柯西積分公式解析函數(shù)的無窮可微性柯西不等式與劉維爾定理摩勒拉定理

2011年4月1日第三節(jié)柯西積分公式及其推論第十一講數(shù)學(xué)分析考試3[1][1].3和柯西積分定理考慮如下問題：該積分值不隨閉曲線C

的形狀變化而改變,

數(shù)學(xué)分析考試3[1][1].3數(shù)學(xué)分析考試3[1][1].3一、柯西積分公式1.定理3.11這就是柯西積分公式.分析（3.15）可以改寫成數(shù)學(xué)分析考試3[1][1].3證明數(shù)學(xué)分析考試3[1][1].3數(shù)學(xué)分析考試3[1][1].3數(shù)學(xué)分析考試3[1][1].3柯西積分公式數(shù)學(xué)分析考試3[1][1].32定義3.4在定理3.11條件下稱為柯西積分.關(guān)于柯西積分公式的說明:(1)用在C邊界上的值確定其內(nèi)部值.(這是解析函數(shù)的又一特征)(2)柯西積分公式（定理3.11）與柯西積分定理（定理3.9，3.10）的條件相同.(這便于記憶)數(shù)學(xué)分析考試3[1][1].3(3)Cauchy積分公式也可寫成例1解由柯西積分公式數(shù)學(xué)分析考試3[1][1].3例2解由柯西積分公式數(shù)學(xué)分析考試3[1][1].33平均值公式定理3.12即f(z)在圓心處的值等于它在圓周上值的算術(shù)平均值.證明數(shù)學(xué)分析考試3[1][1].3例3證明數(shù)學(xué)分析考試3[1][1].3由平均值公式從而因?yàn)槊?數(shù)學(xué)分析考試3[1][1].34.最大模原理證明“反證”由平均值定理,只要圓K:定理4.23數(shù)學(xué)分析考試3[1][1].3于是數(shù)學(xué)分析考試3[1][1].3數(shù)學(xué)分析考試3[1][1].3注1:有界閉域上解析函數(shù)的最大模只能在邊界取得.2.推論4.24數(shù)學(xué)分析考試3[1][1].3由最大模原理,例4例5證明數(shù)學(xué)分析考試3[1][1].3此時(shí)與最大模原理相矛盾.則由題設(shè),證明數(shù)學(xué)分析考試3[1][1].35.最小模原理證明到最大值，這與最大模定理矛盾。數(shù)學(xué)分析考試3[1][1].3二解析函數(shù)的無窮可微性1定理3.13

在定理3.11條件下,函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)有各階導(dǎo)數(shù),并且有注：上式也可寫成該公式在求積分時(shí)常用到數(shù)學(xué)分析考試3[1][1].3先證明結(jié)論關(guān)于n=1時(shí)成立。證明只需證明，當(dāng)h趨近于0時(shí)，下式也趨近于0

數(shù)學(xué)分析考試3[1][1].3現(xiàn)在估計(jì)上式右邊的積分。設(shè)以z為心，以d為半徑的圓盤完全在D內(nèi)，并且使得0<|h|<d，那么當(dāng)設(shè)|f(z)|在C上的一個(gè)上界是M，并且設(shè)C的長度是L，于是我們有因此當(dāng)h趨近于0時(shí)，要證的積分趨于0。DDζCzz+hd數(shù)學(xué)分析考試3[1][1].3

現(xiàn)在用數(shù)學(xué)歸納法完成定理的證明。設(shè)n=k時(shí)，結(jié)論成立。取z及z+h同上，那么有數(shù)學(xué)分析考試3[1][1].3數(shù)學(xué)分析考試3[1][1].3數(shù)學(xué)分析考試3[1][1].3數(shù)學(xué)分析考試3[1][1].3注1

以上討論表明，函數(shù)在一個(gè)區(qū)域內(nèi)的解析性是很強(qiáng)的條件，和僅僅在一個(gè)點(diǎn)可導(dǎo)是有非常大的差異；注2

任意階導(dǎo)數(shù)公式是柯西公式的直接推論；

由此證明，當(dāng)h趨近于0時(shí)，上式的右邊趨于0，于是定理的結(jié)論當(dāng)n=k+1時(shí)成立。數(shù)學(xué)分析考試3[1][1].3例6解數(shù)學(xué)分析考試3[1][1].3例7解分幾種情況數(shù)學(xué)分析考試3[1][1].3數(shù)學(xué)分析考試3[1][1].3根據(jù)復(fù)周線Cauchy積分定理和高階導(dǎo)數(shù)公式,數(shù)學(xué)分析考試3[1][1].32.解析函數(shù)的無窮可微性定理3.14

設(shè)函數(shù)f(z)在z平面上區(qū)域D內(nèi)解析,則f(z)在D內(nèi)有各階導(dǎo)數(shù),并且它們也在D內(nèi)解析.證明數(shù)學(xué)分析考試3[1][1].33.刻劃解析函數(shù)的第二個(gè)等價(jià)定理證明充分性為定理2.5必要性條件2的必要性已由定理2.1得出,由解析函數(shù)的無窮可微性,4月19日定理3.15數(shù)學(xué)分析考試3[1][1].3三、柯西不等式與劉維爾定理1.柯西不等式證明數(shù)學(xué)分析考試3[1][1].3劉維爾定理

有界整函數(shù)必為常數(shù).整函數(shù)-----在整個(gè)復(fù)平面解析的函數(shù).證明設(shè)f(z)是有界整函數(shù)，2.劉維爾(Livouile)定理注

Cauchy不等式中數(shù)學(xué)分析考試3[1][1].3令可見從而f(z)恒等于常數(shù)。

注:

非常數(shù)整函數(shù)必?zé)o界。

由柯西不等式，有數(shù)學(xué)分析考試3[1][1].33.代數(shù)學(xué)基本定理至少有一個(gè)零點(diǎn).證明若P(z)在z平面上無零點(diǎn),因P(z)在z平面上解析,數(shù)學(xué)分析考試3[1][1].3故存在充分大的正數(shù)R,從而在z平面上,矛盾.數(shù)學(xué)分析考試3[1][1].3

應(yīng)用解析函數(shù)有任意階導(dǎo)數(shù)，可以證明柯西定理的逆定理，則f(z)在D內(nèi)解析。①定理3.16

若函數(shù)f(z)在單連通區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，且對(duì)D內(nèi)的任意周線C，有證明在定理?xiàng)l件下,由定理3.7即知在D內(nèi)解析,且4.莫勒拉定理數(shù)學(xué)分析考試3[1][1].3②

刻劃解析函數(shù)的第三個(gè)等價(jià)定理定理3.17函數(shù)f(z)在區(qū)域G內(nèi)解析的充要條件是:(1)f(z)在G內(nèi)連續(xù);(2)對(duì)任一周線C,只要C及其內(nèi)部全含于G注

定理3.17中區(qū)域G不必是單連通區(qū)域。數(shù)學(xué)分析考試3[1][1].3證明必要性由Cauchy積分定理3.3可導(dǎo)出;

充分性由定理3.16,數(shù)學(xué)分析考試3[1][1].3證明又在z平面上,從而為常數(shù);例8數(shù)學(xué)分析考試3[1][1].3例9證明在復(fù)平面上任取一點(diǎn)z,作圓周RC1rCz數(shù)學(xué)分析考試3[1][1].3RC1rCz數(shù)學(xué)分析考試3[1][1].3RC1rCz數(shù)學(xué)分析考試3[1][1].3

§1-3的主要內(nèi)容有向曲線復(fù)積分積分存在的條件及計(jì)算積分的性質(zhì)Cauchy積分定理原函數(shù)的概念復(fù)合閉路定理Cauchy積分公式高階導(dǎo)數(shù)公式積分公式及計(jì)算數(shù)學(xué)分析考試3[1][1].3作業(yè)P141習(xí)題