2021屆寧夏石嘴山市第三中學(xué)高三四模數(shù)學(xué)（理）試題

一、單選題

1.已知集合"={0,1,2},N={x|x<2},則〃=（）

A.{0}B.{x|x<2}C.{0,1}D.{x|x<2}

答案:D

根據(jù)集合并集的概念及運(yùn)算，即可求解.

由題意，集合何={0,1,2）,N={x|x<2},

根據(jù)集合并集的概念及運(yùn)算，可得MUN={X|X42}.

故選：D.

2.設(shè)a=3"2,方=Iogo,2（）.3,c=tanq-,貝（］（）

A.a<b<cB.c<b<a

C.b<c<aD.c<a<b

答案：B

通過(guò)中間值0和1與進(jìn)行比較，然后可得〃，仇c的大小關(guān)系.

因?yàn)槿?所以tan^vO；

因?yàn)?.2<0.3<1,所以O(shè)cloggOJcl；

因?yàn)?°2>3°=1,所以。>b>c.

故選：B.

3.2021年3月12日是全國(guó)第43個(gè)植樹(shù)節(jié)，為提高大家愛(ài)勞動(dòng)的意識(shí)，某中學(xué)組織開(kāi)展植樹(shù)活動(dòng),

并收集了高三年級(jí)rn班植樹(shù)量的數(shù)據(jù)（單位：棵），繪制了下面的折線圖.根據(jù)折線圖，下列結(jié)

論不正確的是（）

A.各班植樹(shù)的棵數(shù)不是逐班增加的

B.4班植樹(shù)的棵數(shù)低于11個(gè)班的平均值

C.各班植樹(shù)棵數(shù)的中位數(shù)為6班對(duì)應(yīng)的植樹(shù)棵數(shù)

D.1至5班植樹(shù)的棵數(shù)相對(duì)于6至11班，波動(dòng)更小，變化比較平穩(wěn)

答案：C

從圖中直接觀察可以判定AD正確，結(jié)合平均數(shù)的定義，將比4班多的里面取出部分補(bǔ)到比4班少

的班中，可以使得4班的植樹(shù)量最少，從而判定B正確；結(jié)合中位數(shù)的定義可以判定C錯(cuò)誤.

從圖可知，2班的植樹(shù)量少于1班，8班的植樹(shù)量少于7班，故A正確；

4班的指數(shù)棵數(shù)為10,11個(gè)班中只有2、3、8班三個(gè)的植樹(shù)棵數(shù)少于10,且大于5棵，其余7個(gè)

班的植樹(shù)棵數(shù)都超過(guò)10棵，且有6、7、9、10、11班五個(gè)班的植樹(shù)棵數(shù)都不少于15棵，將這五

個(gè)班中的植樹(shù)棵數(shù)各取出5棵，加到2、3、8班中取，除4班外，其余各班的植樹(shù)棵數(shù)都超過(guò)了4

班，所以4班植樹(shù)的棵數(shù)低于11個(gè)班的平均值，故B正確；

比6班植樹(shù)多的只有9、10、11三個(gè)班，其余七個(gè)班都比6班少，故6班所對(duì)應(yīng)的植樹(shù)棵數(shù)不是

中位數(shù)，故C是錯(cuò)誤的；

1到5班的植樹(shù)棵數(shù)的極差在10以內(nèi)，6到11班的植樹(shù)棵數(shù)的極差超過(guò)了15,另外從圖明顯看出，

1至5班植樹(shù)的棵數(shù)相對(duì)于6至11班，波動(dòng)更小，變化比較平穩(wěn)，故D正確；

綜上，不正確的只有C,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查頻數(shù)折線圖的意義，涉及平均數(shù)，中位數(shù)，波動(dòng)大小的判定，難點(diǎn)是平均數(shù)的

估算，這里采用取長(zhǎng)補(bǔ)短法進(jìn)行估算，可以避免數(shù)字的計(jì)算.

4.我國(guó)古代的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記載：一年有二十四個(gè)節(jié)氣，每個(gè)節(jié)氣號(hào)（gul）

長(zhǎng)損益相同（號(hào)是按照日影測(cè)定時(shí)刻的儀器，號(hào)長(zhǎng)即為所測(cè)量影子的長(zhǎng)度）.二十四節(jié)氣及居長(zhǎng)變

化如圖所示，相鄰兩個(gè)節(jié)氣辱長(zhǎng)的變化量相同，周而復(fù)始.若冬至野長(zhǎng)一丈三尺五寸，夏至號(hào)長(zhǎng)

一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），則夏至之后第三個(gè)節(jié)氣（立秋）唇長(zhǎng)是（）

春分

/雨水臂_o；

立春3T.

60小滿

90夏至

秋分

長(zhǎng)逐漸變大

A.三尺B.三尺五寸C.四尺D.四尺五寸

答案：D

根據(jù)題意，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.

根據(jù)題意從冬至到夏至可知：唇長(zhǎng)為等差數(shù)列{%},公差為d,

由題意可知：6=135,<2,3=15,

所以有“13=4+124=15=>135+12〃=15nd=-10,

因?yàn)橄噜弮蓚€(gè)節(jié)氣辱長(zhǎng)的變化量相同，

所以當(dāng)夏至之后第三個(gè)節(jié)氣（立秋）辱長(zhǎng)是陽(yáng),=%+3同=15+3x10=45,

故選：D

5.如圖，ABCD-A8Gq為正方體，下面結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A-----------------------B

A.BO〃平面C8a

B.AC；±BD

C.ACJ平面CBQ

D.異面直線4）與M所成的角為60°

答案：D

在正方體中BD與BR平行，因此有BD與平面CB]D1平行，A正確；AC】在平面ABCD內(nèi)的射影AC

垂直于BD,因此有AC11BD,B正確；與B同理有AJ與BR,CBi垂直，從而AC11平面CBR,

C正確；由AD〃BC知AD與CB1所成角為45°,D錯(cuò).故選D.

6.雙曲線=的一個(gè)焦點(diǎn)到其漸近線的距離為警〃，則雙曲線的離心率為

A.在B.2C.延D.撞

5555

答案：C

因?yàn)殡p曲線5J=l（a>0力>0）的一個(gè)焦點(diǎn)F（O,c）到其漸近線力-以=0的距離為苧4,即

嚴(yán)|竺叫即〃=+此=拽4,即該雙曲線的離心率為e=￡=延；故選C.

y/a2+b25755a5

點(diǎn)睛：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)；在由雙曲線方程寫其漸近線方程時(shí)，往往先判定

該雙曲線的焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸，是哪種標(biāo)準(zhǔn)方程，比較麻煩；可記住一些結(jié)論，如：雙曲線鳥(niǎo)-4=1

ab~

的漸近線方程為4-4=0,以直線土-；=。為漸近線的雙曲線方程可設(shè)為W一￡=4％*0）.

CTb~abab-

7.已知a>0,b>0,向量〃2=（a+2〃一9）,〃=（8,次?），若而_LK貝!|2a+。的最小值為（）

A.9B.8C.-D.5

4

答案：B

由向量垂直的坐標(biāo)表示求得滿足的關(guān)系，然后由基本不等式求得最小值.

由題意m?〃=8（。+26）一9必=09即+2"=1,

9ab

又a>0,〃>0,

r/8（。+26）（2。+b）8（2<r/2+5ab+2b2）16ah4016.[a~~b40也口e

9ab9ab9ba99a9

當(dāng)2=3即a?時(shí)等號(hào)成立.

ab3

所以為+/7的最小值為8.

故選:B.

【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則

必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定

值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方

8.函數(shù)尸'M]-cos?[?Ink|的圖象可能是（）

化簡(jiǎn)函數(shù)式，分析函數(shù)定義域和奇偶性可排除兩個(gè)選項(xiàng)，再取特殊值排除一個(gè)即可得解.

函數(shù)/(x)=y=(sin2^-cos2^)-ln|x|=-cosx/n|x|定義域這(Y>,0)U(0，+8),

/(-x)=-cos(-x).In|-x|=-cosx-In|x|=/(x),即f(x)是偶函數(shù)，由上述兩方面可排除選項(xiàng)C,D,

而/S)=-cos%-ln|/|=ln乃<2,排除選項(xiàng)B,只有選項(xiàng)A符合要求.

故選：A.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)圖象的辨識(shí)可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位

置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；(3)從函數(shù)

的奇偶性,判斷圖象的對(duì)稱性；(4)從函數(shù)的特征點(diǎn),排除不合要求的圖象.

9.已知等比數(shù)列｛《,｝中，4aA=64,%=32,若+/恒成立，則實(shí)數(shù)/的最大值為()

A.-16B.16C.-20D.20

答案：A

由條件求得等比數(shù)列通項(xiàng)，將恒成立不等式移項(xiàng)，利用單調(diào)性來(lái)判斷最值情況，從而求得參數(shù)最

大值.

因?yàn)榈鸟T二^二64，所以4=4,

又％=32,所以g3=F=8,解得q=2,所以

所以2a,28n+1恒成立等價(jià)于2”-8〃之「恒成立，

令"=2"-8”，則%-4=2"-8,

當(dāng)〃<3時(shí)，bn+t-bn<0;當(dāng)〃=3時(shí)，b4-b,=0.

當(dāng)鹿>3時(shí)，b—,

所以4>b2>b3周<b5<b6<-?-,

所以電)而?=4=d=-16,所以Y-16,即實(shí)數(shù)f的最大值為-16,

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求得等比數(shù)列通項(xiàng)公式，作差法求得b?=2n-8n的單調(diào)性，從而求解參數(shù)最

值.

10.拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為尸，過(guò)F且斜率為k的直線/交拋物線于A、8兩點(diǎn)，分別以

FA.所為直徑作。M、ON,不過(guò)廠點(diǎn)的。M、ON的兩條公切線交于點(diǎn)Q,兩公切線分別

切。M于S、T,NSQT=60,貝1］幺=()

A.±1B.土④'C.土相D.±2

答案：C

分析出軸為。M、0N的一條公切線，由圓的幾何性質(zhì)結(jié)合NSQ7=60可得出NSQM=30,

可得出直線/的傾斜角，進(jìn)而可求得直線/的斜率.

因?yàn)镸為E4的中點(diǎn)，由拋物線的定義可知：|硒=4+5=2%,故。M與y軸相切，

同理，ON與y軸相切，故y軸是。M、ON的一條公切線，

由圓的幾何性質(zhì)可知直線/與.V軸交點(diǎn)為Q,不妨設(shè)圓M與V軸相切于S,

則由NSQT=60=>ZSQM=30n直線/的傾斜角為60或120,所以k=±百.

故選：C.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用兩圓的公切線求直線的斜率，本題中，分析出>軸為兩圓的一

條公切線，并借助圓的幾何性質(zhì)求出直線的傾斜角是解題的關(guān)鍵，在求解解析幾何的相關(guān)問(wèn)題時(shí),

利用圓的幾何性質(zhì)對(duì)一些圖形的幾何特征進(jìn)行分析，可以達(dá)到簡(jiǎn)化計(jì)算的目的.

jr%冗

11.設(shè)函數(shù)/(x)=2sin?x+a)-13>0),若對(duì)于任意實(shí)數(shù)。，/(x)在區(qū)間“亍上至少有2個(gè)

零點(diǎn)，至多有3個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍是()

「816、「“16、「，20、「820A

A.B.4,—C.4,—D.二，工

[33JL3)L3)[33J

答案：B

只需要研究sinr=1的根的情況，借助于y=sin/和y的圖像，根據(jù)交點(diǎn)情況，列不

等式組，解出。的取值范圍.

令/(x)=0,則sin((wx+e)=；

令t=(ox+(p,貝Ijsinr」

2

則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為y=sinr在區(qū)間[工。+8,紅。+J上至少有兩個(gè)，至少有三個(gè)t,使得sinE匚，求。

_44J2

的取值范圍.

解得:4<69<^.

故選：B

【點(diǎn)睛】研究產(chǎn)Asin(3x+6)+B的性質(zhì)通常用換元法(令r=蛆+S),轉(zhuǎn)化為研究y=sin/的圖像

和性質(zhì)較為方便.

「2J-V,_5_y(I

12.已知函數(shù)〃x)="-,若940,羽>0,使/(幻+/(W)=0成立，貝"的取值

21nx-a￥,x>0

范圍為()

A.卜,乎B.［平,+8)C.D.卜，亭

答案：A

當(dāng)X40時(shí)，求得函數(shù)“X)的值域?yàn)榭?卡》),當(dāng)x>0時(shí)，求得r(x)=：-“，當(dāng)a>0時(shí)，利用導(dǎo)

數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，可得/(x)4/q)=21n：-2,根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為/'6)值域包含-/(當(dāng))的

值域，得出不等式21n2-22-1,求得友；②當(dāng)"V0時(shí)，求得了⑴的值域?yàn)镽,滿足題

ae

意，進(jìn)而求得實(shí)數(shù)。的取值范圍.

當(dāng)X40時(shí)，函數(shù)/(x)=/+x+|=(x+g)2+l,所以函數(shù)“X)的值域?yàn)閁,+X>),

2

當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)/(x)=21nx-依，可得/(力=：-%

①當(dāng)。>0時(shí)，令尸(力=0,解得x=2，

當(dāng)xe(2,+8)時(shí)，r(x)<0,f(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)xe(O,g)時(shí)，f'(x)>0,“X)單調(diào)遞增，

22

所以/x)M/(-)=21n——2,

aa

因?yàn)閷?duì)M40,期>0,使〃％)+〃尤2)=。成立，轉(zhuǎn)化為了(不)值域包含-"W)的值域，

所以21n2-22-1,即ln2w:，解得殛,所以叵；

aa2ee

②當(dāng)時(shí)，令-(x)=4-a>0,解得X，,

xa

當(dāng)xe(?,+8)時(shí)，/(x)<0,/(X)單調(diào)遞增，此時(shí)值域?yàn)镽,

滿足對(duì)Vx2<0,3^>0,使〃xj+)=0成立，

綜上所述，實(shí)數(shù)。的取值范圍為(_%空］.

e

故選：A.

【點(diǎn)睛】對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立問(wèn)題的求解策略：

1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；

2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.

3、根據(jù)恒成求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分類參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的

新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，通常要設(shè)出導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，難度較大.

二、填空題

13.設(shè)復(fù)數(shù)二i，Z?滿足|"=|zj=2,Z|+z,=>/3+i,貝!j|Z|-Z2l=.

答案：2+

方法一：令Z]=a+bi,(awR,bcR),z2=c+di,(c&R,dGR),根據(jù)復(fù)數(shù)的相等可求得“c+加/=一2,

代入復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的公式中即可得到結(jié)果.

方法二：設(shè)復(fù)數(shù)4,向所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為乙乂2,加=無(wú)"無(wú)2,根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義及復(fù)數(shù)的模，判

定平行四邊形OZ/Z?為菱形，|西=|OZj=|OZj=2,進(jìn)而根據(jù)復(fù)數(shù)的減法的幾何意義用幾何方法

計(jì)算|Z|-Z2|.

方法一：設(shè)z1=a+bi,(aeR,beR),z2=c+di,(ceR,deR),

Z]+z2=a+c+(b+d)i=6+i,

+,又固=|z/=2,所以/+/=4,c2+d2=4}

[b+d=1

.,.(〃+c)2+S+d)2=a2+c2+b2+d2+2(ac+bd)=4

:.ac+bd=-2

z22

,-|i~z2\=\(^—c)+(b—d)z|=yj(a—c)+(Z?-d)=J8-2(ac+bd)

=J8+4=25/3.

故答案為：26

方法二：如圖所示，設(shè)復(fù)數(shù)Z「Z2所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為422,方=無(wú)-應(yīng)2,

由已知|西=屈1=2=|04|=e2|,

二平行四邊形OZ/Z?為菱形，且AOPZgOPZ?都是正三角形，二/乙。%?：】？。。，

222

IZ,Z21=|OZ,I+1OZ21-2104IIOZ21cos1200=2?+2?-2?2?2?(-；)=12

.?.|Z,-Z2|=|Z,Z2|=2^.

z:

【點(diǎn)睛】方法一：本題考查復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的求解，涉及到復(fù)數(shù)相等的應(yīng)用；考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算求解

能力，是一道中檔題.

方法二：關(guān)鍵是利用復(fù)數(shù)及其運(yùn)算的幾何意義，轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題求解

14.2020年是全面建成小康社會(huì)的目標(biāo)實(shí)現(xiàn)之年，也是全面打贏脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)的收官之年.為更好

地將“精準(zhǔn)扶貧”落到實(shí)處，某地安排7名干部（3男4女到三個(gè)貧困村調(diào)研走訪，每個(gè)村安排男、

女干部各1名，剩下1名干部負(fù)責(zé)統(tǒng)籌協(xié)調(diào)，則不同的安排方案有種（用具體數(shù)字回答）.

答案：144

先安排男干部，再安排女干部，由排列組合以及分步乘法計(jì)數(shù)原理得出答案.

???每個(gè)村男、女干部各1名，...可先安排男干部，共A；=6種，再安排女干部，共有C；A；=24種，

二共有6/24=144種不同的安排方案

故答案為：144.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：在從4名女干部中選3人到三個(gè)貧困村調(diào)研走訪時(shí)，關(guān)鍵是按照先選后排的

方法進(jìn)行處理.

15.如圖為一個(gè)幾何體的三視圖，則該幾何體的外接球的表面積為.

1-^~HH^^*1

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

答案：12萬(wàn)

將三視圖還原為幾何體為內(nèi)接于正方體的直四棱錐，如圖所示，則該幾何體的外接球的直徑為正

方體的直徑，通過(guò)計(jì)算即可得球的表面積.

將三視圖還原為幾何體為內(nèi)接于正方體的直四棱錐P-ABCD,如圖所示，

所以該幾何體的外接球的直徑為正方體的直徑2退，故半徑為R=6,

所以其表面積為4萬(wàn)代=12萬(wàn).

故答案為：12萬(wàn)

三、雙空題

16.如圖甲是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)(ICME-7)的會(huì)徽.它的主題圖案是由一連串如圖乙所示的

直角三角形演化而成的.設(shè)其中的第一個(gè)直角三角形。A4是等腰三角形，且

OA=A4=44=A4=...=44=1,它可以形成近似的等角螺線，記。4、。&、。&、…、的

長(zhǎng)度組成數(shù)列加,｝(〃eN*,1V"V8),且么=——?jiǎng)t黑=____________(neM』V"V8),數(shù)列圾｝的

an+an+\

前7項(xiàng)和為.

圖甲圖乙

答案：62&-1

根據(jù)勾股定理可得出匕i=a；+l,可得出｛叫為等差數(shù)列，求出｛%｝的通項(xiàng)公式，可求得

b?=5+E，利用裂項(xiàng)相消法可求得數(shù)列出｝的前7項(xiàng)和.

△。。4向是以N0A.A”7為直角的直角三角形，由勾股定理可得匕小片+1,

所以，數(shù)列｛叫(〃€川，1。＜8)為等差數(shù)列，且首項(xiàng)為4；=1,公差為d=l,

「.a；=1+（鹿一l）d=〃，???a〃〉0,所以，an=4n.

]1yfn-y/n+\

則2==~4n+/〃+1,

a冊(cè)i+y/n+T（冊(cè)+Jv+1）（五-J〃+l）

n+4加

因此,數(shù)歹!!｛2｝的前7項(xiàng)和為57=(—1+&)+1近+6)+???+卜近+*)=2近一1.

故答案為：4n;25/2-1.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和的常用方法：

(1)對(duì)于等差等比數(shù)列，利用公式法直接求和；

(2)對(duì)于｛。也｝型數(shù)列，其中｛4｝是等差數(shù)列，也｝是等比數(shù)列，利用錯(cuò)位相減法求和；

(3)對(duì)于｛%+2｝型數(shù)列，利用分組求和法；

(4)對(duì)于［總一］型數(shù)列，其中｛%｝是公差為"(4工0)的等差數(shù)列，利用裂項(xiàng)相消法求和.

四、解答題

17.三角形中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為。，b,c,且hsinA=acos(

(1)求角8的大?。?/p>

(2)若。為AC的中點(diǎn)，且8。=1,求S.ABC的最大值

答案：(1)g；(2)蟲.

33

(D根據(jù)正弦定理，由題中條件，得到sin8=cos(B-?),進(jìn)而可求出結(jié)果；

(2)根據(jù)題中條件，得到cos4ZM+cos/BDC=0,求得〃=2任+c?-4),根據(jù)余弦定理，以

Q

及基本不等式，求出進(jìn)而可求出三角形面積的最大值.

(1)由。sinA=〃cos(Bq),根據(jù)正弦定理可得sinBsinA=sinAcos^B,

因?yàn)榻茿,B為三角形內(nèi)角,所以A8?0,?),

AsinB=cos|,AB+B--=—,*.B=—

I6j6239

(2)因?yàn)?。為AC的中點(diǎn)，且3￡>=1,

,b2,b22

SfDl1----c21-----a

m以cosABDA+cosZBDC=----+—-----=0'

bb

貝(j2+9-c2-a2=o,即/=2(/+C、2-2),

222

又由余弦定理可得〃2=a4-c-2tzccosB+c-ac,

2

貝［j2(<z~+c?-2)=cr+c~—cic9所以cr+c=4-ac>2ac9

當(dāng)且僅當(dāng)。=。時(shí)，等號(hào)成立，

4

ac4—,

3

?c1…v+

??5——cicsinB=—cic<—,

MCARr243

即S?1c的最大值的竽.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：

求解三角形中有關(guān)邊長(zhǎng)、角、面積的最值(范圍)問(wèn)題時(shí)，常利用正弦定理、余弦定理與三角形

面積公式，建立a+b,ab,/+〃之間的等量關(guān)系與不等關(guān)系，然后利用函數(shù)或基本不等式求解.

18.如圖，四邊形ABE尸是矩形，平面ABC,平面ABEF,。為BC中點(diǎn)，ZC4B=120°,AB=AC=4,

AF=6

(1)證明：平面4)F_L平面BCF；

(2)求二面角F-AO-E的余弦值.

答案：(D證明見(jiàn)解析；(2)此.

3

(1)利用面面垂直的性質(zhì)，證得AFJ_平面45C,進(jìn)而可得AFJ_3C,BCJ■平面A￡)尸即可得證;

(2)在平面ABC內(nèi)過(guò)點(diǎn)A作Ax_LAB,以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量而得解.

(1)因?yàn)锳B=AC,D為BC中點(diǎn),所以因?yàn)锳BEF是矩形，所以

因?yàn)槠矫鍭3C_L平面ABEF,平面A8CD平面=

AFu平面A8EF,所以AFJL平面A8C,因?yàn)?Cu平面A3C,所以AFLBC,

又A尸，ADu平面A￡>F,AF^\AD=A,所以BCJ_平面ADF,

又3Cu平面BCF,所以平面ADF，平面BCF；

(2)在平面ABC內(nèi)過(guò)點(diǎn)A作Ax_LAB,由(1)知，AFL平面48C,

故以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以五，AB,行的方向?yàn)閤軸，y軸，二軸的正方向，建立空間直角

坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,如圖：

貝()A(0,0,0),尸(0,0,#),8(0,4,0),￡(0,4,76),。(2△-2,0),則。(6,1,0)，

所以血=(石,1,0),/=(0,0,#),AE=(0,4,76),BC=(2^,-6,0),

由(1)知，肥為平面ADF的一個(gè)法向量，設(shè)平面ADE的法向量為"=*,〉/),

n-AD=0A/3X+y=0廠-廣廠

則]-TF八，即｛r，令x=l,貝!1丁=-宕，z=2429所以〃=(1,-6,2點(diǎn))，

[w-AE=0[4y+V6z=0

n

的hlcos/nBc\-'BC-2有+6百_百

所以(')一麗一2五46一3，

因?yàn)槎娼鞘?AD—E為銳角，則二面角尸—AD—￡的余弦值為立.

3

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：二面角大小求解時(shí)要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角.

19.雅言傳承文明，經(jīng)典滋潤(rùn)人生，中國(guó)的經(jīng)典詩(shī)文是中華民族精神文明的重要組成部分，近年

來(lái)某市教育局積極推廣經(jīng)典詩(shī)文誦讀活動(dòng)，致力于營(yíng)造“誦讀國(guó)學(xué)經(jīng)典，積淀文化底蘊(yùn)”的書香

校園，引導(dǎo)廣大學(xué)生熟悉詩(shī)詞歌賦，親近中華經(jīng)典，感悟中華傳統(tǒng)文化的深厚魅力，豐厚學(xué)生的

人文積淀，該市教育局為調(diào)查活動(dòng)開(kāi)展的效果，對(duì)全市參加過(guò)經(jīng)典詩(shī)文誦讀活動(dòng)的學(xué)生進(jìn)行了測(cè)

試，并從中抽取了1000份試卷，根據(jù)這1000份試卷的成績(jī)(單位：分，滿分100分)得到如下頻

數(shù)分布表.

成績(jī)/分[65,70)[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,95)[95,100]

頻數(shù)40902004001508040

(1)求這1000份試卷成績(jī)的平均數(shù)最(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表).

(2)假設(shè)此次測(cè)試的成績(jī)X服從正態(tài)分布N(〃,〃)，其中〃近似為樣本平均數(shù)，b?近似為樣本

方差$2,已知，的近似值為6.61,以樣本估計(jì)總體，假設(shè)有84.14%的學(xué)生的測(cè)試成績(jī)高于市教育

局預(yù)期的平均成績(jī)，則市教育局預(yù)期的平均成績(jī)大約為多少(結(jié)果保留一位小數(shù))？

(3)該市教育局準(zhǔn)備從成績(jī)?cè)冢?0,100］內(nèi)的120份試卷中用分層抽樣的方法抽取6份，再?gòu)倪@6

份試卷中隨機(jī)抽取3份進(jìn)行進(jìn)一步分析，記Y為抽取的3份試卷中測(cè)試成績(jī)?cè)冢?5,100］內(nèi)的份數(shù)，

求y的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考數(shù)據(jù)：若則P(〃一cr<X4〃+b)z0.6827,-2cr<X<//+2a)?0.9545,

P(〃一3<r<X4〃+3。)=0.9973.

答案：(D嚏=82.15;(2)75.5分；(3)分布列答案見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望：1.

(1)利用平均數(shù)的計(jì)算公式即可求解；

(2)利用正態(tài)分布的概率分布即可求解；

(3)先利用分層抽樣的方法求出抽取的6份試卷中成績(jī)?cè)冢?0,95)和［95,100］內(nèi)的份數(shù)，然后求出

K的所有可能取值及每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率，最后寫出y的分布列及數(shù)學(xué)期望.

解：(1)由頻數(shù)分布表

7=67.5x0.04+72.5x0.09+77.5x0.2+82.5x0.4+87.5x0.15+92.5x0.08+97.5x0.04=82.15.

(2)由題意得，X~N(82.15,6.6F)

且P(X>cr)g+^^B0.8414,

又〃-b=82.15-6.61=75.54B75.5,

故市教育局預(yù)期的平均成績(jī)大約為75.5分.

(3)利用分層抽樣的方法抽取的6份試卷中成績(jī)?cè)冢?0,95)內(nèi)的有4份，成績(jī)?cè)冢?5,100］內(nèi)的有2

份，

故丫的所有可能取值為0,1,2,

且叩=。)=警4,時(shí)=。=等=［，m=2)=等1，

所以y得分布列為

Y012

31

P

555

數(shù)學(xué)期望E（Y）=0xg+lx|+2x；=l.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求離散型隨機(jī)變量X的分布列的步驟：（D理解X的意義，寫出X的所有可

能取值；（2）求X取每個(gè)值的概率；（3）寫出X的分布列；（4）根據(jù)分布列的性質(zhì)對(duì)結(jié)果進(jìn)行檢

驗(yàn).

2〉

20.橢圓C：￡+%■=1（〃>6>0）的左右焦點(diǎn)分別為6（-2,0）、鳥(niǎo)（2,0）,且橢圓過(guò)點(diǎn)A（2,?.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)原點(diǎn)。作兩條相互垂直的直線4、*6與橢圓交于用，N兩點(diǎn)，4與橢圓交于P,。兩

點(diǎn)，求證：四邊形MQNP的內(nèi)切圓半徑，?為定值.

答案：（1）—+^=1;（2）證明見(jiàn)解析.

84

（1）先利用橢圓的定義求得a,再根據(jù)橢圓的左右焦點(diǎn)為4（-2,0）、鳥(niǎo)（2,0）得到c即可.

（2）當(dāng)4的斜率為±1時(shí)，四邊形MQNP為正方形，求得|%|=島|即為內(nèi)切圓半徑；當(dāng)人的斜率不

等于±1時(shí)，設(shè)。（X"J,Mw，%）,直線QN的方程為y="+f,代入橢圓方程，根據(jù)NNOQ=90。，

即玉々+）1%=0,結(jié)合韋達(dá)定理求得k,t的關(guān)系，再由原點(diǎn)到直線的距離求解.

（1）因?yàn)闄E圓的左右焦點(diǎn)分別為4（-2,0）、片（2,0）,且橢圓過(guò)點(diǎn)A（2,⑹,

所以2a=|A用+|4周=應(yīng)+J16+2=4近,

所以4=2立，

又c=2,得b=2,

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：-+^=1.

84

（2）如圖所示：

當(dāng)4的斜率為±1時(shí)，四邊形MQVP為正方形，

與t+4=1聯(lián)立，解得匕1=%|=半,

o4J

因?yàn)镹Q垂直于x軸，所以「=亞，

3

當(dāng)4的斜率不等于±1時(shí)，設(shè)Q（x，y）,N（j%）,直線QN的方程為：y=kx+t,

代入橢圓方程并整理得：（1+2產(chǎn)卜?+4m+2產(chǎn)-8=0,

A=（4W）2-4（2公+1）（2/-8）＞0,即8公"+4＞0,

士注±Un?4kf2廣—8

由韋達(dá)定理得：玉+&=一］+2嚴(yán)，=］+”＞，

因?yàn)镹NOQ=90。，

llllUiUllU

所以O(shè)NOQ=0,

即x}x2+yxy2=0,即玉々+（如+。（依2+。=°,

所以"）（蹤）+?備）+』，

整理得3產(chǎn)=8（&?+1）（）,適合8/-/+4＞0成立

所叱蕉T底/空

綜上得：「=巫.

3

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)的關(guān)鍵是設(shè)直線NQ的方程，將內(nèi)切圓半徑轉(zhuǎn)化為原點(diǎn)到直線NQ

的距離求解.

21.已知定義在［0,+℃）上的函數(shù)f（x）=gx?+ax+cosx.

（1）若“X）為定義域上的增函數(shù)，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍；

⑵若4=-1,/（%）=1/■⑸=0,X產(chǎn).，/（改,）為/（X）的極小值，求證：X,+X2＜2X0.

答案：（1）［0,-H?）；（2）證明見(jiàn)解析.

（1）由單調(diào)性可知/（力20在［0,e）上恒成立，分離變量可得tz＞sinx-x；利用導(dǎo)數(shù)可求得

g（x）=sinx-x（xNO）的最大值，由此可得”的范圍；

（2）利用導(dǎo)數(shù)，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可確定玉。40,萬(wàn)），〃x）在（0,改＞）上單調(diào)遞減，在小,”）上

單調(diào)遞增；構(gòu)造函數(shù)尸（x）=〃玉）+力-/（毛-引（0＜*＜乃），利用導(dǎo)數(shù)可求得尸（x）單調(diào)性，得到

尸（x）＞尸（0）=0,從而得到〃內(nèi)）＞〃2%-受），根據(jù)自變量的范圍，結(jié)合“X）在（0,不）上的單調(diào)

性可證得結(jié)論.

(1)由=+奴+cosx得：r(x)=x+Q-sinx.

,."(x)為［0,+oo)上的增函數(shù)，/'(x)=x+a-sinx2。在上恒成立,

BP6?>sinx-x,

令g(x)=sinx-x(xNO),貝！|g'(x)=cosx-140,

在［。,+上單調(diào)遞減，即

.?.g(x)00)，g(x)4g⑼=0,g(x)1rax=0,

,■.a>0,即實(shí)數(shù)〃的取值范圍為［0,").

(2)當(dāng)。=一1時(shí)，/(犬)=；》2-x+cosx,貝!Jr(x)=工-1-sinx,

??J"(x)=1-8Sx20,二r(x)在［0,+00)上單調(diào)遞增,

又/'(o)=—i<o,廣(%)=萬(wàn)一i>o,

使得/'(%)=且當(dāng)時(shí)，當(dāng)(與,”)時(shí)，。：

.?.3x0G(O,^),0，xe(O,$)/'(x)<0；xc/'(x)>

，/(x)在(0,%)上單調(diào)遞減，在伍,茁)上單調(diào)遞增，則/(與)為/(x)的極小值.

2

玉<乙,?/*(0)=1>0,/(乃)=~—萬(wàn)一1>0,..0<<工0<42<79

設(shè)尸(x)=/(與+x)-/(七一x)(0<x<乃),

/.Ff=2x0-2-2sinA;,cosx,/.F/r(x)=2sin^sinx.

,/JQ)G(O,^),.,.sinx,)>0,又sinx>0,FB(x)>0,

.?/(x)在(0㈤上單調(diào)遞增,

,,

F(O)=2xo-2-2sin^cosO=2x0-2-2sinJQ)=2(xo-l-sinxo)=2/(^)=O,

F'(x)>尸'(0)=0,二F(x)在(0,%)上單調(diào)遞增,

.*.F(x)>F(O)=/(xo)-/(An)=O,

二/(西)=/(々)=/(%+(々一%))>/(%—(々一%))=

/(25-x2)

:.〈冗，/.0<2X-X<X

22202()9

又〃力在用)上單調(diào)遞減，.?%<玉).

(0?2x0-x2,gpx］+x2<2

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：處理極值點(diǎn)偏移問(wèn)題中的類似于%+W>”(芭,為〃x)=0的兩根)的問(wèn)題

的基本步驟如下:

①求導(dǎo)確定f(x)的單調(diào)性，得到占多的范圍；

②構(gòu)造函數(shù)/(x)=〃x)-4a-x),求導(dǎo)后可得F(x)恒正或恒負(fù)；

③得到/(%)與/(所與)的大小關(guān)系后，將/(xj置換為/(x2)；

④根據(jù)占與a-公所處的范圍，結(jié)合f(x)的單調(diào)性，可得到超與a-者的大小關(guān)系，由此證得結(jié)論.

1

x=——t

2

22.在平面直角坐標(biāo)系xS■中，曲線G的參數(shù)方程為也。為參數(shù))，曲線G的參數(shù)方程

y=2+半

為尸=：os°