工程應(yīng)用數(shù)學(xué)主講北京理工大學(xué)機(jī)械與車輛學(xué)院李曉雷第二章卷積積分與積分變換1第二章卷積積分與積分變換

本章主要復(fù)習(xí)傅立葉級(jí)數(shù)，介紹傅立葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)表示，脈沖響應(yīng)與卷積積分、傅立葉變換和拉普拉斯變換及其性質(zhì)。第二章卷積積分與積分變換1§2.1傅立葉級(jí)數(shù)

§2.2脈沖響應(yīng)與卷積積分

§2.3傅立葉變換

§2.4拉普拉斯變換

第二章卷積積分與積分變換1§2.1傅立葉級(jí)數(shù)

1周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)

2復(fù)數(shù)形式的傅立葉級(jí)數(shù)

第二章卷積積分與積分變換11周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)

如果g(t)是以T為周期的周期函數(shù)，即g(t+T)=g(t)并且g(t)還滿足下列條件(Dirichlet條件)1.在［-T/2，T/2］上連續(xù),或者只有有限個(gè)一類間斷點(diǎn)(即存在極限的間斷點(diǎn));

2.只有有限個(gè)極值；3.在［-T/2，T/2］上絕對(duì)可積，即

第二章卷積積分與積分變換1則在［-T/2，T/2］上g(t)可以展成傅立葉級(jí)數(shù)，即有這里：稱為周期函數(shù)g(t)的基頻

pω0(p=2，3，…)稱為基頻ω的p次倍頻。第二章卷積積分與積分變換1a0=c0，b0=0θ0=0p=1,2,…第二章卷積積分與積分變換1ap、bp、cp和θp(p=0,1,2,…)稱為周期函數(shù)g(t)的傅立葉系數(shù)或諧波系數(shù)，cp是諧波的振幅,θp是諧波的初相位。c1cos(ωt－θ1)稱為周期函數(shù)g(t)的基波；

cpcos(pωt－θp)

（p>1）稱為周期函數(shù)g(t)的基波的p次諧波。第二章卷積積分與積分變換12復(fù)數(shù)形式的傅立葉級(jí)數(shù)單邊傅立葉級(jí)數(shù)

根據(jù)歐拉公式

有

代入g(t)的傅立葉級(jí)數(shù)表達(dá)式,有

第二章卷積積分與積分變換1這里θ0=0=ap

ibp

=cp(cosθpisinθp)

p=1,2,…第二章卷積積分與積分變換1第二章卷積積分與積分變換1雙邊傅立葉級(jí)數(shù)

由于對(duì)任意復(fù)數(shù)z有因此，當(dāng)p≠0時(shí)第二章卷積積分與積分變換1則而令第二章卷積積分與積分變換1因而可以得到即在頻率軸的正半軸上，雙邊譜的系數(shù)dp與單邊譜的系數(shù)Ap之間有如下關(guān)系｜Ap｜=2｜dp｜Re［Ap］=2Re［dp］Im［Ap］=2Im［dp］第二章卷積積分與積分變換1通常用頻譜圖來直觀顯示周期函數(shù)所包含的頻率成分及其大小。以頻率f(很少用ω)為橫軸，分別以cp(或｜Ap｜)和θp為縱軸作圖，并稱f～cp圖為g(t)的幅頻圖，f～θp圖為相頻圖。一般來說，頻譜圖多為單邊的，只畫出f≥0的部分。周期函數(shù)頻譜圖的特點(diǎn)是只在離散點(diǎn)0，f，2f，…，上有值，被稱為離散譜，有時(shí)也形象地稱為譜線圖。第二章卷積積分與積分變換1例：求下圖所示周期方波信號(hào)g(t)的傅立葉級(jí)數(shù)第二章卷積積分與積分變換1a0=c0=0第二章卷積積分與積分變換1利用0T=2，有即第二章卷積積分與積分變換1另外第二章卷積積分與積分變換1因此第二章卷積積分與積分變換1同樣第二章卷積積分與積分變換1第二章卷積積分與積分變換1第二章卷積積分與積分變換1第二章卷積積分與積分變換1第二章卷積積分與積分變換1周期函數(shù)的均方值如果g(t)是簡諧函數(shù)，即g(t)=Acosω0t則g(t)的均方值為顯然，簡諧函數(shù)的均方值只與它的振幅有關(guān)，與它的頻率無關(guān)。第二章卷積積分與積分變換1如果g(t)是周期函數(shù)，則可展為傅立葉級(jí)數(shù)g(t)的均方值為第二章卷積積分與積分變換1根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)(m≠n)

(m≠n)

p=1,2,…

p=1,2,…

第二章卷積積分與積分變換1有第二章卷積積分與積分變換1上式為周期函數(shù)的巴塞伐(Parserval)公式。它的右端為一無窮級(jí)數(shù)，級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)是周期函數(shù)的諧波的均方值。巴塞伐公式表明，周期函數(shù)的均方值是它的基波和各次諧波的均方值之和?？梢越忉尀?，周期函數(shù)在時(shí)域內(nèi)的總能量等于在頻域內(nèi)的總能量。巴塞伐公式表明，在頻域中，運(yùn)動(dòng)的總能量是各諧波能量之和。換句話說，在頻域中能量可按諧波直接相加。第二章卷積積分與積分變換1§2.2脈沖響應(yīng)與卷積積分

1脈沖函數(shù)

2脈沖響應(yīng)3卷積積分

第二章卷積積分與積分變換11脈沖函數(shù)

脈沖函數(shù)又稱為δ函數(shù),定義如下：

它表示在t=0時(shí)刻作用的一個(gè)幅值無窮大，但沖量為1的脈沖力。力學(xué)上稱為單位脈沖力。第二章卷積積分與積分變換1在τ時(shí)刻作用的單位脈沖力可表示為：第二章卷積積分與積分變換1在任意時(shí)刻τ作用的幅值為的脈沖力可以表示為意義：在τ時(shí)刻的一個(gè)力值無限大，但作用時(shí)間為零的脈沖力。其沖量為：第二章卷積積分與積分變換1δ函數(shù)性質(zhì)：(a)如果F(t)是一個(gè)連續(xù)函數(shù)，則(b)δ(t)為偶函數(shù)，即δ(t)=δ(t)第二章卷積積分與積分變換12脈沖響應(yīng)

例：設(shè)如圖所示單自由度系統(tǒng)在t=0以前靜止，在t=0時(shí)受到脈沖力δ(t)的激勵(lì)。這里：0－表示小于零但無限接近于零的時(shí)刻，0+表示大于零但無限接近于零的時(shí)刻。運(yùn)動(dòng)微分方程第二章卷積積分與積分變換1根據(jù)動(dòng)量定理，在0－到0+這段時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)動(dòng)量的改變?yōu)閙v(0+)－mv(0－)=

即在t=0時(shí)的脈沖力作用下，質(zhì)量的速度v由v(0－)=0變?yōu)関(0+)=/m，而位移沒有變化。第二章卷積積分與積分變換1當(dāng)t>0后，系統(tǒng)不受外力，是自由振動(dòng)。

系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為=1時(shí)，即系統(tǒng)受到單位脈沖力作用時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)稱為系統(tǒng)脈沖響應(yīng)，用h(t)表示：第二章卷積積分與積分變換1

在t＝τ時(shí)刻以前靜止的系統(tǒng)，在t＝τ時(shí)受一個(gè)單位脈沖力激勵(lì)后的響應(yīng)為：第二章卷積積分與積分變換13卷積積分

以上例說明卷積積分。在振動(dòng)系統(tǒng)受任意持續(xù)激勵(lì)時(shí)，可把激勵(lì)看為一系列脈沖力的迭加。設(shè)在t=τ時(shí)刻附近的沖量。它對(duì)t<τ時(shí)的系統(tǒng)響應(yīng)無貢獻(xiàn)。對(duì)t≥τ以后的響應(yīng)有貢獻(xiàn)，其大小為dx=h(t－τ)F(τ)dτ

第二章卷積積分與積分變換1根據(jù)迭加原理，把這些響應(yīng)迭加起來，即把上式從0到t積分，有這就是單自由度系統(tǒng)在初始條件為零時(shí)，受任意激勵(lì)F(t)作用時(shí)的響應(yīng)，稱為卷積積分。對(duì)一般情況，卷積積分可寫成第二章卷積積分與積分變換1卷積積分定義卷積積分性質(zhì)1.交換律

f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)2.分配律

f1(t)*[f2(t)+f3(t)]=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t)3.結(jié)合律

f1(t)*[f2(t)*f3(t)]=[f1(t)*f2(t)]*f3(t)=f1(t)*f2(t)*f3(t)第二章卷積積分與積分變換14.微分5.積分第二章卷積積分與積分變換1§2.3傅立葉變換1傅立葉積分2傅立葉變換的定義3傅里葉變換的性質(zhì)第二章卷積積分與積分變換11傅立葉積分非周期函數(shù)可視為周期為無窮大的周期函數(shù)。設(shè)gT(t)是非周期函數(shù)g(t)在區(qū)間[,]上的部分即gT(t)=顯然有第二章卷積積分與積分變換1在這個(gè)區(qū)間上gT(t)的傅立葉級(jí)數(shù)這里取ωp=pω0第二章卷積積分與積分變換1有兩個(gè)相鄰諧波的間距為這樣可以得到因此第二章卷積積分與積分變換1令T→∞，有Δω→dω,ωp→ω

這就是傅立葉積分公式如果取f=，得到以f為積分變量的傅立葉積分公式第二章卷積積分與積分變換1傅立葉積分存在定理如果g(t)在(∞，+∞)上滿足下列條件:1.g(t)在任意的有限區(qū)間上只有有限個(gè)一類間斷點(diǎn)；2.g(t)在(∞,+∞)上絕對(duì)可積，即積分則g(t)的傅立葉積分存在。它的廣義積分是主值意義下的，即第二章卷積積分與積分變換1傅立葉正變換.稱g(t)和G(ω)構(gòu)成一對(duì)傅立葉變換對(duì)傅立葉逆變換.g(t)稱為原函數(shù),G(ω)稱為像函數(shù)，并記

G(ω)=F［g(t)］

g(t)=F－1［G(ω)］第二章卷積積分與積分變換1傅立葉正變換和逆變換也可寫作通常像函數(shù)G(ω)是復(fù)函數(shù),可以寫作G(ω)=｜G(ω)｜eiφ(ω)

｜G(ω)｜——幅值譜，φ(ω)——相位譜均是連續(xù)函數(shù)第二章卷積積分與積分變換1傅立葉變換性質(zhì)a1，a2是任意常數(shù)。傅立葉正變換和逆變換是線性變換。F[a1g1(t)+a2g2(t)]=a1F[g1(t)]+a2F[g2(t)]F－1[a1G1(ω)+a2G2(ω)]=a1

F－1[G1(ω)]+a2F－1[G2(ω)]1.線性第二章卷積積分與積分變換1G(ω)=F[g(t)]F[G(t)]=2πg(shù)(ω)則有g(shù)(t)=g(t)。如果g(t)是偶函數(shù)，即。2.對(duì)稱:F[G(t)]=2πg(shù)(ω)第二章卷積積分與積分變換13.奇偶實(shí)虛(1)g(t)是實(shí)函數(shù)

如果G(ω)=F[g(t)]記R(ω)=Re[G(ω)]X(ω)=Im[G(ω)]R(ω)=R(ω)(偶函數(shù))則有F[g(t)]=G(ω)=X(ω)=X(ω)(奇函數(shù))|G(ω)|=|G(ω)|(偶函數(shù))φ(ω)=φ(ω)(奇函數(shù))第二章卷積積分與積分變換1特別地，如果f(t)是實(shí)偶函數(shù)，則X(ω)=0，φ(ω)=0即，G(ω)是ω的實(shí)偶函數(shù)。如果g(t)是實(shí)奇函數(shù)，則R(ω)=0即，G(ω)是ω的虛奇函數(shù)。第二章卷積積分與積分變換1g(t)=ig1(t)

(2)g(t)是虛函數(shù)，即則，R(ω)為奇函數(shù),

g1(t)為實(shí)函數(shù)X(ω)為偶函數(shù)。|G(ω)|為偶函數(shù)，φ(ω)為奇函數(shù)。第二章卷積積分與積分變換14.尺度變換F[g(at)]=如果a=1，有F[g(t)]=G(ω)5.時(shí)移F[g(t±t0)]=F[g(t)]綜合4.、5.，有F[g(at－t0)]=F[g(t0－at)]=第二章卷積積分與積分變換16.頻移F－1[G(ω±ω0)]=F－1[G(ω)]

像函數(shù)在頻率軸上移動(dòng)±ω0相當(dāng)于它的原函數(shù)乘以單位旋轉(zhuǎn)因子。7.微分:F[g′(t)]=iωF[g(t)]F[g″(t)]=ω2F[g(t)]一般有F[g(n)(t)]=(iω)nF[g(t)]時(shí)域里的微分對(duì)應(yīng)于頻域里乘以iω

第二章卷積積分與積分變換18.積分如果F[g(t)]=G(ω)且或G(0)=0則有F第二章卷積積分與積分變換19.乘積這里10.能量積分巴塞伐(Parserval)公式。物理意義:運(yùn)動(dòng)在時(shí)域的能量等于在頻域的能量。第二章卷積積分與積分變換111.卷積定理:F[g1(t)*g2(t)]=F[g1(t)]F[g2(t)]g1(t)g2(t)=F-1[F[g1(t)]*F[g2(t)]]第二章卷積積分與積分變換1單個(gè)矩形脈沖的定義為例1求單個(gè)矩形脈沖的頻譜對(duì)它做傅立葉變換，有它的幅值譜為第二章卷積積分與積分變換1F[δ(t)]例2單位脈沖函數(shù)δ(t)的傅立葉變換即δ(t)與頻域的常數(shù)1是一對(duì)傅立葉變換對(duì)在整個(gè)頻域內(nèi)δ(t)有均勻的譜分布。能量為無窮大，現(xiàn)實(shí)世界中不可能存在。第二章卷積積分與積分變換1如果在頻域中有一個(gè)δ函數(shù)它的傅立葉逆變換為F－1[δ(ω)]即，時(shí)域中的常數(shù)與頻域中的δ函數(shù)是一對(duì)傅立葉變換對(duì)第二章卷積積分與積分變換1如果在頻域中的ω0處有一個(gè)δ函數(shù)δ(ωω0)，根據(jù)傅立葉變換的時(shí)移性質(zhì)可得F－1[δ(ω－ω0)]=由此可知即，與2πδ(ωω0)為一對(duì)傅立葉變換對(duì)。F=2πδ(ωω0)第二章卷積積分與積分變換1簡諧函數(shù)的傅立葉變換F[cosω0t]=F[]=πδ(ωω0)+πδ(ω+ω0)F[sinω0t]=F[]=iπδ(ω+ω0)iπδ(ωω0)第二章卷積積分與積分變換1周期函數(shù)的傅立葉變換F[g(t)]=F[]=即，周期函數(shù)的傅立葉變換是頻域內(nèi)一系列間隔均勻的脈沖函數(shù)的迭加第二章卷積積分與積分變換1頻譜與物體的質(zhì)量分布類比一根質(zhì)量均勻分布的懸臂梁，其線密度為ρ，長度為L，其上c點(diǎn)處有一集中質(zhì)量m。當(dāng)懸臂梁橫向運(yùn)動(dòng)時(shí)，其速度分布為v(x)，c點(diǎn)的速度為v(c)。整個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)能為梁的動(dòng)能與集中質(zhì)量的動(dòng)能之和，即第二章卷積積分與積分變換1用δ函數(shù)來表示集中質(zhì)量，則懸臂梁的質(zhì)量分布為ρ(x)=ρ＋mδ(x－c)系統(tǒng)的動(dòng)能為非周期函數(shù)的頻譜類似于分布質(zhì)量，而周期函數(shù)的頻譜類似于集中質(zhì)量。第二章卷積積分與積分變換1§2.4拉普拉斯變換1拉普拉斯變換的定義

2拉普拉斯變換的性質(zhì)

3拉普拉斯逆變換的求法

第二章卷積積分與積分變換11拉普拉斯變換的定義傅立葉變換的改進(jìn)g(t)定義在時(shí)間的正半軸，即取g(t)u(t)。給函數(shù)g(t)乘上一個(gè)衰減因子其中σ可以根據(jù)g(t)的具體情況選取，使乘積滿足傅立葉變換的可積條件第二章卷積積分與積分變換1對(duì)做傅立葉變換,有這里，s=σ+iω是復(fù)變量，而ω=(sσ)/i。令則有第二章卷積積分與積分變換1拉普拉斯變換定義設(shè)g(t)在t≥0有定義,積分在s=σ+iω的某一鄰域內(nèi)收斂，則稱為g(t)的拉普拉斯變換,記作G(s)=L[g(t)]g(t)=L－1[G(s)]g(t)為G(s)的拉普拉斯逆變換,記作

(t＞0)

第二章卷積積分與積分變換1普拉斯變換存在定理如果函數(shù)g(t)在t≥0的任意有限區(qū)間上分段連續(xù)，且當(dāng)t充分大后，可以找到實(shí)數(shù)M＞0，和，有則G(s)=L[g(t)]在半平面Re[s]>上一定存在,并且積分絕對(duì)可積且一致收斂，G(s)為解析函數(shù)。第二章卷積積分與積分變換12拉普拉斯變換的性質(zhì)

1.線性2.微分L[a1g1(t)+a2g2(t)]=a1L[g1(t)]+a2L[g2(t)]L－1[a1G1(ω)+a2G2(ω)]=a1L－1[G1(ω)]+a2L－1[G2(ω)]

L[g′(t)]=sL[g(t)]g(0)L[g″(t)]=s2L[g(t)]sg(0)g′(0)

L[g(n)(t)]=snL[g(t)]=snL[g(t)]sn1g(0)sn2g′(0)…sg(n2)(0)g(n1)(0)第二章卷積積分與積分變換13.積分L[]=s1L[g(t)]4.延時(shí)L[g(tτ)]=L[g(t)]5.位移L[eatg(t)]=G(sa)6.尺度L

[g(at)]=第二章卷積積分與積分變換17.初值與終值定理L[g(t)]=G(s)且存在則(a)初值定理如果(b)終值定理如果L[g(t)]=G(s)且