應(yīng)用創(chuàng)新演練第4節(jié)萬有引力理論的成就理解教材新知把握熱點(diǎn)考向考向一考向二隨堂基礎(chǔ)鞏固第六章萬有引力與航天課時(shí)跟蹤訓(xùn)練知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)二考向三若不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響，地面上物體所 受重力等于地球?qū)ξ矬w的引力，即mg＝Mm

gR2G

R2

，可得地球質(zhì)量

M＝

G

。根據(jù)萬有引力提供行星做圓周運(yùn)動(dòng)的向4π2r3心力，可得太陽的質(zhì)量為M＝

GT2

。3．除了可以應(yīng)用萬有引力定律計(jì)算天體的質(zhì)量外，還可以應(yīng)用萬有引力定律發(fā)現(xiàn)未知天體，海王星的發(fā)現(xiàn)和哈雷彗星的“按時(shí)回歸”確立了萬有引力定律的地位。1．地球質(zhì)量的計(jì)算利用地球表面的物體：若不考慮地球自轉(zhuǎn)，質(zhì)量為m

的物體的重力等于地球?qū)ξ矬w的萬有引力

，即

mg＝

，gR2則

M＝

G

，只要知道

g、R

的值，就可計(jì)算出地球的質(zhì)量。MmG

R2[自學(xué)教材]2．太陽質(zhì)量的計(jì)算利用某一行星：質(zhì)量為m

的行星繞太陽做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，行星與太陽間的 充當(dāng)向心力，即

G

r2

＝Mm

4π2mrT2，由此可得太陽質(zhì)量M＝，由此式可知只要測(cè)出行星繞太陽運(yùn)動(dòng)的周期T

和半徑r

就可以計(jì)算出太陽的質(zhì)量。萬有引力4π2r3GT23．其他行星的質(zhì)量計(jì)算利用繞行星運(yùn)轉(zhuǎn)的衛(wèi)星：若測(cè)出該衛(wèi)星與行星間的距Mm質(zhì)量M＝2π

2m( )

r離

r

和轉(zhuǎn)動(dòng)周期

T，同樣據(jù)

G

r2

＝

T

可得出行星的4π2r3GT2

。[重點(diǎn)詮釋]1．求天體質(zhì)量的思路繞中心天體運(yùn)動(dòng)的其他天體或衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，做圓周運(yùn)動(dòng)的天體(或衛(wèi)星)的向心力等于它與中心天體的萬有引力，利用此關(guān)系建立方程求中心天體的質(zhì)量。2．天體密度的計(jì)算M

M 根據(jù)密度公式

ρ＝

V

＝4

，只要求出天體的質(zhì)量代入此式3πR3就可計(jì)算天體的密度。(1)由天體表面的重力加速度g

和半徑R

求此天體的密度：3πR34

4πGRMm

M

3g由

mg＝G

R2

和

ρ＝ 得

ρ＝

。(2)若天體的某個(gè)衛(wèi)星的軌道半徑為r，周期為T，天體半徑2為

R，則由

G

r2

＝m

rMm

4π2

43和

M＝ρ·

πR

得

ρ＝3πr3T

3

GT

R2

3。(3)當(dāng)天體的衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運(yùn)動(dòng)時(shí)，其軌道半徑r

等于天體半徑R，則由G2R

T2Mm

4π2

433＝m R

和

M＝ρ·

πR

得

ρ＝3πGT2。[特別提醒]在用萬有引力等于向心力列式求天體的質(zhì)量時(shí)，只能求出中心天體的質(zhì)量，而不能求出環(huán)繞天體的質(zhì)量。要掌握日常知識(shí)中地球的公轉(zhuǎn)周期、地球的自轉(zhuǎn)周期、月球的周期等，在估算天體質(zhì)量時(shí)，往往作為隱含條件加以利用。要注意R、r的區(qū)分。R指中心天體的半徑，r指行星或衛(wèi)星的軌道半徑。若繞近地軌道運(yùn)行，則有R＝r。1．已知萬有引力常量G，現(xiàn)給出下列各組數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出地球質(zhì)量的有

(A．已知地球的半徑R和地面的重力加速度g)B．已知衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r和線速度vC．已知衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r和周期TD．地球公轉(zhuǎn)的周期T′及運(yùn)轉(zhuǎn)半徑r′Mm

gR2解析：由

G

R2

＝mg，得

M＝

G

，故

A

正確。又由萬有引力v2rv2Mm

4π2

4π2r3提供向心力

G

r2

＝m

r

＝m

T2

r，得

M＝

G

＝

GT2

，故

B、C正確。若已知地球公轉(zhuǎn)的周期T′及運(yùn)轉(zhuǎn)半徑r′，只能求出地球所圍繞的中心天體——太陽的質(zhì)量，不能求出地球的質(zhì)量，故D

錯(cuò)誤。答案：ABC[自學(xué)教材]已發(fā)現(xiàn)天體的軌道推算18世紀(jì)，人們觀測(cè)到太陽系第七個(gè)行星——天王星的軌道和用

萬有引力定律計(jì)算出來的軌道有一些偏差。未知天體的發(fā)現(xiàn)根據(jù)已發(fā)現(xiàn)的天體的運(yùn)行軌道結(jié)合萬有引力定律推算出未知天體的軌道，如海王星

、冥王星

就是這樣發(fā)現(xiàn)的。[重點(diǎn)詮釋]1．解決天體問題的兩條思路(1)所有做圓周運(yùn)動(dòng)的天體，所需要的向心力都來自萬有引力。因此，向心力等于萬有引力，是我們研究天體運(yùn)動(dòng)建立方程的基本關(guān)系式，即

Mm＝ma，式中的

a

是向心加速度，根G

r2v24π2據(jù)問題的條件可分別選用：a＝

r

，a＝ω2r，a＝

T2

r。(2)物體在地球(天體)表面時(shí)受到的引力等于物體的重力，Mm即G

R2

＝mg，式中的R

為地球(天體)的半徑，g

為地球(天體)表面物體的重力加速度。2．解決天體問題時(shí)應(yīng)注意的問題(1)在用萬有引力等于向心力列式求天體的質(zhì)量時(shí)，只能測(cè)出中心天體的質(zhì)量，而環(huán)繞天體的質(zhì)量在方程式中被消掉了。Mm(2)由

G

＝mg

可以得到：GM＝gR2。由于

G

和

M(地球R2質(zhì)量)這兩個(gè)參數(shù)往往不易記住，而g和R容易記住，所以粗略計(jì)算時(shí)，一般都采用上式代換。3．常用的幾個(gè)關(guān)系式設(shè)質(zhì)量為m

的天體繞另一質(zhì)量為M

的中心天體做半徑為r

的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。v2(1)由

G

r2

＝m

r

得

v＝Mm

GMr，r

越大，天體的v

越小。Mm(2)由

G

＝mω2r

得

ω＝r2

r3GM，r

越大，天體的ω

越小。r3GM，r

越大，天體的T(3)由

Mm

2π

2G

r2

＝m(T

)r

得T＝2π越大。nr2

r2n

nMm

GM(4)由

G

＝ma

得

a

＝ ，r

越大，天體的

a

越小。2.如圖6－4－1

所示，a、b

是兩顆繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的人造衛(wèi)星，它們距地面的)高度分別是R

和2R(R

為地球半徑)。下列說法中正確的是

(a、b

的線速度大小之比是2∶1a、b

的周期之比是

1∶2

2C．a(chǎn)、b

的角速度大小之比是

3

6∶4D．a(chǎn)、b

的向心加速度大小之比是9∶4圖6－4－1解析：兩衛(wèi)星均做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)

萬＝F

向，向心力選不同的表達(dá)形式分別分析。由GMm

r2v2v121＝m

r

得v

＝

r

＝r2

3R2R＝

2，A

錯(cuò)誤；由3

GMmr22π

2

T12＝mr(T

)

得T

＝r1

3r22

23＝3

3，B

錯(cuò)誤；由GMm

r22ω12＝mrω

得ω

＝r2

3r13＝3

64，C

正確；由GMm

r22r2

21a1

9＝ma

得a

＝r

2＝4，D

正確。答案：CD[例1]

為了實(shí)現(xiàn)登月計(jì)劃，先要測(cè)算地、月之間的距離。已知地球表面的重力加速度為g，地球半徑為R，在地球附近物體受到地球的萬有引力近似等于物體在地面上的重力，又知月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期為T，萬有引力常量為G，則：地球的質(zhì)量為多少？地、月之間的距離約為多少？[思路點(diǎn)撥]

地球表面物體的重力近似等于地球?qū)λ娜f有引力大?。辉虑蚶@地球運(yùn)動(dòng)所需的向心力由地球?qū)λ娜f有引力提供。[解析]

(1)設(shè)地球表面有一質(zhì)量為

m1

的物體。1依題意有

m

g＝G

R2Mm1，gR2解得M＝

G

。(2)設(shè)月球質(zhì)量為m2，地、月之間的距離為r。Mm2＝

2π

2

，解得r＝由牛頓第二定律得

G

r2

m2(

T

)

r3GMT24π2，gR2將M＝

G

代入上式得r＝3gR2T24π2。gR2[答案]

(1)

G

(2)3gR2T24π2[借題發(fā)揮]計(jì)算天體質(zhì)量和密度的公式，既可以計(jì)算地球質(zhì)量，也可以計(jì)算太陽等其他星體的質(zhì)量，需明確計(jì)算的是中心天體的質(zhì)量。要注意理解并區(qū)分公式中的R、r，R指中心天體的半徑，r指行星或衛(wèi)星的軌道半徑，只有在近“地”軌道運(yùn)行時(shí)才有r＝R。1．在某行星上，宇航員用彈簧秤稱得質(zhì)量為m的砝碼重力為F，乘宇宙飛船在靠近該星球表面空間飛行，測(cè)得其環(huán)繞周期為T。根據(jù)這些數(shù)據(jù)求該星球的質(zhì)量和密度。解析：設(shè)行星的質(zhì)量為M，半徑為R，表面的重力加速度為g，由萬有引力定律得F＝mg＝G

R2Mm。飛船沿星球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)由牛頓第二定律得GMm′R24π2R＝m′T2

。F3T4聯(lián)立解得M＝16Gπ4m3。3πR34

GT2將

M

代入

ρ＝

M

，得

ρ＝

3π

。F3T43π答案：16Gπ4m3

GT2[例2]

宇宙中兩顆相距較近的天體稱為“雙星”，它們以兩者連線上的某一點(diǎn)為圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，而不至于因萬有引力的作用吸引到一起。設(shè)二者的質(zhì)量分別為m1和m2，二者相距為L，求：(1)雙星的軌道半徑之比；

(2)雙星的線速度之比。[思路點(diǎn)撥]

解決該問題應(yīng)注意：(1)萬有引力表達(dá)式中的距離不等于圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑。

(2)兩星的向心力相等都等于萬有引力。(3)兩星的角速度相同。[解析]

這兩顆星必須各以一定速率繞某一中心轉(zhuǎn)動(dòng)才不至于因萬有引力作用而吸引在一起，所以兩天體間距離L應(yīng)保持不變，二者做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度ω必須相同。如圖所示，設(shè)

二者軌跡圓的圓心為O，圓半徑分別為R1和R2。由萬有引力提供向心力有m1m22G

L2

＝m1ω

R1，①m1m22G

L2

＝m2ω

R2。②(1)①②兩式相除，得R

＝m2

1R1

m2。v1(2)因?yàn)関＝ωR，所以v

＝R

＝mR1

m2。2

2

1[答案]

(1)m2∶m1

(2)m2∶m1[借題發(fā)揮]有關(guān)求雙星系統(tǒng)的問題的思路是相互的萬有引力提供各自做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，且二者有共同的角速度和周期，二者的軌道半徑之和是二者之間的距離。解題時(shí)一定要注

意，雙星各自的軌道半徑與它們之間的距離不同。在上例條件下，試確定該“雙星”系統(tǒng)運(yùn)行的角速度。解析：兩星的角速度相同，則121G

L2

＝m

ω

R

，Gm1m2

m1m2L22＝m2ω

R2，故R2＝R1

m2m1。又因?yàn)?R1＋R2＝L，所以R

＝m2Lm1＋2m

，m1m21所以

G

L2

＝m

ω2m2L1m

＋m2，解得ω＝G(m1＋m2)L3。答案：G(m1＋m2)

L3[例3]

已知地球半徑R＝6.4×106

m，地面附近重力加速度g＝9.8

m/s2，計(jì)算在距離地面高為h＝2.0×106

m的圓形軌道上的衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度v和周期T。[思路點(diǎn)撥][解析]根據(jù)萬有引力提供衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，即G

Mm

v2(R＋h)

R＋h2＝m

。知v＝R＋h

GM

。①由地球表面附近的物體受到的萬有引力近似等于重力，即GMm′R22＝m′g，得

GM＝gR

。

②由①②兩式可得v＝gR2R＋

＝h6．4×10