8.6.1直線與直線垂直

觀察黑板兩側所在的直線與課桌邊沿所在直線是什么位置關系？既不平行又不相交立交橋中的兩條路線呢？既不平行又不相交我們把不同在任何一個平面內的兩條直線叫做異面直線.我們把既不平行又不相交的兩條直線叫做異面直線.定義創(chuàng)設情境異面直線的定義

空間內，兩條異面直線既不平行，也不相交.異面直線作圖的時候，我們可以借助輔助的平面來體現(xiàn)異面直線的不共面的特點.異面直線的畫法探究新知例1如圖，直線AB與a具有怎樣的位置關系？為什么？解：直線AB與a是異面直線.理由如下：若直線AB與直線a不是異面直線，則它們相交或平行.設它們確定的平面為β，則B∈β，aβ.由于經過點B與直線a有且僅有一個平面α，因此平面α與β重合，從而ABα，進而A∈α，這與A?α矛盾.所以直線AB與a是異面直線.異面直線判定定理：經過平面外一點和平面內一點的直線，和平面內不經過該點的直線是異面直線.異面直線的判定探究新知ab

平面內兩條直線相交形成4個角，其中不大于90°的角稱為這兩條直線所成的角(或夾角)，它刻畫了一條直線相對于另一條直線傾斜的程度.直線夾角的定義探究新知空間兩條直線所成角α的取值范圍：0°≤α≤90°當兩條直線a,b相互平行時，我們規(guī)定它們所成的角為0°思考：1.怎樣表示兩條異面直線錯開的程度？2.如何表示兩條異面直線所成的角？探究新知動手做一做：請你用自己手中的兩支筆分別表示兩條直線擺出異面情形，相互觀察，看有什么不同？角度αbab'a'O

可以,通過平移把異面直線轉化為相交直線,這樣就可以刻畫兩條異面直線的位置關系.定義：已知兩條異面直線a,b，經過空間任一點O作直線a′∥a，b′∥b，我們把a′,b′所成的銳角（或直角）叫做異面直線a,b所成的角(或夾角).兩條異面直線所成的角abPa′b′Oθ探究新知注1：異面直線a,b所成角，只與a,b的相互位置有關，而與點O位置無關.注2：一般常把點O取在直線a或b上.

異面直線的垂直

如果兩條異面直線所成的角為直角，就說兩條直線互相垂直.直線a與直線b互相垂直，記作a⊥b.探究新知異面直線所成角的取值范圍：0°<α≤90°垂直分為兩種：相交直線的垂直異面直線的垂直探究新知1.如果兩條平行直線中的一條與某一條直線垂直，那么另一條直線是否也與這條直線垂直？垂直2.垂直于同一條直線的兩條直線是否平行？不一定例1已知正方體ABCD—A'B'C'D'.(1)哪些棱所在的直線與直線AA'垂直；(2)求直線BA'與CC'所成的角的大小．(3)求直線BA'與AC所成的角的大?。淅治鯝'B'C'D'DCBA(1)AB,BC,CD,DA,A'B',B'C',C'D',D'A'(2)45°(3)60°例2如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，M,N分別是A1B1,BB1的中點，求：（1）異面直線AM與CN所成角的余弦值；（2）異面直線AM與BD所成角的余弦值；典例分析MA1B1C1D1DCBANEPMA1B1C1D1DCBAFG

簡單地說，選擇“特殊點”作異面直線的平行線，構作含異面直線所成(或其補角)的角的三角形，再求之.求異面直線所成的角的步驟是:一作(找)：作（或找）平行線

(平移法：即根據定義，以“運動”的觀點，用“平移轉化”的方法，使之成為相交直線所成的角.)二證：證明所作的角為所求的異面直線所成的角.三求：在恰當?shù)娜切沃星蟪鼋?方法總結1.如圖所示，空間四邊形ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E,F分別為BC,AD的中點，求EF和AB所成的角．鞏固練習G∵AB⊥CD，∴EG⊥GF.∴∠EGF＝90°.∴△EFG為等腰直角三角形．∴∠GFE＝45°，即EF與AB所成的角為45°.2.在空間四邊形ABCD中，AB＝CD，且AB與CD所成銳角為30°，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點，求EF與AB所成角的大小.鞏固練習G解：如圖所示，取AC的中點G，連接EG，F(xiàn)G，由AB＝CD，知EG＝FG，從而可知∠GEF為EF與AB所成的角，∠EGF或其補角為AB與CD所成的角.∵AB與CD所成角為30°，∴∠EGF＝30°或150