一、知識點(diǎn)概述二分法是指通過將區(qū)間一分為二，然后判斷目標(biāo)值在哪一邊，逐步縮小搜索范圍直到找到目標(biāo)值的一種搜索算法。在數(shù)學(xué)中，可以利用二分法來求解方程的根（或零點(diǎn)）。二、教學(xué)目標(biāo)1.掌握二分法的基本思想和原理。2.能夠應(yīng)用二分法求解簡單的方程。三、教學(xué)重難點(diǎn)1.理解如何將方程轉(zhuǎn)化為單調(diào)函數(shù)。2.掌握二分法的具體步驟。四、教學(xué)方法講授、練習(xí)演示、小組合作學(xué)習(xí)、鞏固練習(xí)等。五、教學(xué)過程1.引入新課：通過分析以下問題，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到二分法的必要性。假設(shè)有一個(gè)長度為$n$的序列，其中每個(gè)元素都是不同的整數(shù)，我們想要在其中查找某一元素$x$是否存在。對于這個(gè)問題，我們會采取怎樣的策略呢？(1)直接遍歷所有元素，看是否有等于$x$的。時(shí)間復(fù)雜度是$O(n)$。(2)將序列排序，然后使用二分法查找。時(shí)間復(fù)雜度是$O(log_2n)$。通過對比兩種方法，可以看出二分法的時(shí)間復(fù)雜度遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于直接遍歷，因此二分法具有重要的應(yīng)用價(jià)值。2.講解二分法的基本思想和原理(1)對于一個(gè)單調(diào)遞增（或遞減）函數(shù)$f(x)$，如果$f(a)f(b)<0$，則在區(qū)間$[a,b]$內(nèi)必定存在一個(gè)實(shí)根。(2)利用二分法，不斷縮小區(qū)間范圍，確定方程的實(shí)根所在位置。(3)二分法的過程可以類比于折半查找。3.講解如何將方程轉(zhuǎn)化為單調(diào)函數(shù)(1)將方程$f(x)=0$轉(zhuǎn)化為$g(x)=x-h(x)$的形式，其中$h(x)$是一個(gè)與$x$無關(guān)的函數(shù)。(2)分別取區(qū)間$[a,b]$的中點(diǎn)$c$，計(jì)算$g(c)$的值。(3)根據(jù)中值定理，將區(qū)間$[a,b]$分成兩部分，分別判斷$g(a)g(c)<0$和$g(c)g(b)<0$是否成立。(4)如果成立，則在區(qū)間$[a,c]$或$[c,b]$內(nèi)必定存在實(shí)根，繼續(xù)利用二分法縮小搜索區(qū)間的范圍。(5)不斷重復(fù)以上步驟，直到找到方程的實(shí)根。4.講解二分法的具體步驟(1)確定初始區(qū)間$[a,b]$，其中$f(a)f(b)<0$。(2)取區(qū)間的中點(diǎn)$c=\dfrac{a+b}{2}$，計(jì)算$f(c)$的值。(3)根據(jù)$f(a)f(c)$和$f(c)f(b)$的正負(fù)關(guān)系確定下一個(gè)搜索區(qū)間。(4)不斷縮小搜索區(qū)間的范圍，直到相鄰兩個(gè)數(shù)的差小于某一閾值（如$10^{-6}$）。(5)得到方程的近似解。5.練習(xí)演示練習(xí)1.用二分法求解方程$x^3-2x-5=0$在區(qū)間$(2,3)$內(nèi)的實(shí)根，要求精確到$10^{-6}$。解：將方程變形為$f(x)=0$的形式，即$f(x)=x^3-2x-5$。在區(qū)間$(2,3)$內(nèi)，有$f(2)=-1<0,f(3)=16>0$，因此在該區(qū)間內(nèi)必定存在一個(gè)實(shí)根。取$a=2,b=3$，區(qū)間長度為$b-a=1$。分別取中點(diǎn)$c_1=2.5$，計(jì)算$f(c_1)=-1.375<0$。根據(jù)中值定理，可知實(shí)根在區(qū)間$[2,2.5]$內(nèi)。取$a=2,b=2.5$，區(qū)間長度為$b-a=0.5$。分別取中點(diǎn)$c_2=2.25$，計(jì)算$f(c_2)=-0.094$。根據(jù)中值定理，可知實(shí)根在區(qū)間$[2.25,2.5]$內(nèi)。取$a=2.25,b=2.5$，區(qū)間長度為$b-a=0.25$。分別取中點(diǎn)$c_3=2.375$，計(jì)算$f(c_3)=0.339$。根據(jù)中值定理，可知實(shí)根在區(qū)間$[2.25,2.375]$內(nèi)。取$a=2.25,b=2.375$，區(qū)間長度為$b-a=0.125$。分別取中點(diǎn)$c_4=2.3125$，計(jì)算$f(c_4)=0.123$。根據(jù)中值定理，可知實(shí)根在區(qū)間$[2.25,2.3125]$內(nèi)。取$a=2.25,b=2.3125$，區(qū)間長度為$b-a=0.0625$。分別取中點(diǎn)$c_5=2.28125$，計(jì)算$f(c_5)=-0.013$。根據(jù)中值定理，可知實(shí)根在區(qū)間$[2.28125,2.3125]$內(nèi)。取$a=2.28125,b=2.3125$，區(qū)間長度為$b-a=0.03125$。分別取中點(diǎn)$c_6=2.296875$，計(jì)算$f(c_6)=0.055$。根據(jù)中值定理，可知實(shí)根在區(qū)間$[2.28125,2.296875]$內(nèi)。取$a=2.28125,b=2.296875$，區(qū)間長度為$b-a=0.015625$。分別取中點(diǎn)$c_7=2.2890625$，計(jì)算$f(c_7)=0.021$。根據(jù)中值定理，可知實(shí)根在區(qū)間$[2.28125,2.2890625]$內(nèi)。取$a=2.28125,b=2.2890625$，區(qū)間長度為$b-a=0.0078125$。分別取中點(diǎn)$c_8=2.28515625$，計(jì)算$f(c_8)=-0.003$。根據(jù)中值定理，可知實(shí)根在區(qū)間$[2.28515625,2.2890625]$內(nèi)。取$a=2.28515625,b=2.2890625$，區(qū)間長度為$b-a=0.00390625$。分別取中點(diǎn)$c_9=2.287109375$，計(jì)算$f(c_9)=0.009$。根據(jù)中值定理，可知實(shí)根在區(qū)間$[2.28515625,2.287109375]$內(nèi)。取$a=2.28515625,b=2.287109375$，區(qū)間長度為$b-a=0.001953125$。分別取中點(diǎn)$c_{10}=2.2861328125$，計(jì)算$f(c_{10})=0.003$。根據(jù)中值定理，可知實(shí)根在區(qū)間$[2.28515625,2.2861328125]$內(nèi)。取$a=2.28515625,b=2.2861328125$，區(qū)間長度為$b-a=0.0009765625$。分別取中點(diǎn)$c_{11}=2.28564453125$，計(jì)算$f(c_{11})=0.0002$。根據(jù)中值定理，可知實(shí)根在區(qū)間$[2.28515625,2.28564453125]$內(nèi)。由于搜索區(qū)間的長度小于$10^{-6}$，因此該區(qū)間內(nèi)存在方程的實(shí)根，近似解為$x=2.285400391$。6.小組合作學(xué)習(xí)小組成員相互交流，討論如何將以下方程轉(zhuǎn)化為單調(diào)函數(shù)，并利用二分法求解其根。（1）$x^4-16x^2+5=0$（2）$e^x-x-1=0$7.鞏固練習(xí)練習(xí)1.用二分法求解方程$x^3+4x^2-10=0$在區(qū)間$(1,2)$內(nèi)的實(shí)根，要求精確到$10