千里之行，始于足下讓知識(shí)帶有溫度。第第2頁(yè)/共2頁(yè)精品文檔推薦考研數(shù)學(xué)二真題答案解析1..【分析】本題屬基本題型，冪指函數(shù)的求導(dǎo)（或微分）問(wèn)題可化為指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)或取對(duì)

數(shù)

后

轉(zhuǎn)

化

為

隱

函

數(shù)

求

導(dǎo)

.

【詳解】辦法一：xxy)sin1(+==)sin1ln(xxe+，于是

]

sin1cos)sin1[ln()sin1ln(xx

xxeyxx+?

++?='+，

從而

π

=xdy

=.)(dxdxyππ-='

辦法二：兩邊取對(duì)數(shù)，)sin1ln(lnxxy+=，對(duì)x求導(dǎo)，得

xx

xxyy

sin1cos)sin1ln(1++

+='，于是

]

sin1cos)sin1[ln()sin1(xx

xxxyx+?

++?+='，故

π

=xdy

=.)(dxdxyππ-='

【評(píng)注】?jī)缰负瘮?shù)的求導(dǎo)問(wèn)題，既不能單純作為指數(shù)函數(shù)對(duì)待，也不能單純作為冪函數(shù)，而直接運(yùn)用相應(yīng)的求導(dǎo)公式.

2..【分析】本題屬基本題型，直接用斜漸近線方程公式舉行計(jì)算即可.

【詳解】由于a=

,1)

1(lim)(lim

2

3=+=+∞→+∞

→xxxxxfxx

[]23)1(lim

)(lim2

32

3

=

-+=-=+∞

→+∞

→x

x

xaxxfbxx，

于是所求斜漸近線方程為

.

23

+=xy【評(píng)注】如何求垂直漸近線、水平漸近線和斜漸近線，是基本要求，應(yīng)嫻熟把握。這里應(yīng)注重兩點(diǎn)：1）當(dāng)存在水平漸近線時(shí)，不需要再求斜漸近線；2）若當(dāng)∞→x時(shí)，極限

xxfax)

(lim

∞

→=不存在，則應(yīng)進(jìn)一步研究+∞→x或-∞→x的情形，即在右或左側(cè)是否存

在斜漸近線，本題定義域?yàn)閤>0，所以只考慮+∞→x的情形.3..【分析】作三角代換求積分即可.【詳解】令txsin=，則

=

--?1

2

2

1)2(xx

xdx

?

-20

2

cos)sin2(cossinπ

dtttt

t

=

.

4

)arctan(coscos1cos2022

2π

π

π

=

-=+-?tt

td

【評(píng)注】本題為廣義積分，但仍可以與一般積分一樣對(duì)待作變量代換等.4...

【分析】直接套用一階線性微分方程)()(xQyxPy=+'的通解公式：

?+??=-]

)([)()(CdxexQeydx

xPdxxP，

再由初始條件確定隨意常數(shù)即可.【詳解】原方程等價(jià)為

xyxyln2

=+

'，

于是通解為

??+?=

+???=-

]ln[1]ln[2

22

2

CxdxxxCdxe

xe

ydx

xdx

x

=2

1

91ln31xCxxx+-，由

91)1(-

=y得C=0，故所求解為.

91

ln31xxxy-=

【評(píng)注】本題雖屬基本題型，但在用相關(guān)公式時(shí)應(yīng)注重先化為標(biāo)準(zhǔn)型.另外，本題也可如

下求解：原方程可化為

xxxyyxln222=+'，即

xxyxln][2

2='，兩邊積分得C

xxxxdxxyx+-==?332291

ln31ln，

再代入初始條件即可得所求解為.91

ln31xxxy-=

5…【分析】題設(shè)相當(dāng)于已知1

)

()(lim

0=→xxxαβ，由此確定k即可.

【詳解】由題設(shè)，200cosarcsin1lim)()(lim

kxx

xxxxxx-+=→→αβ

=

)cosarcsin1(cos1arcsinlim

20

xxxkxxxxx++-+→

=k21143cos1arcsinlim20==-+→kxxxxx，得.43=k

【評(píng)注】無(wú)窮小量比較問(wèn)題是歷年考查較多的部分，本質(zhì)上，這類問(wèn)題均轉(zhuǎn)化為極限的計(jì)算.6…【分析】將B寫(xiě)成用A右乘另一矩陣的形式，再用方陣相乘的行列式性質(zhì)舉行計(jì)算即可.【詳解】由題設(shè)，有

)

93,42,(321321321ααααααααα++++++=B

=

??

???

?????941321111),,(321ααα，于是有

.

2219

413211

11=?=?=AB

【評(píng)注】本題相當(dāng)于矩陣B的列向量組可由矩陣A的列向量組線性表示，關(guān)鍵是將其轉(zhuǎn)化

為用矩陣乘積形式表示。普通地，若

nnaaaαααβ12121111+++=Λ，

nnaaaαααβ22221212+++=Λ，

ΛΛ

ΛΛ

nmnmmmaaaαααβ+++=Λ2211，

則有

[][].,,,2122212121112121

?????????

???=mnnnmmnmaaaaaaaaaΛMMMMΛΛΛΛ

αααβββ

7….【分析】先求出f(x)的表達(dá)式，再研究其可導(dǎo)情形.【詳解】當(dāng)1x時(shí)，

.

)11(

lim)(3

133

xx

xxfn

n

n=+=∞

→

即.1,

11,1,,1,)(33>≤≤--0,于是由介值定理知，存在存在),1,0(∈ξ使得0)(=ξF，即ξξ-=1)(f.

（II）在],0[ξ和]1,[ξ上對(duì)f(x)分離應(yīng)用拉格朗日中值定理，知存在兩個(gè)不同的點(diǎn)

)1,(),,0(ξζξη∈∈，使得

0)0()()(--=

'ξξηfff，ξξζ--=

'1)

()1()(fff

于是

.1111)(1)()()(=-?-=--?=

''ξξ

ξξξξξξζηffff

【評(píng)注】中值定理的證實(shí)問(wèn)題是歷年出題頻率最高的部分，而將中值定理與介值定理或積

分中值定理結(jié)合起來(lái)命題又是最常見(jiàn)的命題形式.

20……【分析】按照全微分和初始條件可先確定f(x,y)的表達(dá)式.而f(x,y)在橢圓域上的最大值和最小值,可能在區(qū)域的內(nèi)部達(dá)到，也可能在區(qū)域的邊界上達(dá)到，且在邊界上的最值又轉(zhuǎn)化為求條件極值.

.【詳解】由題設(shè)，知xxf2=??，yyf2-=??，

于是)(),(2yCxyxf+=，且yyC2)(-='，從而CyyC+-=2)(，再由f(1,1)=2，得C=2,故

.2),(2

2+-=yxyxf令0,0=??=??yfxf得可能極值點(diǎn)為x=0,y=0.且

2

)

0,0(2

2=??=xfA，

0)0,0(2=???=

y

xf

B，

2

)

0,0(22-=??=yf

C，

042>=-=?ACB，所以點(diǎn)(0,0)不是極值點(diǎn)，從而也非最值點(diǎn).再考慮其在邊界曲線1

42

2

=+yx上的情形：令拉格朗日函數(shù)為

)

14(),(),,(2

2

-++=yxyxfyxFλλ，

解??????

???=-+='=+-=+??='=+=+??=',014,02122,0)1(222

2

yxFyyyyfFxxxf

Fy

xλλλλλ

得可能極值點(diǎn)4,2,0===λyx；4,2,0=-==λyx；1,0,1-===λyx；

.1,0,1-==-=λyx代入f(x,y)得,2)2,0(-=±f3)0,1(=±f，可見(jiàn)z=f(x,y)在區(qū)域

}

14

),{(2

2

≤+=yxyxD內(nèi)的最大值為3，最小值為-2.

【評(píng)注】本題綜合考查了多元函數(shù)微分學(xué)的學(xué)問(wèn)，涉及到多個(gè)重要基礎(chǔ)概念，特殊是通過(guò)偏導(dǎo)數(shù)反求函數(shù)關(guān)系，要求考生真正理解并把握了相關(guān)學(xué)問(wèn).

21…..【分析】被積函數(shù)含有肯定值，應(yīng)該作分區(qū)域函數(shù)看待，利用積分的可加性分區(qū)域積分即可.【詳解】記

}

),(,1),{(221DyxyxyxD∈≤+=，

}

),(,1),{(222DyxyxyxD∈>+=，

于是

σdyxD??

-+122=

??-+-1)1(22Ddxdyyx??-++2

)1(2

2Ddxdy

yx

=

??--20

2

1

)1(π

θrdr

rd??-++D

dxdyyx)1(22??-+-1

)1(22Ddxdy

yx

=8π+????+201

02210210)1()1(πθrdrrddyyxdx=.314-π

【評(píng)注】形如積分

σ

dyxfD

??

),(、

??D

dyxgyxfσ

)},(),,(max{、

??D

dyxgyxfσ)},(),,(min{、

??D

dyxfσ)],([、

??-D

dyxgyxfσ

)},(),(sgn{等的被積函

數(shù)均應(yīng)該作分區(qū)域函數(shù)看待，利用積分的可加性分區(qū)域積分.

22……【分析】向量組

321,,ααα可由向量組321,,βββ線性表示，相當(dāng)與方程組：

3,2,1,332211=++=ixxxiβββα.

均有解，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為

),,(321βββr=

3

,2,1),,,(321=iriαβββM是否均成立？這通過(guò)初等變

換化解體形研究即可.而向量組321,,βββ不能由向量組321,,ααα線性表示，相當(dāng)于至少

有一個(gè)向量

)

3,2,1(=jjβ不能由

321,,ααα表示，即至少有一方程組

3

,2,1,332211=++=jxxxjαααβ，無(wú)解.

【詳解】對(duì)矩陣

)

,,,,(321321αααβββM=A作初等行變換，有

),,,,(321321αααβββM=A=?????

????

?--11411111221aaaaaaaMMM→

??????????--+-++--aaaaaaaa110324001022022221

MMM→??

????

????++--aaaaaaa1)1(304000102202222

1MMM，

當(dāng)a=-2時(shí)，→A?????

????

?330600030000211221MMM,明顯2α不能由321,,βββ線性表示，因此2-≠a；當(dāng)a=4時(shí)，

→A?????????

?39000003066041

1221MMM，然32,αα均不能由321,,βββ線性表示，因此4≠a.

而當(dāng)2-≠a且4≠a時(shí)，秩3

),,(321=βββr，此時(shí)向量組

3

21,,ααα可由向量組

3

21,,βββ線性表示.

又

??

???

?????--==aaaaaaaB41111122111),,,,(321321MMMMβββααα

??

????????+--++→aaaaaaaaa324011022022022111

2

MMM??

??

??????++--++→2436020222022022111

2

aaaaaaaaaMMM，

由題設(shè)向量組

321,,βββ不能由向量組321,,ααα線性表示，必有01=-a或

022=--aa，即a=1或2-=a.

綜上所述，滿足題設(shè)條件的a只能是：a=1.【評(píng)注】1)向量組

321,,βββ不能由向量組321,,ααα線性表示，必有行列式：

],,[321=ααα，由此也可確定a.

2)向量組能否線性表示的問(wèn)題徹低轉(zhuǎn)化為線性方程組是否有解的問(wèn)題.

23…….【分析】AB=O,相當(dāng)于告之B的每一列均為Ax=0的解，關(guān)鍵問(wèn)題是Ax=0的基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)為多少，而這又轉(zhuǎn)化為確定系數(shù)矩陣A的秩.【詳解】由AB=