學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精排列與組合問題的應(yīng)用與分析摘要:排列與組合問題是高考?？碱}型，明確分類與分步，辨別有序與無序以及元素與位置的區(qū)別，靈活應(yīng)用各種方法，是正確有效解決問題的關(guān)鍵。關(guān)鍵詞：排列與組合，分類與帆布，有序與無序，元素與位置,方法引言與約定引言排列與組合問題是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個重要部分，也是高考?？碱}型。其中，明確問題是分類還是分布,辨別其中的元素排列是有序還是無序，界定事物是元素還是位置，對于正確解答問題相當(dāng)重要；而靈活運用各種思想方法，如“分類討論思想”“等價轉(zhuǎn)化思想”“捆綁法"“插空法”“插板法”，能使得問題解答得更快速便捷；直接法與間接法的正確運用，也能使疑難迎刃而解。約定==n*(n-1)*(n—2)＊…*（n-m+1)==n*(n-1）＊(n-2）*…*(n-m+1）m！=n!m!(n-m)!基本概念和原理兩個基本原理分類基數(shù)原理做一件事,完成它可以有n類方法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在二類辦法種有m2種不同方法，…，在n類辦法中有種不同辦法，那么完成這件事共有N=種不同的方法。分布計數(shù)原理做一件事，完成它需要分成n個步驟，做第一步有m1種不同方法,做第二有m2種不同方法，……，做第n步有種不同的方法.排列組合問題中須明確區(qū)別的幾個常見問題、解題步驟及解題方法須明確區(qū)別的幾個問題分類與分布分類：“做一件事,完成它可以有n類方法”復(fù)雜事件A的排列與組合問題，需要對A在一個標(biāo)準(zhǔn)下分類討論，把A分解為n類簡單問事件A1，A2,A3,…，An.分類的原則是：A=AiAj=(ij,i。j=1，2，…，n）。在這樣的原則下對事件A分類，能夠確保使分類不重不漏，把A分為A1、A2、…、An的同時，對應(yīng)的辦法S也隨之被分為n類辦法S1，S2,…,Sn且S=S1∪S2∪…∪Sn，Si∩Sj≠（i≠j，i.j=1,2，…,n），其結(jié)果用分類計數(shù)原理計算。分步：“做一件事,完成它需要分成n個步驟"事件A完成分類以后，對每一類要進(jìn)行分步，分步要做到“步驟連續(xù)”“步驟獨立”，這樣就可以確保對每一類事件不漏不重。事件的分步對應(yīng)方法的分步。如，A1分為n步,對應(yīng)的S1被分為n種方法S11,S12,……,S1n..其結(jié)果用乘法原理計算。有序與無序界定排列與組合問題是排列？還是組合？惟一的標(biāo)準(zhǔn)是“順序”，“有序”是排列問題,“無序”是組合問題。排列與組合問題并存的時候，解答排列與組合問題,一般采用先組合與排列的方法解答。元素與位置解答排列與組合問題，界定哪些事物是位置至關(guān)重要，有沒有惟一的定勢標(biāo)準(zhǔn),所以要辯證地去看待元素與位置。解題過程中，要優(yōu)先安排有限制條件的特殊元素和特殊位置，并靈活運用各種方法。排列組合問題的解題步驟在求解排列組合應(yīng)用問題是，應(yīng)按如下步驟進(jìn)行：把具體問題轉(zhuǎn)化或歸結(jié)為排列或組合通過分析確定運用分類計數(shù)原理還是分步計數(shù)原理分析題目條件，避免“選取”時重復(fù)和遺漏列出式子計算和作答排列組合問題的常用問題和方法常用思想（1)分類討論思想（2）等價轉(zhuǎn)換思想3.3.2常用方法捆綁法,插板法，插空法，直接窮舉法，間接法排列組合問題的應(yīng)用與例題分析分類討論思想的應(yīng)用例:6名旅客，安排在3個客房中，每個客房至少一名旅客，則不同的安排方法有多少種?解析：按要求,有如下3種不同的分類：N1==90N2=*3！=360N3==90則N=N1+N2+N3=90+360+90=5404。2等價轉(zhuǎn)化思想在排列組合中的應(yīng)用例:以圓內(nèi)橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點為頂點的三角形個數(shù)。解析：本題是個綜合問題，首先求出圓內(nèi)的整數(shù)點個數(shù)，然后求組合數(shù).如下圖，圓內(nèi)有9個整數(shù)點，組成三角形的個數(shù)為其中，8表示9個整數(shù)點中三點共線的情形。4.3捆綁法在 排列組合中的應(yīng)用例:現(xiàn)有《紅樓夢》、《三國演義》、《水滸傳》、《西游記》四大名著一套，其中《紅樓夢》有上、中、下三冊，《三國演義》有上下兩冊，要求同名書放在一起排列在書架上,則有多少種放置方式？解析：題目要求將同名書放在一起，則可將三冊《紅樓夢》捆綁在一起,兩冊《三國演義》捆綁在一起，作為兩個整體參與排列,這兩個整體內(nèi)部也要進(jìn)行排列。則放置方式為:=288種插板法在排列組合中的應(yīng)用例：現(xiàn)將9個相同的小球放入編號為1、2、3的箱子中,要求每個箱子中球數(shù)不小于編號,則放入方法有多少種？解析:因為球相同而箱子有區(qū)別，即元素相同而位置不同。又要求球數(shù)不小于編號，可以先將與編號數(shù)相等的球樹放入相應(yīng)的箱子中，還余三個球。將余下的三個球排成一列，考慮前后共有四個空隔，茶入兩個隔板將其分成三個部分，則每個隔板前球的個數(shù)即為再次加入到相應(yīng)位置球箱中的球數(shù).當(dāng)兩插板插入一個空隔時（即2號箱不加球）,有當(dāng)兩插板插入兩個空隔時（即2號箱中加球）,有故N=N1+N2=104。5插空法在排列組合的應(yīng)用例:一次文藝演出中，需要給舞臺上方安裝一排完全相同的彩燈共5只，以不同的點亮方式增加舞臺效果.設(shè)計者按照每次點亮?xí)r恰好有6只是關(guān)的，且相鄰的燈不能同時被關(guān)掉,兩端的燈必須點亮的要求進(jìn)行設(shè)計。那么點亮方式有多少種？解析:15只燈6只關(guān)，則9只亮，又首尾燈要求是亮的，關(guān)燈不相鄰。故可以把9只點亮的燈排成一列，在中間的8個空隔中插入6個（代表6個關(guān)的燈）。所以N==28直接窮舉法例：某電腦用戶計劃使用不超過500元的資金購買單價分別為60元、70元的單片軟件和盒裝磁盤,根據(jù)需要，軟件至少買3片，磁盤至少買2盒,則不同的選購方式有多少種？解析：依題意有:x=3，y=2,3,4;x=4，y=2，3；x=5,y=2；x=6，y=2.共7種方案。4。7間接法在排列組合中的應(yīng)用例:從正方體的6個面中選取3個面，其中有2個面不相鄰的選法的種數(shù).解析：要考慮三個面有兩個面不相鄰用窮舉法比較麻煩，可考慮用間接法。因為有公共頂點的三個面兩兩相鄰，故可從6個面中任選3個面，再除去8個頂分別所決定的三個面。所以N=。上述討論了排列與組合問題的應(yīng)用于分析中常見的方法。要很好的解決這類問題，必須熟練掌握上面的原理、思想及方法，將他們?nèi)跁炌?，注重根?jù)需要有機選擇不同的思想進(jìn)行解答.【參考文獻(xiàn)】