第七講拋物線知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)一拋物線的定義平面內(nèi)_與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)的距離相等__的點(diǎn)的軌跡叫拋物線．點(diǎn)_F__叫拋物線的_焦點(diǎn)__，直線_l__叫拋物線的_準(zhǔn)線__.注：l經(jīng)過F時(shí)，與定點(diǎn)F和定直線l距離相等的點(diǎn)的軌跡為過F與l垂直的一條直線．知識(shí)點(diǎn)二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離圖形頂點(diǎn)O(0,0)對(duì)稱軸y＝0x＝0焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))離心率e＝_1__準(zhǔn)線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R開口方向向右向左向上向下焦半徑(其中P(x0，y0))|PF|＝x0＋eq\f(p,2)|PF|＝－x0＋eq\f(p,2)|PF|＝y(tǒng)0＋eq\f(p,2)|PF|＝－y0＋eq\f(p,2)歸納拓展拋物線焦點(diǎn)弦的處理規(guī)律如圖，直線AB過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F，交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，CA⊥l于C，BD⊥l于D，BM⊥AC于M，交OF于N，(l為拋物線的準(zhǔn)線)．則△HBD∽△HFQ∽△HAC∽△BFN∽△BAM等，且(1)y1y2＝－p2，x1x2＝eq\f(p2,4).(2)|AF|＝eq\f(p,1－cosα)，|BF|＝eq\f(p,1＋cosα)，弦長(zhǎng)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)(α為弦AB的傾斜角)；x1＋x2≥2eq\r(x1x2)＝p，即當(dāng)x1＝x2時(shí)，弦長(zhǎng)最短為2p.(3)eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p).(4)焦點(diǎn)弦端點(diǎn)與頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積：S△AOB＝eq\f(p2,2sinθ)＝eq\f(1,2)|AB||d|＝eq\f(1,2)|OF|·|y1－y2|.(5)以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切．(6)焦點(diǎn)F對(duì)A，B在準(zhǔn)線上射影的張角為90°.(7)A、O、D三點(diǎn)共線；B、O、C三點(diǎn)共線．(8)已知拋物線y2＝2px(p>0)，過點(diǎn)M(2p,0)作直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則OA⊥OB；過原點(diǎn)O作兩條互相垂直的直線分別交拋物線于A，B兩點(diǎn)(即OA⊥OB)，則直線AB必過定點(diǎn)(2p,0)．雙基自測(cè)題組一走出誤區(qū)1．判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡一定是拋物線．(×)(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲線是焦點(diǎn)在x軸上的拋物線，且其焦點(diǎn)坐標(biāo)是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0))，準(zhǔn)線方程是x＝－eq\f(a,4).(×)(3)拋物線既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形．(×)(4)AB為拋物線y2＝2px(p>0)的過焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2，弦長(zhǎng)|AB|＝x1＋x2＋p.(√)(5)過拋物線的焦點(diǎn)與拋物線對(duì)稱軸垂直的直線被拋物線截得的線段叫做拋物線的通徑，那么拋物線x2＝－2ay(a>0)的通徑長(zhǎng)為2a.(√題組二走進(jìn)教材2．(選擇性必修1P135例4)過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)且傾斜角為eq\f(π,4)的直線l交拋物線于A、B，則|AB|＝(B)A．9 B．8C．7 D．6[解析]由題意知l：y＝x－1，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x－1,y2＝4x))得x2－6x＋1＝0，∴x1＋x2＝6，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.故選B.3．(多選題)(選擇性必修1P136T1)過點(diǎn)M(5，－4)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(BC)A．x2＝－eq\f(4,25)y B．x2＝－eq\f(25,4)yC．y2＝eq\f(16,5)x D．y2＝eq\f(5,16)x[解析]若拋物線的對(duì)稱軸為y軸，設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－2py，則25＝8p，∴p＝eq\f(25,8)，拋物線方程為x2＝－eq\f(25,4)y，若拋物線的對(duì)稱軸為x軸，設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝2px，則16＝10p，∴p＝eq\f(8,5)，拋物線方程為y2＝eq\f(16,5)x，故選BC.題組三走向高考4．(2021·全國(guó)新高考Ⅰ)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，P為C上一點(diǎn)，PF與x軸垂直，Q為x軸上一點(diǎn)，且PQ⊥OP，若eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(FQ))＝6，則C的準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f(3,2).[解析]不妨設(shè)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，p))，∴Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6＋\f(p,2)，0))，eq\o(PQ,\s\up6(→))＝(6，－p)，因?yàn)镻Q⊥OP，所以eq\f(p,2)×6－p2＝0，∵p>0，∴p＝3，∴C的準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f(3,2).故答案為x＝－eq\f(3,2).5．(多選題)(2022·全國(guó)高考真題)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(1,1)在拋物線C：x2＝2py(p>0)上，過點(diǎn)B(0，－1)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，則(BCD)A．C的準(zhǔn)線為y＝－1 B．直線AB與C相切C．|OP|·|OQ|>|OA|2 D．|BP|·|BQ|>|BA|2[解析]將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線方程得1＝2p，所以拋物線方程為x2＝y(tǒng)，故準(zhǔn)線方程為y＝－eq\f(1,4)，A錯(cuò)誤；kAB＝eq\f(1－－1,1－0)＝2，所以直線AB的方程為y＝2x－1，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x－1,x2＝y(tǒng)))，可得x2－2x＋1＝0，Δ＝4－4＝0，故B正確；設(shè)過B的直線為l，若直線l與y軸重合，則直線l與拋物線C只有一個(gè)交點(diǎn)，所以直線l的斜率存在，設(shè)其方程為y＝kx－1，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1,x2＝y(tǒng)))，得x2－kx＋1＝0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝k2－4>0,x1＋x2＝k,x1x2＝1))，所以k>2或k<－2，y1y2＝(x1x2)2＝1，又|OP|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))＝eq\r(y1＋y\o\al(2,1))，|OQ|＝eq\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))＝eq\r(y2＋y\o\al(2,2))，所以|OP|·|OQ|＝eq\r(y1y21＋y11＋y2)＝eq\r(kx1·kx2)＝|k|>2＝|OA|2，故C正確；因?yàn)閨BP|＝eq\r(1＋k2)|x1|，|BQ|＝eq\r(1＋k2)|x2|，所以|BP|·|BQ|＝(1＋k2)|x1x2|＝1＋k2>5，而|BA|2＝5，故D正確．故選BCD.考點(diǎn)一拋物線的定義及應(yīng)用——多維探究角度1軌跡問題例1動(dòng)圓與定圓A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且和直線x＝1相切，則動(dòng)圓圓心的軌跡是(D)A．直線 B．橢圓C．雙曲線 D．拋物線[解析]設(shè)動(dòng)圓的圓心為C半徑為r，則C到定圓A：(x＋2)2＋y2＝1的圓心的距離等于r＋1，而動(dòng)圓的圓心到直線x＝1的距離等于r，所以動(dòng)圓到直線x＝2距離為r＋1，即動(dòng)圓圓心到定點(diǎn)(－2,0)和定直線x＝2的距離相等，根據(jù)拋物線的定義知，動(dòng)圓的圓心軌跡為拋物線，所以答案為D.角度2到焦點(diǎn)與到定點(diǎn)距離之和最小問題例2(2021·河北保定七校聯(lián)考)已知M是拋物線x2＝4y上一點(diǎn)，F(xiàn)為其焦點(diǎn)，C為圓(x＋1)2＋(y－2)2＝1的圓心，則|MF|＋|MC|的最小值為(B)A．2 B．3C．4 D．5[解析]設(shè)拋物線x2＝4y的準(zhǔn)線方程為l：y＝－1，C為圓(x＋1)2＋(y－2)2＝1的圓心，所以C的坐標(biāo)為(－1,2)，過M作l的垂線，垂足為E，根據(jù)拋物線的定義可知|MF|＝|ME|，所以問題求|MF|＋|MC|的最小值，就轉(zhuǎn)化為求|ME|＋|MC|的最小值，由平面幾何的知識(shí)可知，當(dāng)C，M，E在一條直線上時(shí)，此時(shí)CE⊥l，|ME|＋|MC|有最小值，最小值為|CE|＝2－(－1)＝3，故選B.[引申]本例中，(ⅰ)|MC|－|MF|的最大值為eq\r(2)；最小值為－eq\r(2)；(ⅱ)若N為⊙C上任一點(diǎn)，則|MF|＋|MN|的最小值為_2__.角度3到準(zhǔn)線與到定點(diǎn)距離之和最小問題例3(2023·四川大學(xué)附中期中)設(shè)點(diǎn)P是拋物線C1：x2＝4y上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M是圓C2：(x－5)2＋(y＋4)2＝4上的動(dòng)點(diǎn)，d是點(diǎn)P到直線y＝－2的距離，則d＋|PM|的最小值是(B)A．5eq\r(2)－2 B．5eq\r(2)－1C．5eq\r(2) D．5eq\r(2)＋1[解析]拋物線C1：x2＝4y的焦點(diǎn)為F(0,1)，∴d＋|PM|＝|PF|＋1＋|PC2|－2＝|PF|＋|PC2|－1≥|PC2|－1＝5eq\r(2)－1.(當(dāng)且僅當(dāng)F、P、C2共線時(shí)取等號(hào))．故選B.角度4到兩定直線的距離之和最小問題例4(2022·陜西西安質(zhì)檢)已知直線l：4x－3y＋6＝0，拋物線y2＝8x上一動(dòng)點(diǎn)P(x0，y0)到直線l的距離為d，則d＋|x0|的最小值是eq\f(4,5).[解析]如下圖示：若PC⊥直線l，PB⊥拋物線準(zhǔn)線且交y軸于A點(diǎn)，則d＝|PC|，|x0|＝|PA|，由拋物線定義知：|PF|＝|PB|＝|PA|＋eq\f(p,2)，則|PA|＝|PF|－eq\f(p,2)＝|PF|－2，所以d＋|x0|＝|PC|＋|PF|－2，要使目標(biāo)式最小，即|PC|＋|PF|最小，當(dāng)F，P，C共線時(shí)，又F(2,0)，此時(shí)(d＋|x0|)min＝eq\f(|8－0＋6|,5)－2＝eq\f(4,5).名師點(diǎn)撥MINGSHIDIANBO利用拋物線的定義可解決的常見問題(1)軌跡問題：用拋物線的定義可以確定動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)、定直線距離有關(guān)的軌跡是否為拋物線．(2)距離問題：涉及拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和到準(zhǔn)線的距離問題時(shí)，注意在解題中利用兩者之間的關(guān)系進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化．注：看到準(zhǔn)線想焦點(diǎn)，看到焦點(diǎn)想準(zhǔn)線，這是解決拋物線焦點(diǎn)弦有關(guān)問題的重要途徑．〔變式訓(xùn)練1〕(1)(角度1)到定點(diǎn)A(0,2)的距離比到定直線l：y＝－1大1的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為_x2＝8y__.(2)(角度2)(2021·吉林省吉林市調(diào)研)已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F，點(diǎn)A(4,3)，P為拋物線上一點(diǎn)，且P不在直線AF上，則△PAF周長(zhǎng)取最小值時(shí)，線段PF的長(zhǎng)為(B)A．1 B．eq\f(13,4)C．5 D．eq\f(21,4)(3)(角度3)(2021·山西大學(xué)附中模擬)已知點(diǎn)Q(2eq\r(2)，0)及拋物線y＝eq\f(x2,4)上一動(dòng)點(diǎn)P(x，y)，則y＋|PQ|的最小值是_2__.(4)(角度4)(2021·上海虹口區(qū)二模)已知直線l1：4x－3y＋6＝0和直線l2：x＝－1，拋物線y2＝4x上一動(dòng)點(diǎn)P到直線l1和l2的距離之和的最小值為(C)A.eq\f(37,16) B．eq\f(11,5)C．2 D．eq\f(7,4)[解析](1)由題意知P到A的距離等于其到直線y＝－2的距離，故P的軌跡是以A為焦點(diǎn)，直線y＝－2為準(zhǔn)線的拋物線，所以其方程為x2＝8y.(2)求△PAF周長(zhǎng)的最小值，即求|PA|＋|PF|的最小值，設(shè)點(diǎn)P在準(zhǔn)線上的射影為D，根據(jù)拋物線的定義，可知|PF|＝|PD|，因此，|PA|＋|PF|的最小值，即|PA|＋|PD|的最小值．根據(jù)平面幾何知識(shí)，可得當(dāng)D，P，A三點(diǎn)共線時(shí)|PA|＋|PD|最小，此時(shí)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)，3))，且|PF|＝eq\f(9,4)＋1＝eq\f(13,4)，故選B.(3)拋物線y＝eq\f(x2,4)即x2＝4y，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(0,1)，準(zhǔn)線方程為y＝－1.因?yàn)辄c(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2eq\r(2)，0)，所以|FQ|＝eq\r(2\r(2)2＋12)＝3.過點(diǎn)P作準(zhǔn)線的垂線PH，交x軸于點(diǎn)D，如圖所示．結(jié)合拋物線的定義，有y＋|PQ|＝|PD|＋|PQ|＝|PH|＋|PQ|－1＝|PF|＋|PQ|－1≥|FQ|－1＝3－1＝2，即y＋|PQ|的最小值是2.(4)直線l2：x＝－1是拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線，拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F(1,0)，則點(diǎn)P到直線l2：x＝－1的距離等于|PF|，過點(diǎn)F作直線l1：4x－3y＋6＝0的垂線，和拋物線的交點(diǎn)就是點(diǎn)P，所以點(diǎn)P到直線l1：4x－3y＋6＝0的距離和到直線l2：x＝－1的距離之和的最小值就是點(diǎn)F(1,0)到直線l1：4x－3y＋6＝0的距離，所以最小值為eq\f(|4－0＋6|,\r(32＋42))＝2，故選C.考點(diǎn)二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程——自主練透例5(1)過點(diǎn)P(－3,2)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝－eq\f(4,3)x或x2＝eq\f(9,2)y.(2)焦點(diǎn)在直線x－2y－4＝0上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_y2＝16x或x2＝－8y__，準(zhǔn)線方程為_x＝－4或y＝2__.(3)(2022·河南豫北名校模擬)已知拋物線y2＝2px(p>0)上一點(diǎn)A(2，y0)，F(xiàn)為焦點(diǎn)，直線FA交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)M，滿足2eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))，則拋物線方程為(C)A．y2＝8x B．y2＝16xC．y2＝24x D．y2＝32x[解析](1)設(shè)所求拋物線的方程為y2＝－2p1x(p1>0)或x2＝2p2y(p2>0)．∵拋物線過點(diǎn)(－3,2)，∴4＝－2p1·(－3)或9＝2p2·2.∴p1＝eq\f(2,3)或p2＝eq\f(9,4).∴所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝－eq\f(4,3)x或x2＝eq\f(9,2)y.(2)令x＝0，得y＝－2，令y＝0，得x＝4.∴拋物線的焦點(diǎn)為(4,0)或(0，－2)．當(dāng)焦點(diǎn)為(4,0)時(shí)，eq\f(p,2)＝4，∴p＝8，此時(shí)拋物線方程為y2＝16x；當(dāng)焦點(diǎn)為(0，－2)時(shí)，eq\f(p,2)＝2，∴p＝4，此時(shí)拋物線方程為x2＝－8y.∴所求的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝16x或x2＝－8y，對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線方程分別是x＝－4，y＝2.(3)解法1：作AB⊥x軸，則AB∥MK，因?yàn)?eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))，且A(2，y0)，所以eq\f(|AF|,|AM|)＝eq\f(|BF|,|BK|)＝eq\f(\f(p,2)－2,\f(p,2)＋2)＝eq\f(1,2)，即2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)－2))＝2＋eq\f(p,2)，解得p＝12，所以拋物線方程是y2＝24x，故選C.解法2：作AN垂直準(zhǔn)線l于N，則|AN|＝|AF|，又2eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))，∴|AN|＝eq\f(1,2)|AM|，∴∠AMN＝eq\f(π,6).∴|AF|＝eq\f(1,3)|MF|＝eq\f(2p,3)，即2＋eq\f(p,2)＝eq\f(2p,3)，∴p＝12.故拋物線方程為y2＝24x.故選C.解法3：由解法1與2知∠BFA＝eq\f(π,3)，∴|BA|＝eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)－2))，∴Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)－2))))，代入拋物線方程得3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)－2))2＝4p，解得p＝12或eq\f(4,3)(舍去)∴拋物線方程為y2＝24x，故選C.[引申](1)本例(3)中若直線FA交拋物線于另一點(diǎn)B，則|AB|＝_32__.(2)本例(3)中若將“2eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))”改為“2|FA|＝|AM|”則拋物線方程為y2＝24x或y2＝eq\f(8,3)x.[解析](1)由p＝12知|AF|＝8，又eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,12)，∴|BF|＝24，∴|AB|＝32.(2)若A在第四象限，拋物線方程為y2＝24x，若A在第一象限，同理可求得拋物線方程為y2＝eq\f(8,3)x.名師點(diǎn)撥MINGSHIDIANBO求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程常用待定系數(shù)法，若焦點(diǎn)位置確定，因?yàn)槲粗獢?shù)只有p，所以只需一個(gè)條件確定p值即可．(2)因?yàn)閽佄锞€方程有四種標(biāo)準(zhǔn)形式，因此求拋物線方程時(shí)，需先定位，再定量．一般焦點(diǎn)在x軸上的拋物線的方程可設(shè)為y2＝ax(a≠0)；焦點(diǎn)在y軸上的拋物線的方程可設(shè)為x2＝ay(a≠0)．注：數(shù)形結(jié)合解題時(shí)，注意圖形的對(duì)稱性，不要丟解．已知焦點(diǎn)坐標(biāo)或準(zhǔn)線方程可確定拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式；已知拋物線過某點(diǎn)不能確定拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，需根據(jù)四種拋物線的圖形及開口方向確定．〔變式訓(xùn)練2〕(1)(2022·重慶沙坪壩區(qū)模擬)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)(p,0)且垂直于x軸的直線與拋物線C在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為A，若|AF|＝1，則拋物線C的方程為(A)A．y2＝eq\f(4,3)x B．y2＝2xC．y2＝3x D．y2＝4x(2)(2021·安徽蚌埠一中期中)已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，其上的點(diǎn)P(m，－3)到焦點(diǎn)的距離為5，則拋物線方程為(D)A．x2＝8y B．x2＝4yC．x2＝－4y D．x2＝－8y[解析](1)由題意知xA＝p，又|AF|＝xA＋eq\f(p,2)＝eq\f(3p,2)＝1，∴p＝eq\f(2,3)，∴拋物線C的方程為y2＝eq\f(4,3)x，故選A.(2)由題意可知拋物線的焦點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上，故設(shè)其方程為x2＝－2py(p>0)，所以3＋eq\f(p,2)＝5，即p＝4，所以所求拋物線方程為x2＝－8y，故選D.考點(diǎn)三拋物線的幾何性質(zhì)——師生共研例6(1)(2021·全國(guó)高考真題)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)到直線y＝x＋1的距離為eq\r(2)，則p＝(B)A．1 B．2C．2eq\r(2) D．4(2)(2022·山東煙臺(tái)、德州模擬)已知點(diǎn)F為拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線上且橫坐標(biāo)為8，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△OFP的面積為2eq\r(2)，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為(B)A．x＝－eq\f(1,2) B．x＝－1C．x＝－2 D．x＝－4(3)(2023·河南百校聯(lián)盟摸底)已知傾斜角為60°的直線l過拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F，且與C交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在第一象限)，若|AF|＝3，則|BF|＝_1__.(4)(2023·河南“頂尖計(jì)劃”聯(lián)考)設(shè)拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A、B在拋物線上，若AF⊥x軸，且|BF|＝2|AF|，則∠AFB＝(A)A.eq\f(π,6)或eq\f(5π,6) B．eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)C.eq\f(π,4)或eq\f(3π,4) D．eq\f(π,2)[解析](1)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，其到直線x－y＋1＝0的距離：d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)－0＋1)),\r(1＋1))＝eq\r(2)，解得：p＝2(p＝－6舍去)．故選B.(2)設(shè)P(8，y0)，則由題意知y0＝4eq\r(p)，∴eq\f(1,2)|OF|·y0＝2eq\r(2).即peq\r(p)＝2eq\r(2)，∴p＝2.∴拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－1，故選B.(3)如圖，分別過點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線的垂線，垂足為M，N，過點(diǎn)B作AM的垂線，垂足為E，設(shè)|BF|＝x，易得∠ABE＝30°，則|AE|＝eq\f(1,2)(3＋x)，由拋物線的性質(zhì)可得|AM|＝|AF|，|BN|＝|BF|＝|ME|，所以，x＋eq\f(1,2)(3＋x)＝3，解得x＝1，故|BF|＝1.(4)如圖由題意知Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，p))，∴|BF|＝2p，從而xB＝eq\f(3,2)p.∴cos∠xFB＝eq\f(p,2p)＝eq\f(1,2)，∴∠xFB＝eq\f(π,3)，∴∠AFB＝eq\f(π,2)＋eq\f(π,3)＝eq\f(5π,6).由拋物線對(duì)稱性知當(dāng)B在第一象限時(shí)∠AFB＝eq\f(π,2)－eq\f(π,3)＝eq\f(π,6).故選A.名師點(diǎn)撥MINGSHIDIANBO1．求拋物線的焦點(diǎn)及準(zhǔn)線方程的步驟：(1)把拋物線解析式化為標(biāo)準(zhǔn)方程形式；(2)明確拋物線開口方向；(3)求出拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中參數(shù)p的值；(4)寫出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)或準(zhǔn)線方程．2．解決拋物線的焦點(diǎn)弦問題時(shí)，要注意拋物線定義的應(yīng)用，通過定義將焦點(diǎn)弦長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為端點(diǎn)的坐標(biāo)問題，從而可借助根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解．3．在解決與拋物線的性質(zhì)有關(guān)的問題時(shí)，要注意利用幾何圖形形象、直觀的特點(diǎn)來解題，特別是涉及焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、準(zhǔn)線的問題更是如此．注意拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離與到準(zhǔn)線距離的轉(zhuǎn)化，關(guān)注圖中的直角梯形(直角三角形)．〔變式訓(xùn)練3〕(1)(2020·全國(guó)高考真題)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線x＝2與拋物線C：y2＝2px(p>0)交于D，E兩點(diǎn)，若OD⊥OE，則C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(B)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))C．(1,0) D．(2,0)(2)(2022·云南曲靖模擬)拋物線y2＝2px(p>0)過圓x2＋y2－4x＋8y＋19＝0的圓心，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為_x＋2＝0__.(3)(2020·山東、海南高考真題)斜率為eq\r(3)的直線過拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，且與C交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝eq\f(16,3).(4)(2023·安徽卓越縣中聯(lián)盟聯(lián)考)過拋物線E：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線l與E交于A，B兩點(diǎn)，若eq\o(AF,\s\up6(→))＝3eq\o(FB,\s\up6(→))，則l的傾斜角θ＝(D)A.eq\f(π,2) B．eq\f(π,4)或eq\f(3π,4)C.eq\f(π,6)或eq\f(5π,6) D．eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)[解析](1)因?yàn)橹本€x＝2與拋物線y2＝2px(p>0)交于E，D兩點(diǎn)，且OD⊥OE，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可以確定∠DOx＝∠EOx＝eq\f(π,4)，所以D(2,2)，代入拋物線方程4＝4p，求得p＝1，所以其焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，故選B.(2)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y＋4)2＝1，圓心坐標(biāo)為(2，－4)，將圓心坐標(biāo)代入拋物線方程可得2p×2＝(－4)2，解得p＝4，因此，該拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－2.(3)∵拋物線的方程為y2＝4x，∴拋物線的焦點(diǎn)F坐標(biāo)為F(1,0)，又∵直線AB過焦點(diǎn)F且斜率為eq\r(3)，∴直線AB的方程為：y＝eq\r(3)(x－1)代入拋物線方程消去y并化簡(jiǎn)得3x2－10x＋3＝0，解法一：解得x1＝eq\f(1,3)，x2＝3，所以|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋3)·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(3－\f(1,3)))＝eq\f(16,3).解法二：Δ＝100－36＝64>0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝eq\f(10,3)，過A，B分別作準(zhǔn)線x＝－1的垂線，設(shè)垂足分別為C，D如圖所示．|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AC|＋|BD|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝eq\f(16,3).(4)如圖作AM⊥l1于M，BN⊥l1于N，BH⊥AM于H，(l1為準(zhǔn)線)．設(shè)|eq\o(BF,\s\up6(→))|＝a，由eq\o(AF,\s\up6(→))＝3eq\o(FB,\s\up6(→))，知|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝4a，|eq\o(AH,\s\up6(→))|＝2a，∴∠HAB＝eq\f(π,3)，∴l(xiāng)的傾斜角為eq\f(π,3)，同理當(dāng)A在第四象限時(shí)，l的傾斜角為eq\f(2π,3).故選D.考點(diǎn)四直線與拋物線的綜合問題——師生共研例7(1)(多選題)(2023·湖南湘潭摸底)已知直線l：y＝k(x－1)(k≠0)與拋物線C：y2＝4x交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)是M(m,1)，則(AC)A．k＝2 B．m＝3C．|AB|＝5 D．OA⊥OB(2)(2023·廣東佛山順德區(qū)質(zhì)檢)已知?jiǎng)訄AC經(jīng)過點(diǎn)F(1,0)，且與直線x＝－1相切，記動(dòng)圓C圓心的軌跡為E.①求E的方程；②已知P(4，y0)(y0>0)是曲線E上一點(diǎn)，A，B是曲線E上異于點(diǎn)P的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線PA、PB的傾斜角分別為α、β，且α＋β＝eq\f(3π,4)，請(qǐng)問：直線AB是否經(jīng)過定點(diǎn)？若是，請(qǐng)求出該定點(diǎn)，若不是，請(qǐng)說明理由．[解析](1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1,y2＝4x))，得y2－eq\f(4,k)y－4＝0，所以y1＋y2＝eq\f(4,k)＝2，y1·y2＝－4，所以k＝2，又點(diǎn)M(m,1)在直線l上，所以m＝eq\f(3,2)，所以A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)橹本€l經(jīng)過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，所以|AB|＝x1＋x2＋2＝5，所以C正確；對(duì)于D，因?yàn)閥1·y2＝－4，所以x1·x2＝eq\f(y\o\al(2,1),4)·eq\f(y\o\al(2,2),4)＝1，所以eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝－3.所以D錯(cuò)誤，故選AC.(2)①設(shè)動(dòng)圓C的圓心為(x，y)，則依題意得：eq\r(x－12＋y2)＝|x＋1|，化簡(jiǎn)得：y2＝4x，即E的方程為y2＝4x.②因?yàn)镻(4，y0)(y0>0)是曲線E上一點(diǎn)，所以yeq\o\al(2,0)＝4×4＝16，所以y0＝4，所以P(4,4)，當(dāng)α、β中有一個(gè)為eq\f(π,2)時(shí)，不妨設(shè)α＝eq\f(π,4)，則β＝eq\f(π,2)，此時(shí)B(4，－4)，直線PA方程為：y＝x，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝x，))解得A(0,0)，直線AB方程為：x＋y＝0，當(dāng)α、β都不為eq\f(π,2)時(shí)，設(shè)直線PA、PB的斜率分別為k1，k2，設(shè)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,1),4)，y1))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,2),4)，y2))，所以k1＝eq\f(y1－4,\f(1,4)y\o\al(2,1)－4)＝eq\f(4,y1＋4).同理可得k2＝eq\f(4,y2＋4).因?yàn)棣粒拢絜q\f(3π,4)，所以tan(α＋β)＝－1.所以eq\f(tanα＋tanβ,1－tanα·tanβ)＝－1.所以eq\f(k1＋k2,1－k1·k2)＝－1，即k1＋k2－k1·k2＋1＝0，所以eq\f(4,y1＋4)＋eq\f(4,y2＋4)－eq\f(4,y1＋4)·eq\f(4,y2＋4)＋1＝0，即8(y1＋y2)＋y1·y2＋32＝0，依題意可設(shè)直線AB方程為：x＝ty＋n，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x,x＝ty＋n))，消x整理得：y2－4ty－4n＝0，所以Δ＝16t2＋16n>0，y1＋y2＝4t，y1·y2＝－4n，所以32t－4n＋32＝0，即n＝8t＋8，所以x＝ty＋n＝ty＋8t＋8＝t(y＋8)＋8，令y＋8＝0得y＝－8，x＝8，而x＝8，y＝－8也滿足x＋y＝0，所以直線AB經(jīng)過定點(diǎn)Q(8，－8)．名師點(diǎn)撥MINGSHIDIANBO(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要將兩方程聯(lián)立，消元，用根與系數(shù)的關(guān)系“整體代入”求解．注意根據(jù)拋物線方程確定消x還是消y，一般消一次項(xiàng)變量．(2)求解拋物線的弦長(zhǎng)問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn)．若過拋物線的焦點(diǎn)(設(shè)焦點(diǎn)在x軸的正半軸上)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點(diǎn)，則必須用一般弦長(zhǎng)公式．(3)“中點(diǎn)弦”問題的處理方法——點(diǎn)差法．〔變式訓(xùn)練4〕(1)(2023·廣東清中、河中、北中、惠中聯(lián)考)已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A，B是拋物線C上不同兩點(diǎn)，且A，B中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則|AF|＋|BF|＝(C)A．4 B．5C．6 D．8(2)(2022·遼寧名校聯(lián)盟聯(lián)考)已知拋物線C：x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，拋物線上一點(diǎn)A(m,2)(m>0)到F的距離為3.①求拋物線C的方程和點(diǎn)A的坐標(biāo)；②設(shè)斜率為k的直線l過點(diǎn)B(2,0)，且與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，若eq\o(BM,\s\up6(→))＝λeq\o(BN,\s\up6(→))，λ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，4))，求斜率k的取值范圍．[解析](1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由A，B中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，可得x1＋x2＝4，所以|AF|＋|BF|＝x1＋1＋x2＋1＝6.故選C.(2)①由題意知2＋eq\f(p,2)＝3，得p＝2，所以拋物線C的方程為x2＝4y.將點(diǎn)A(m,2)(m>0)代入x2＝4y，得m＝2eq\r(2).所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2eq\r(2)，2)．②直線l：y＝k(x－2)與拋物線C：x2＝4y聯(lián)立，消去y得x2－4kx＋8k＝0，Δ＝16k2－32k>0，解得k<0或k>2.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則有x1＋x2＝4k，x1x2＝8k，eq\o(BM,\s\up6(→))＝(x1－2，y1)，eq\o(BN,\s\up6(→))＝(x2－2，y2)，則y1＝λy2，即λ＝eq\f(y1,y2)，因?yàn)閤eq\o\al(2,1)＝4y1，xeq\o\al(2,2)＝4y2，所以λ＝eq\f(x\o\al(2,1),x\o\al(2,2))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1,x2)))2∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，4))，則eq\f(x1,x2)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，因?yàn)閑q\f(x1＋x22,x1x2)＝eq\f(x1,x2)＋eq\f(x2,x1)＋2＝eq\f(16k2,8k)＝2k，設(shè)t＝eq\f(x1,x2)，則2k＝t＋eq\f(1,t)＋2，因?yàn)閠∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，則t＋eq\f(1,t)∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，－2))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5,2)))，所以k∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，0))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(9,4)))，又因?yàn)閗<0或k>2，所以k的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，0))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(9,4))).巧解拋物線的切線問題例8(1)(多選題)(2023·湖北九師聯(lián)盟聯(lián)考)已知拋物線C：x2＝－8y的焦點(diǎn)為F，過F的直線l與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，分別過A，B兩點(diǎn)作C的切線l1，l2，且l1，l2相交于點(diǎn)P，則(BCD)A．|PF|＝4B．點(diǎn)P在直線y＝2上C．△PAB為直角三角形D．△PAB面積的最小值為16(2)(2022·河南鄭州質(zhì)檢)已知拋物線C：x2＝4y，過拋物線外一點(diǎn)N作拋物線C的兩條切線，A，B是切點(diǎn)．①若點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為－2，求證：直線AB恒過定點(diǎn)；②若|AB|＝m(m>0)，求△ABN面積的最大值(結(jié)果用m表示)．[解析](1)由題可知，拋物線C：x2＝－8y的焦點(diǎn)F(0，－2)，顯然直線l的斜率存在，設(shè)直線方程為y＝kx－2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－2,x2＝－8y))，消去y并整理得x2＋8kx－16＝0，∴x1＋x2＝－8k，x1x2＝－16，由C：x2＝－8y得，y＝－eq\f(1,8)x2，∴y′＝－eq\f(1,4)x，故切線PA的方程為：y＋eq\f(1,8)xeq\o\al(2,1)＝－eq\f(1,4)x1(x－x1)①故切線PB的方程為：y＋eq\f(1,8)xeq\o\al(2,2)＝－eq\f(1,4)x2(x－x2)②聯(lián)立①②得x0＝eq\f(x1＋x2,2)＝－4k，y0＝2，∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，2))，∴P(－4k,2)，對(duì)于A，∵P(－4k,2)，F(xiàn)(0，－2)，∴|PF|＝eq\r(0＋4k2＋－2－22)＝4eq\r(k2＋1)≥4，故A不正確；對(duì)于B，∵P(－4k,2)，顯然點(diǎn)P在直線y＝2上，故B正確；對(duì)于C，∵eq\o(PA,\s\up6(→))＝(x1＋4k，y1－2)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(x2＋4k，y2－2)，y1＝－eq\f(1,8)xeq\o\al(2,1)，y2＝－eq\f(1,8)xeq\o\al(2,2)，∴eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝(x1＋4k)(x2＋4k)＋(y1－2)(y2－2)＝x1x2＋4k(x1＋x2)＋16k2＋y1y2－2(y1＋y2)＋4，將y1y2＝eq\f(1,64)xeq\o\al(2,1)xeq\o\al(2,2)，y1＋y2＝－eq\f(1,8)((x1＋x2)2－2x1x2)，且x1＋x2＝－8k，x1x2＝－16，代入上式化簡(jiǎn)得：∴eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝0，∴PA⊥PB，∴△PAB為直角三角形，故C正確；對(duì)于D，P到直線l的距離為：d＝eq\f(|－4k2－4|,\r(1＋k2))＝4eq\r(1＋k2)，|AB|＝eq\r(1＋k2)eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝8(1＋k2)，∴S△PAB＝eq\f(1,2)d|AB|＝16(1＋k2)eq\f(3,2)，當(dāng)k＝0時(shí)，(S△PAB)min＝16，故D正確．故選BCD.(2)①設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y＝eq\f(1,4)x2得：y′＝eq\f(1,2)x，則直線NA的斜率為eq\f(x1,2)，則直線NA的方程為：y－y1＝eq\f(x1,2)(x－x1)，整理得x1x－2y＋2y1－xeq\o\al(2,1)＝0，由于xeq\o\al(2,1)＝4y1，即x1x－2y－2y1＝0，同理可得，直線NB的方程為：x2x－2y－2y2＝0，又直線NA和直線NB都過N(x0，y0)，則x1x0＝2(y0＋y1)，x2x0＝2(y0＋y2)，從而A(x1，y1)，B(x2，y2)均在方程x0x＝2(y0＋y)表示的直線上，故直線AB的方程為x0x＝2(y0＋y)，其中y0＝－2，直線AB的方程為：x0(x－0)＝2(y－2)，則直線AB恒過定點(diǎn)(0,2)．②設(shè)N(x0，y0)，則由上述結(jié)論知：直線AB的方程為：x0x＝2(y＋y0)，把它與拋物線x2＝4y聯(lián)立得：x2－2x0x＋4y0＝0，其中Δ＝4xeq\o\al(2,0)－16y0>0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由韋達(dá)定理得x1＋x2＝2x0，x1x2＝4y0，則|AB|＝eq\r(1＋\f(x\o\al(2,0),4))|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(x\o\al(2,0),4))eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(x\o\al(2,0)＋4x\o\al(2,0)－4y0)＝m，則xeq\o\al(2,0)－4y0＝eq\f(m2,x\o\al(2,0)＋4)，又∵點(diǎn)N