個數(shù)稱為數(shù)列的項，

xn

稱為第

n

項或通項(一般項)。數(shù)列(1)記為{

x

}￥

或{

x

}

。n

n=1

n例如2

4

81

1

1,

,

,,n=12,4,8,,

2n

,;簡記為{2n

}￥,或{2n

}。}。1簡記為{2n21

,;n例1（1）

a,

aq,

aq2,aq3,…,aqn-1,….其中a,q為常數(shù)且q

?0。一般項公式為xn

=aq

n-1。此數(shù)列簡記為{aqn-1}。（2）

{(-1)n-1

}:

1,-1,1,,

(-1)n-1

,;n

+(-1)n-1（3）{n}

:

2,,。1

4

n

+

(-1)n-1,

,,2

3

n6/281.

在幾何上一個數(shù)列可看成實數(shù)軸上的一個點(diǎn)列，也可看成實數(shù)軸上的一個動點(diǎn)x2

x4x3

x1

xn注：2.

數(shù)列可看成是以自然數(shù)為自變量的函數(shù)：xn

= f

(

n

)

.7/28數(shù)列極限的直觀定義對

{xn}:

x1

,

x2

,

x3,…,xn,

…若隨著n

的無限增大(記作n

fi

￥)，有xn無限接近某個定數(shù)a，(允許某些xn甚至全部xn等于

a)，則稱{xn}有極限(為a)或收斂(于a)，記作:lim

xn=a

或xnfi

a

(n

fi

￥)nfi

￥8/28例2討論{ }的極限解

因為nn

+(-1)n-1n

+

(-1)n-1xn

=n(-1)n-1=

1

+nnfi

￥\

lim

xn

=

1問題:

怎樣用數(shù)學(xué)語言來精確地刻劃數(shù)列極限的概念，即表達(dá)：隨著項數(shù)n的無限增大，有項xn無限接近(或等于)a？當(dāng)n無限增大時，{x

}無限接近于常數(shù)a，n當(dāng)n無限增大時，

x

-

a

無限變小n當(dāng)n無限增大時，

x

-

a

要多小有多小n對于任意給定的正數(shù)，都可以找到一項，使得該項以后的所有項，x

-

a

小于上述給定的正數(shù)n

n當(dāng)n無限增大時，1

+1

無限接近于1例如果當(dāng)n無限增大時，{x

}無限接近于常數(shù)a，n則稱常數(shù)a為數(shù)列{x

}的極限。nn

n給定0.1

欲使

1

+

1

-1

=

1

<0.1取

N

=10,

當(dāng)

n

>

N

時，1

+

1

-1

<

0.1n0.010.01n

>101000.01100給定ε>0，

欲使1+

1

-1

=

1

<

en

nn

>

1e取

N

=

1

+1,當(dāng)n

>N

時，1+1

-1

<en隨著nfi

￥

，有xn無限接近(或等于)常數(shù)a，也就是|

xn-a|

無限接近(或等于)0任給定正數(shù)e，不論它有多么小，只要n足夠大（n

>

某個N），總可以使|

xn-a|

<

e

。于是有下面數(shù)列極限的定義（用“e

—N”語言表達(dá)）定義

如果對于任意給定的正數(shù)

e

(不論它多么小),總存在正數(shù)N

,使得對于

n>N

時的一切

xn,不等式xn

-a

<e

都成立,那末就稱數(shù)列{xn}有極限（為a）,lim

xn

=

a,nfi

￥或或者稱數(shù)列{xn}收斂（于a）,記為xn

fi

a

(nfi

￥).如果數(shù)列沒有極限,

就說數(shù)列是發(fā)散的."

e

>

0,$N

,"

n

>

N

,|

xn

-

a

|<

e.nfi

￥即lim

xn

=

a2、精確定義注意：1）

e（>0）必須可以任意小，但給定之后就確定下來了。因為e可以任意小，所以e/2，2

e，e2等也是任意小的數(shù)。N與e有關(guān)。若N(e)存在，則必不唯一。幾何解釋：xa

-xN

+1a

+xN

+22ea當(dāng)n

>

N時,

所有的點(diǎn)

xn都落在(a

-

e,

a

+

e)內(nèi),只有有限個(至多只有N個)落在其外.5)

收斂性和極限值都與數(shù)列中有限個項無關(guān)?？梢匀我飧膭?、增刪數(shù)列中有限個項，不影響其收斂性和極限值。注意：數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.13/28例3

證明=

1.n

+(-1)n-1limnfi

￥n證xn

-

1

=nn

+

(-1)n-11-

1

=

nn任給e>

0,

要

xn-1

<e,

只要1

<e,e即n

>1

,所以,取N

=

[

1

]，

e

則當(dāng)n

>N時,-

1

<

enn

+

(-1)

n

-1總有=

1.n

+(-1)n-1\

limnfi

￥n特別1給定e

=n

100,由1

<1

,100-

1

<n1

,

只要

n

>

100時,

有

x1001,

只要n

>1000時,10001給定e

=。100001n有

x

-1

<,10000給定e

=只要n

>10000時,,10001n有

x

-

1

<注意:用定義證數(shù)列極限存在時,關(guān)鍵是任意給定e>0,說明相應(yīng)的N存在,但不必求出最小的N.例5證明

lim

qn

=

0,

其中q

<

1.nfi

￥證n要使xn

-0

=q<

e,

即n

ln

q

<

ln

e,則當(dāng)n

>N時,就有qn

-

0

<

e,\

lim

qn

=0.證畢。nfi

￥ln

q只要n

>

ln

e

,n

fi

￥

n

fi

￥則lim

q

n

=

lim

0

=

0;若q

=0,若0

<

q

<

1,

任給e>

0,ln

|

q

|\

取N

=

[

ln

e

]，例6xn

=

a

.設(shè)xn

>

0,且lim

xn

=

a

>

0,

求證limnfi

￥

nfi

￥證\

"

e

>

0,xn

=

a

.\

limnfi

￥

lim

x

n

=

a

,n

fi

￥$N

,使得當(dāng)n

>

N時，恒有

xn

-

a

<

ae,nx

+xn

-

aa

<n從而有

x

-

a

=axn

-

aa<

ae

=

e，20/28二、收斂數(shù)列的性質(zhì)1、有界性定義:

對數(shù)列{

xn

}，

若存在正數(shù)M

，

使得一切正整數(shù)n，

恒有

xn

￡

M

成立，則稱數(shù)列{xn}有界;否則，稱為無界，從幾何上看：數(shù)列{xn}

對應(yīng)于點(diǎn)列可落于某個有界閉區(qū)間內(nèi)。n

+1nnn例如,

數(shù)列

x

=

，有界；

數(shù)列

x

=

2n，無界。21/28定理1

收斂的數(shù)列必定有界.證nfi

￥設(shè)

lim

xn

=

a,由定義,取e=1,則$N

,

使得當(dāng)

n

>

N時，恒有

xn

-

a

<

1,即有|

xn

|=|

xn

-a

+a

|￡

|

xn

-a

|

+|

a

|<1+|

a

|.記

M

=

max{

x1

,,

xN

,1

+

a

},則對一切自然數(shù)

n,皆有

xn

￡

M

,故{xn}有界.

證畢。推論

無界數(shù)列必定發(fā)散.22/28例7

{n+(-1)nn}:是無界的,0,

4,

0,

8,

0,

12,

…注意收斂有界;收斂 有界;發(fā)散 無界.發(fā)散無界.\{n+(-1)nn}發(fā)散.23/28例8n+1證明數(shù)列xn

=

(-1)

是發(fā)散的.證nnfi

￥設(shè)lim

x

=

a,由定義,2對于e

=1

,2$N

,

使得當(dāng)

n

>

N

時,

有

x

-

a

<

1

成立

,n2

2n即當(dāng)n

>

N時,

x

?

(a

-

1

,

a

+

1

),

區(qū)間長度為1.而xn無休止地反復(fù)取1,-1兩個數(shù),不可能同時位于長度為1的區(qū)間內(nèi).\

{xn}發(fā)散.

證畢。2、唯一性定理2

每個收斂的數(shù)列只有一個極限.證設(shè)

lim

xn

=

a,

又lim

xn

=

b,nfi

￥

nfi

￥則：>0，$N1

,N

2，使得取e=2b

-

a2b

-

an

>

N1，恒有

xn

-

a

<

;22

nn

>

N

，恒有

x

-

b

<

b

-

a

;

（2）取N

=max{N1

,N

2

},則當(dāng)n

>N時，有2x

<

a

+

b由（1）：n故收斂數(shù)列極限唯一.證畢。且a

<b,（1）2n由（2）：xa

+

b>矛盾！3.

保號性.若且

則(<

0)有(<

0)證:

對

a

>

0

,

取推論:若數(shù)列從某項起(￡

0)(￡

0).(用反證法證明)則4、子數(shù)列的收斂性的一個數(shù)列稱為原數(shù)列{xn

}的子數(shù)列（或子列）．定義：在數(shù)列{xn

}中任意抽取無限多項并保持這些項在原數(shù)列{xn

}中的先后次序，這樣得到n

n=1例如，{

x

}￥是第k

項，nkk

k而

xn

在原數(shù)列

{xn

}中卻是第

nk

項，顯然，nk

?

k.注意：

在子數(shù)列

{xn

}中，一般項

x：

xn

,

xn

,,

xn

,1

2

k1

2

n1,

xn

,,,

xn

,2

k：x

,

x

,,

x}￥nk

k

=1{

x奇子列{x2k-1}：由{xn}中所有奇數(shù)項組成的子列。偶子列{x2k}：由{xn}中所有偶數(shù)項組成的子列。26/28定理3

數(shù)列{xn}收斂于a

{x