2022屆新高考開學(xué)數(shù)學(xué)摸底考試卷11單選題

本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的4個選項中，有且只有一項是符合題目要求。設(shè)i為虛數(shù)單位,,“復(fù)數(shù)m(m-1)+i是純虛數(shù)”是“m=1”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件2.若向量與滿足，且，則向量在方向上的投影為（）A．B．C．D．3.已知集合A＝{x∈R|x2－x－2＜0}，B＝{x∈Z|x＝2t＋1，t∈A}，則A∩B等于()A.{－1，0，1}B.{－1，0}C.{0，1}D.{0}4.在銳角中，角的對邊分別為，若，，則的取值范圍（）A.B.C.D.5.若，則（）A.B.C.D.6．若實數(shù)，滿足且的最小值為3，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．7.已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－x))，0≤x＜k，,x3－3x2＋3，k≤x≤a，))若存在實數(shù)k，使得函數(shù)f(x)的值域為[－1，1]，則實數(shù)a的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，1＋\r(3))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2，1＋\r(3)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，3)) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2，3))8．對于數(shù)列,定義為的“優(yōu)值”，現(xiàn)已知某數(shù)列的“優(yōu)值”，記數(shù)列的前項和為，則（）A．2022B．1011C．2020D．1010二、多選題

本大題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的4個選項中，有多項符合題目要求，全對得5分，選對但不全得2.5分，有選錯的得0分。9.設(shè)是拋物線上的兩點，是坐標原點，若，則以下結(jié)論恒成立的結(jié)論是（）B.直線過定點（1，0）C.到直線的距離不大于1.D.(-1,2)在拋物線上10．氣象意義上從春季入夏季的標志為：“連續(xù)5天的日平均溫度均不低于”.現(xiàn)有甲、乙、丙三地連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)（記錄數(shù)據(jù)都是正整數(shù)）：①甲地：5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為24，眾數(shù)為22；②乙地：5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為27,總體均值為24；③丙地：5個數(shù)據(jù)中有一個數(shù)據(jù)是32，總體均值為26，總體方差為10.8.則肯定進入夏季的地區(qū)有（）A．①②③ B．② C．③ D．①11.信息熵是信息論中的一個重要概念.設(shè)隨機變量X所有可能的取值為，且，定義X的信息熵.（

）A.

若n=1，則H(X)=0B.

若n=2，則H(X)隨著的增大而增大C.

若，則H(X)隨著n的增大而增大D.

若n=2m，隨機變量Y所有可能的取值為，且，則H(X)≤H(Y)12.若存在m,使得f(x)≥m對任意x∈D恒成立，則函數(shù)f(x)在D上有下界，其中m為函數(shù)f(x)的一個下界;若存在M,使得f(x)≤M對任意x∈D恒成立，則函數(shù)f(x)在D上有上界，其中M為函數(shù)f(x)的一個上界.如果一個函數(shù)既有上界又有下界，那么稱該函數(shù)有界.下列四個結(jié)論中所有正確結(jié)論的編號為A.1不是函數(shù)的一個下界;B.函數(shù)f(x)=xlnx有下界，無上界;C.函數(shù)有上界,無下界;D.函數(shù)有界.三、填空題:本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知函數(shù)圖像的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，則.14.已知函數(shù),則的值為15.已知雙曲線，過x軸上點P的直線與雙曲線的右支交于M，N兩點（M在第一象限），直線MO交雙曲線左支于點Q（O為坐標原點），連接QN．若∠MPO=120°，∠MNQ=150°，則該雙曲線的漸近線方程為______．16．某幾何體的三視圖如圖所示，主視圖是直角三角形，側(cè)視圖是等腰三角形，俯視圖是邊長為的等邊三角形，若該幾何體的外接球的體積為，則該幾何體的體積為__________．簡答題（綜合題）

本大題共70分。簡答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為a、b、c，設(shè)S為△ABC的面積，滿足.（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若，設(shè)，，求函數(shù)的解析式和最大值.18．已知等比數(shù)列的前項和為，滿足，.（Ⅰ）求的通項公式；（Ⅱ）記，數(shù)列的前項和為，求使成立的正整數(shù)的最小值.19．如圖，在四棱錐中，底面為邊長為2的菱形，，，面面，點為棱的中點．（1）在棱上是否存在一點，使得面，并說明理由；（2）當(dāng)二面角的余弦值為時，求直線與平面所成的角．20．為了引導(dǎo)居民合理用水，某市決定全面實施階梯水價．階梯水價原則上以住宅（一套住宅為一戶）的月用水量為基準定價，具體劃分標準如表：階梯級別第一階梯水量第二階梯水量第三階梯水量月用水量范圍（單位：立方米）從本市隨機抽取了10戶家庭，統(tǒng)計了同一月份的月用水量，得到如圖莖葉圖：（1）現(xiàn)要在這10戶家庭中任意選取3家，求取到第二階梯水量的戶數(shù)的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）用抽到的10戶家庭作為樣本估計全市的居民用水情況，從全市依次隨機抽取10戶，若抽到戶月用水量為一階的可能性最大，求的值．21．已知點是橢圓的右焦點，點、分別是軸、軸上的動點，且滿足．若點滿足．(Ⅰ)求點的軌跡的方程；(Ⅱ)設(shè)過點任作一直線與點的軌跡交于、兩點，直線、與直線分別交于點、（為坐標原點），試判斷以線段為直徑的圓是否經(jīng)過點？請說明理由．22．已知函數(shù)，（Ⅰ）若直線與曲線相切于點，證明：；（Ⅱ）若不等式有且僅有兩個整數(shù)解，求的取值范圍.2022屆新高考開學(xué)數(shù)學(xué)摸底考試卷11答案解析單選題

本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的4個選項中，有且只有一項是符合題目要求。1.設(shè)i為虛數(shù)單位,,“復(fù)數(shù)m(m-1)+i是純虛數(shù)”是“m=1”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】B解：復(fù)數(shù)m(m-1)+i是純虛數(shù),則m=0或m=1,所以“復(fù)數(shù)m(m-1)+i是純虛數(shù)”不是“m=1”的充分條件；當(dāng)m=1時,復(fù)數(shù)為i,是純虛數(shù),“復(fù)數(shù)m(m-1)+i是純虛數(shù)”是“m=1”的必要條件,所以“復(fù)數(shù)m(m-1)+i是純虛數(shù)”是“m=1”的必要不充分條件．故選B．2.若向量與滿足，且，則向量在方向上的投影為（）A．B．C．D．【答案】【解析】利用向量垂直的充要條件有：,向量在方向上的投影為.3.已知集合A＝{x∈R|x2－x－2＜0}，B＝{x∈Z|x＝2t＋1，t∈A}，則A∩B等于()A.{－1，0，1}B.{－1，0}C.{0，1}D.{0}【答案】C【解析】A＝{x∈R|x2－x－2＜0}＝{x|－1＜x＜2}，則x＝2t＋1∈(－1，5)，所以B＝{0，1，2，3，4}，所以A∩B＝{0，1}，故選C.4.在銳角中，角的對邊分別為，若，，則的取值范圍（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由題意可得：,,,,故答案選B5.若，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由二項展開式的通項公式，可知都小于0，則，在原二項展開式中令，可得.故選A6．若實數(shù)，滿足且的最小值為3，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】畫出可行域，當(dāng)目標函數(shù)過點時取得最小值，由得，則，解得．故選C7.已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－x))，0≤x＜k，,x3－3x2＋3，k≤x≤a，))若存在實數(shù)k，使得函數(shù)f(x)的值域為[－1，1]，則實數(shù)a的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，1＋\r(3))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2，1＋\r(3)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，3)) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2，3))【答案】B【解析】由于y＝log2(2－x)在[0，k)上是單調(diào)遞減函數(shù)，當(dāng)x＝0時，y＝1，當(dāng)x＝eq\f(3,2)時，y＝－1，所以0＜k≤eq\f(3,2).令g(x)＝x3－3x2＋3，則g′(x)＝3x2－6x＝0，解得x＝0或x＝2，當(dāng)x＝2時，函數(shù)取得極小值－1，當(dāng)x3－3x2＋3＝1時，解得x1＝1，x2＝1＋eq\r(3)，x3＝1－eq\r(3)＜0(舍)，所以2≤a≤1＋eq\r(3)，故選B.8．對于數(shù)列,定義為的“優(yōu)值”，現(xiàn)已知某數(shù)列的“優(yōu)值”，記數(shù)列的前項和為，則（）A．2022B．1011C．2020D．1010【答案】B【解析】由，得……=1\*GB3①,……=2\*GB3②,=1\*GB3①-=2\*GB3②得，即，，所以.故選B.二、多選題

本大題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的4個選項中，有多項符合題目要求，全對得5分，選對但不全得2.5分，有選錯的得0分。9.設(shè)是拋物線上的兩點，是坐標原點，若，則以下結(jié)論恒成立的結(jié)論是（）B.直線過定點（1，0）C.到直線的距離不大于1.D.(-1,2)在拋物線上【解析】設(shè)A(),B(),==0，，A正確；直線AB的斜==方程為y-=()(x-),過定點（0，1），B錯誤；原點到直線AB：()x-y+1=0的距離d=≤1，C正確.故選：ABC．10．氣象意義上從春季入夏季的標志為：“連續(xù)5天的日平均溫度均不低于”.現(xiàn)有甲、乙、丙三地連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)（記錄數(shù)據(jù)都是正整數(shù)）：①甲地：5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為24，眾數(shù)為22；②乙地：5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為27,總體均值為24；③丙地：5個數(shù)據(jù)中有一個數(shù)據(jù)是32，總體均值為26，總體方差為10.8.則肯定進入夏季的地區(qū)有（）A．①②③ B．② C．③ D．①【答案】CD【解析】由統(tǒng)計知識，①甲地：5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為24，眾數(shù)為22，可知①符合題意；而②乙地：5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為27，總體均值為24，有可能某一天的氣溫低于22℃，所以不符合題意；③丙地：5個數(shù)據(jù)中有一個數(shù)據(jù)是32，總體均值為26，總體方差為10.8.若有某一天的氣溫低于22℃，則總體方差就大于10.8，所以滿足題意，故選CD.11.信息熵是信息論中的一個重要概念.設(shè)隨機變量X所有可能的取值為，且，定義X的信息熵.（

）A.

若n=1，則H(X)=0B.

若n=2，則H(X)隨著的增大而增大C.

若，則H(X)隨著n的增大而增大D.

若n=2m，隨機變量Y所有可能的取值為，且，則H(X)≤H(Y)【答案】AC【解析】對于A選項，求得，由此判斷出A選項的正確性.對于B選項，利用特殊值進行排除.對于C選項，計算出，由此判斷出C選項的正確性.對于D選項，計算出，由此判斷出D選項的正確性.【詳解】對于A選項，若，則，所以，所以A選項正確.對于B選項，若，則，，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，兩者相等，所以B選項錯誤.對于C選項，若，則，則隨著的增大而增大，所以C選項正確.對于D選項，若，隨機變量的所有可能的取值為，且（）...由于，所以，所以，所以，所以，所以D選項錯誤.故選：AC【點睛】本小題主要考查對新定義“信息熵”的理解和運用，考查分析、思考和解決問題的能力，屬于難題.12.若存在m,使得f(x)≥m對任意x∈D恒成立，則函數(shù)f(x)在D上有下界，其中m為函數(shù)f(x)的一個下界;若存在M,使得f(x)≤M對任意x∈D恒成立，則函數(shù)f(x)在D上有上界，其中M為函數(shù)f(x)的一個上界.如果一個函數(shù)既有上界又有下界，那么稱該函數(shù)有界.下列四個結(jié)論中所有正確結(jié)論的編號為A.1不是函數(shù)的一個下界;B.函數(shù)f(x)=xlnx有下界，無上界;C.函數(shù)有上界,無下界;D.函數(shù)有界.【答案】ABD三、填空題:本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知函數(shù)圖像的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，則.【答案】1【解析】由，得.14.已知函數(shù),則的值為【答案】【解析】15.已知雙曲線，過x軸上點P的直線與雙曲線的右支交于M，N兩點（M在第一象限），直線MO交雙曲線左支于點Q（O為坐標原點），連接QN．若∠MPO=120°，∠MNQ=150°，則該雙曲線的漸近線方程為______．【答案】【解析】由題意可知：M，Q關(guān)于原點對稱，∴kMN?kQN=，

∵kMN=，kQN=，∴，漸近線方程為．16．某幾何體的三視圖如圖所示，主視圖是直角三角形，側(cè)視圖是等腰三角形，俯視圖是邊長為的等邊三角形，若該幾何體的外接球的體積為，則該幾何體的體積為__________．【答案】9【解析】根據(jù)幾何體的三視圖，得出該幾何體如圖所示，由該幾何體的外接球的體積為，即，，則球心到底面等邊的中心的距離，可得三棱錐的高，故三棱錐的體積．即答案為9．簡答題（綜合題）

本大題共70分。簡答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為a、b、c，設(shè)S為△ABC的面積，滿足.（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若，設(shè)，，求函數(shù)的解析式和最大值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（），．【解析】試題分析：（1）由已知及三角形面積公式和余弦定理得，化簡后可得；（2）由正弦定理得，，所以，最大值為.試題解析：（1）由已知及三角形面積公式和余弦定理得，又所以（2）由（1）知，△ABC的內(nèi)角和，又得由正弦定理，知，所以當(dāng)，即時，取得最大值考點：解三角形．18．已知等比數(shù)列的前項和為，滿足，.（Ⅰ）求的通項公式；（Ⅱ）記，數(shù)列的前項和為，求使成立的正整數(shù)的最小值.【解析】（Ⅰ）設(shè)的公比為，由得，,所以，所以.…2分又因為，所以，所以.所以.………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以，…6分，則所以，………..10分由，得，即則，所以的最小值是6…………..12分19．如圖，在四棱錐中，底面為邊長為2的菱形，，，面面，點為棱的中點．（1）在棱上是否存在一點，使得面，并說明理由；（2）當(dāng)二面角的余弦值為時，求直線與平面所成的角．【解析】（1）在棱上存在點，使得面，點為棱的中點．理由如下：取的中點，連結(jié)、，由題意，且，且，故且．所以，四邊形為平行四邊形．…………3分所以，，又平面，平面，所以，平面．…………5分（2）由題意知為正三角形，所以，亦即，又，所以，且面面，面面，所以面，故以為坐標原點建立如圖空間坐標系，…………7分設(shè)，則由題意知，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則由得，令，則，，所以取，顯然可取平面的法向量，由題意：，所以．…………10分由于面，所以在平面內(nèi)的射影為，所以為直線與平面所成的角，易知在中，從而，所以直線與平面所成的角為．…………12分20．為了引導(dǎo)居民合理用水，某市決定全面實施階梯水價．階梯水價原則上以住宅（一套住宅為一戶）的月用水量為基準定價，具體劃分標準如表：階梯級別第一階梯水量第二階梯水量第三階梯水量月用水量范圍（單位：立方米）從本市隨機抽取了10戶家庭，統(tǒng)計了同一月份的月用水量，得到如圖莖葉圖：（1）現(xiàn)要在這10戶家庭中任意選取3家，求取到第二階梯水量的戶數(shù)的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）用抽到的10戶家庭作為樣本估計全市的居民用水情況，從全市依次隨機抽取10戶，若抽到戶月用水量為一階的可能性最大，求的值．【解析】（1）由莖葉圖可知抽取的10戶中用水量為一階的有3戶，二階的有5戶，三階的有2戶．第二階段水量的戶數(shù)的可能取值為0,1,2,3，，，，，…………4分所以的分布列為0123的數(shù)學(xué)期望．…………6分（2）設(shè)為從全市抽取的10戶中用水量為一階的家庭戶數(shù)，依題意得，，………9分由,解得，又，所以當(dāng)時概率最大.即從全市依次隨機抽取10戶，抽到3戶月用水量為一階的可能性最大.………12分21．已知點是橢圓的右焦點，點、分別是軸、軸上的動點，且滿足．若點滿足．(Ⅰ)求點的軌跡的方程；(Ⅱ)設(shè)過點任作一直線與點的軌跡交于、兩點，直線、與直線分別交于點、（為坐標原點），試判斷以線段為直徑的圓是否經(jīng)過點？請說明理由．