2.3.2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)第二章

§2.3雙曲線學(xué)習(xí)目標(biāo)XUEXIMUBIAO1.掌握雙曲線的簡單幾何性質(zhì).2.理解雙曲線離心率的定義、取值范圍和漸近線方程.3.了解直線與雙曲線相交的相關(guān)問題.NEIRONGSUOYIN內(nèi)容索引知識梳理題型探究隨堂演練課時(shí)對點(diǎn)練1知識梳理PARTONE知識點(diǎn)一雙曲線的性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程圖形

性質(zhì)范圍____________________________對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸；對稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)坐標(biāo)A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)x≥a或x≤－ay≤－a或y≥a性質(zhì)漸近線_______________________離心率e＝

，e∈(1，＋∞)，其中c＝a，b，c間的關(guān)系c2＝

(c>a>0，c>b>0)a2＋b2知識點(diǎn)二等軸雙曲線實(shí)軸和虛軸

的雙曲線，它的漸近線方程是

，離心率為

.等長y＝±x思考辨析判斷正誤SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU4.橢圓的離心率與雙曲線的離心率取值范圍相同.(

)5.雙曲線有四個(gè)頂點(diǎn)，分別是雙曲線與其實(shí)軸及虛軸的交點(diǎn).(

)√×√××2題型探究PARTTWO一、由雙曲線方程研究其幾何性質(zhì)例1

求雙曲線9y2－4x2＝－36的頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、實(shí)軸長、虛軸長、離心率、漸近線方程.因此頂點(diǎn)坐標(biāo)為A1(－3,0)，A2(3,0)，實(shí)軸長2a＝6，虛軸長2b＝4，延伸探究求雙曲線nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的實(shí)半軸長、虛半軸長、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、頂點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程.解把方程nx2－my2＝mn(m>0，n>0)反思感悟由雙曲線的方程研究幾何性質(zhì)的解題步驟(1)把雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式是解決此類題的關(guān)鍵.(2)由標(biāo)準(zhǔn)方程確定焦點(diǎn)位置，確定a，b的值.(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，從而寫出雙曲線的幾何性質(zhì).跟蹤訓(xùn)練1

求雙曲線9y2－16x2＝144的實(shí)半軸長和虛半軸長、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、漸近線方程.由此可知，實(shí)半軸長a＝4，虛半軸長b＝3；二、由雙曲線的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程例2根據(jù)以下條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.解若雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，若雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，同理有a2＝b2，

③由③④得a2＝b2＝－4(舍去).反思感悟(1)根據(jù)雙曲線的某些幾何性質(zhì)求雙曲線方程，一般用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為解方程(組)，但要注意焦點(diǎn)的位置，從而正確選擇方程的形式.(2)巧設(shè)雙曲線方程的六種方法與技巧⑤漸近線為y＝kx的雙曲線方程可設(shè)為k2x2－y2＝λ(λ≠0).⑥漸近線為ax±by＝0的雙曲線方程可設(shè)為a2x2－b2y2＝λ(λ≠0).跟蹤訓(xùn)練2求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)焦點(diǎn)在x軸上，虛軸長為8，離心率為

；代入c2＝a2＋b2，得a2＝9，由①②聯(lián)立，無解.由③④聯(lián)立，解得a2＝8，b2＝32.∵A(2，－3)在雙曲線上，三、雙曲線的離心率解析

不妨設(shè)P為雙曲線右支上一點(diǎn)，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2.根據(jù)雙曲線的定義，得r1－r2＝2a，又r1＋r2＝3b，反思感悟求雙曲線離心率的兩種方法√解析因?yàn)镸F1的中點(diǎn)P在雙曲線上，所以|PF2|－|PF1|＝2a，因?yàn)椤鱉F1F2為正三角形，邊長都是2c，(2，＋∞)解析如圖，因?yàn)锳O＝AF，F(xiàn)(c,0)，(2)如果雙曲線

右支上總存在到雙曲線的中心與右焦點(diǎn)距離相等的兩個(gè)相異點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍是____________.3隨堂演練PARTTHREE1.雙曲線mx2＋y2＝1的虛軸長是實(shí)軸長的2倍，則m的值為A.4 B.－4

C.－ D.√12345解析由雙曲線方程mx2＋y2＝1，知m<0，則a2＝1，a＝1，又虛軸長是實(shí)軸長的2倍，123452.中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且一個(gè)焦點(diǎn)在直線3x－4y＋12＝0上的等軸雙曲線的方程是A.x2－y2＝8 B.x2－y2＝4C.y2－x2＝8 D.y2－x2＝4√解析

令y＝0，得x＝－4，∴等軸雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為(－4,0)，12345√解析由題意得，a2＝1，b2＝m>0，∴c2＝m＋11234512345解析易知k≠±2，將y＝kx代入4x2－y2＝16得關(guān)于x的一元二次方程(4－k2)x2－16＝0，由Δ>0可得－2<k<2.5.若直線y＝kx與雙曲線4x2－y2＝16相交，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為________.(－2,2)1.知識清單：(1)雙曲線的幾何性質(zhì).(2)雙曲線的離心率的求法.2.方法歸納：定義法、函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合.3.常見誤區(qū)：忽略雙曲線中x，y的范圍.課堂小結(jié)KETANGXIAOJIE4課時(shí)對點(diǎn)練PARTFOUR基礎(chǔ)鞏固12345678910111213141516√1718√解析

雙曲線x2－y2＝1的漸近線方程為x±y＝0，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，(－1,0)，2.雙曲線x2－y2＝1的頂點(diǎn)到其漸近線的距離等于123456789101112131415161718√123456789101112131415161718123456789101112131415161718√123456789101112131415161718則P(1,0)是雙曲線的右頂點(diǎn)，所以過P(1,0)并且和x軸垂直的直線是雙曲線的一條切線，與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，另外兩條就是過P(1,0)分別和兩條漸近線平行的直線，所以符合要求的有3條.123456789101112131415161718√123456789101112131415161718又a2＋b2＝c2＝25，解得b2＝5，a2＝20，故選A.1234567891011121314151617186.過雙曲線x2－

＝1的右焦點(diǎn)且與x軸垂直的直線，交該雙曲線的兩條漸近線于A，B兩點(diǎn)，則|AB|等于________.1234567891011121314151617187.已知雙曲線方程為8kx2－ky2＝8(k≠0)，則其漸近線方程為_____________.解析

由已知令8kx2－ky2＝0，123456789101112131415161718解析

易得雙曲線的左焦點(diǎn)F1(－2,0)，3與雙曲線方程聯(lián)立，得8x2－4x－13＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，1234567891011121314151617189.求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)兩頂點(diǎn)間的距離是6，兩焦點(diǎn)所連線段被兩頂點(diǎn)和中心四等分；解由兩頂點(diǎn)間的距離是6，得2a＝6，即a＝3.由兩焦點(diǎn)所連線段被兩頂點(diǎn)和中心四等分可得2c＝4a＝12，即c＝6，于是有b2＝c2－a2＝62－32＝27.由于焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸不確定，123456789101112131415161718(2)漸近線方程為2x±3y＝0，且兩頂點(diǎn)間的距離是6.123456789101112131415161718解設(shè)雙曲線方程為4x2－9y2＝λ(λ≠0)，123456789101112131415161718123456789101112131415161718又直線l過右焦點(diǎn)F(c,0)，因?yàn)辄c(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2a，123456789101112131415161718123456789101112131415161718綜合運(yùn)用√123456789101112131415161718解析不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限，由題意可知c＝2，所以a2＝1，b2＝3，123456789101112131415161718√123456789101112131415161718整理得3e4－16e2＋16＝0，123456789101112131415161718解析設(shè)F2為右焦點(diǎn)，連接P2F2(圖略)，由雙曲線的對稱性，知|P1F1|＝|P2F2|，所以|P2F1|－|P1F1|＝|P2F1|－|P2F2|＝2×3＝6.13.如圖，雙曲線C：

的左焦點(diǎn)為F1，雙曲線上的點(diǎn)P1與P2關(guān)于y軸對稱，則|P2F1|－|P1F1|的值是A.3 B.4 C.6 D.8√12345678910111213141516171814.如圖，中心均為原點(diǎn)O的雙曲線與橢圓有公共焦點(diǎn)，M，N是雙曲線的兩頂點(diǎn)，若M，O，N將橢圓的長軸四等分，則雙曲線與橢圓的離心率的比值是√123456789101112131415161718因?yàn)樗鼈児步裹c(diǎn)，所以設(shè)它們的半焦距均為c，由點(diǎn)M，O，N將橢圓長軸四等分可知m＝a－m，12345678910111213141516171815.已知F為雙曲線C：

的左焦點(diǎn)，P，Q為C上的點(diǎn).若PQ的長等于虛軸長的2倍，點(diǎn)A(5,0)在線段PQ上，則△PQF的周長為________.44解析由雙曲線C的方程，知a＝3，b＝4，c＝5，∴點(diǎn)A(5,0)是雙曲線C的右焦點(diǎn)，且|PQ|＝|QA|＋|PA|＝4b＝16，點(diǎn)P，Q在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義，得|PF|－|PA|＝6，|QF|－|QA|＝6.∴|PF|＋|QF|＝12＋|PA|＋|QA|＝28，∴△PQF的周長為|PF|＋|QF|＋|PQ|＝28＋16＝44.12345678910111213141516171816.設(shè)雙曲線x2－

＝1上有兩點(diǎn)A，B，AB中點(diǎn)M(1,2)，則直線AB的方程為_________.y＝x＋1123456789101112131415161718解析方法一(用根與系數(shù)的關(guān)系解決)顯然直線AB的斜率存在.設(shè)直線AB的方程為y－2＝k(x－1)，得(2－k2)x2－2k(2－k)x－k2＋4k－6＝0，當(dāng)Δ>0時(shí)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，123456789101112131415161718所以k＝1，滿足Δ>0，所以直線AB的方程為y＝x＋1.方法二(用點(diǎn)差法解決)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，123456