3.2立體幾何中的向量方法（2）——平行與垂直成功來(lái)自堅(jiān)持，執(zhí)著創(chuàng)造奇跡天才是1%的靈感加上99%的汗水

AP1、點(diǎn)的位置向量ABP2、直線的方向向量這樣,點(diǎn)A和向量不僅可以確定直線l的位置,還可以具體表示出l上的任意一點(diǎn).αobaP3、平面的法向量這樣,點(diǎn)O與向量不僅可以確定平面的位置,還可以具體表示出內(nèi)的任意一點(diǎn)法向量：如果表示向量a的有向線段所在直線垂直于平面α，則稱這個(gè)向量垂直于平面α，記作a⊥α，如果a⊥α，那么向量a叫做平面α的法向量αla類似于直線的方向向量，還可以用平面的法向量表示空間中平面的位置問(wèn)題：法向量如何確定平面的位置？A給定一點(diǎn)A和一個(gè)向量a,那么，過(guò)點(diǎn)A,以向量a為法向量的平面是完全確定的。練習(xí)：已知平面經(jīng)過(guò)三點(diǎn)A(1,2,3)、B(2,0,-1)、C(3,-2,0),試求平面的一個(gè)法向量.解:∵A(1,2,3)、B(2,0,-1)、C(3,-2,0)∴設(shè)平面的法向量是依題意,有,即解得z=0且x=2y,令y=1,則x=2∴平面的一個(gè)法向量是因?yàn)榉较蛳蛄颗c法向量可以確定直線和平面的位置，所以我們可以利用直線的方向向量與平面的法向量表示空間直線、平面間的平行、垂直、夾角等位置關(guān)系。4、法向量的運(yùn)用一、用向量運(yùn)算處理平行與垂直關(guān)系

例1

四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中點(diǎn)，求證：PA//平面EDB.ABCDPEXYZGABCDPEXYZ如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)DC=1(1)證明：設(shè)平面EDB的法向量為

例2：如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F.(2)求證：PB⊥平面EFD如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系D-XYZ,設(shè)DC=1，則P(0,0,1),B(1,1,0),E(0,1/2,1/2)ABCDPEFZXYDEFPXZYBC又E(0,1/2,1/2)F（1/3,1/3,2/3）,E是AA1中點(diǎn)，例3正方體平面C1BD.

證明：E求證：平面EBD設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2,建立如圖所示坐標(biāo)系平面C1BD的一個(gè)法向量是E(0,0,1)D(0,2,0)B(2,0,0)設(shè)平面EBD的一個(gè)法向量是平面C1BD.

平面EBD

立體幾何中的向量方法——距離問(wèn)題向量法求點(diǎn)到平面的距離其中為斜向量，為法向量。二、直線到平面的距離其中為斜向量，為法向量。l三、平面到平面的距離四、異面直線的距離注意：

是與都垂直的向量點(diǎn)到平面的距離：直線到平面的距離：平面到平面的距離：異面直線的距離：四種距離的統(tǒng)一向量形式：

例1：如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為1，E為D1C1的中點(diǎn)，求B1到面A1BE的距離.

例2

如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為1，E為D1C1的中點(diǎn)，求D1C到面A1BE的距離.解1:∵D1C∥面A1BE∴D1到面A1BE的距離即為D1C到面A1BE的距離.仿上例求得D1C到

面A1BE的距離為

例3

如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為1，求面A1DB與面D1CB1的距離.解1:∵面D1CB1∥面A1BD∴D1到面A1BD的距離即為面D1CB1到面A1BD的距離abCDABCD為a,b的公垂線則A，B分別在直線a,b上已知a,b是異面直線，n為a的法向量補(bǔ)充知識(shí)2：兩異面直線間的距離

即間的距離可轉(zhuǎn)化為向量在n上的射影長(zhǎng)，

例4

如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為1，E為D1C1的中點(diǎn)，求異面直線D1B與A1E的距離.1、E為平面α外一點(diǎn)