3.3.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)溫故知新(一)圓錐曲線的統(tǒng)一定義

平面內(nèi)，到定點(diǎn)F的距離與到定直線l的距離比為常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡,當(dāng)0<e<1時(shí)，是橢圓；(定點(diǎn)F不在定直線l上)當(dāng)e=1時(shí)，是拋物線.(二)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)開口向右y2=2px(p>0)(2)開口向左y2=-2px(p>0)(3)開口向上x2=2py(p>0)(4)開口向下x2=-2py(p>0)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn),定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線.一、拋物線的定義即︳︳︳︳··FMlN溫故知新標(biāo)準(zhǔn)方程

圖形焦點(diǎn)準(zhǔn)線y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線：根據(jù)上表中拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的不同形式與圖形、焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程對(duì)應(yīng)關(guān)系如何判斷拋物線的焦點(diǎn)位置，開口方向？第一，一次項(xiàng)的變量如為x,則x軸為拋物線的對(duì)稱軸，焦點(diǎn)就在對(duì)稱軸x軸上.一次項(xiàng)的變量如為y,則y軸為拋物線的對(duì)稱軸，焦點(diǎn)就在對(duì)稱軸Y軸上. 第二，一次變量的系數(shù)正負(fù)決定了開口方向練習(xí)1

（1）已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=6x，求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.（2）已知拋物線的方程是y=－6x2，求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.（3）已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F（0，-2），求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.練習(xí)2求過點(diǎn)A（-3，2）的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.．AOyx解：當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在y軸的正半軸上時(shí)，把A（-3，2）代入x2=2py，得p=當(dāng)焦點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上時(shí)，把A（-3，2）代入y2=-2px，得p=故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=y或y2=x.練習(xí)3M是拋物線y2=2px（p＞0）上一點(diǎn)，若點(diǎn)M

的橫坐標(biāo)為x0，則點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離是

————————————x0+—2pOyx．FM．這就是拋物線的焦半徑公式!一、拋物線的范圍y2=2pxy取全體實(shí)數(shù)xyx

0拋物線的幾何性質(zhì)二、拋物線的對(duì)稱性

y2=2px關(guān)于x軸對(duì)稱沒有對(duì)稱中心，因此，拋物線又叫做無心圓錐曲線.而橢圓和雙曲線又叫做有心圓錐曲線.xy定義：拋物線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)，叫做拋物線的頂點(diǎn),拋物線只有一個(gè)頂點(diǎn).

xy三、拋物線的頂點(diǎn)

y2=2px所有的拋物線的離心率都是1.xy四、拋物線的離心率

y2=2px基本點(diǎn)：頂點(diǎn)、焦點(diǎn)基本線：準(zhǔn)線、對(duì)稱軸基本量：p（決定拋物線開口大?。?xy五、拋物線的基本元素

y2=2pxx軸正半軸，向右x軸負(fù)半軸，向左y軸正半軸，向上y軸負(fù)半軸，向下六、拋物線開口方向的判斷

求滿足下列條件的拋物線的方程（1）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)是（0，－4）（2）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線是x＝4（3）焦點(diǎn)是F（0，5），準(zhǔn)線是y＝－5（4）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，過點(diǎn)A（－2，4）特點(diǎn)：1.拋物線只位于半個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi),雖然它可以無限延伸,但它沒有漸近線;2.拋物線只有一條對(duì)稱軸,沒有對(duì)稱中心;3.拋物線只有一個(gè)頂點(diǎn)、一個(gè)焦點(diǎn)、一條準(zhǔn)線;4.拋物線的離心率是確定的,為1;思考：拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中的p對(duì)拋物線開口的影響.P(x,y)P越大開口越大方程圖形準(zhǔn)線焦點(diǎn)對(duì)稱軸x軸x軸y軸y軸xFOylxFOylxFOylxFOyl練習(xí)：填空（頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上）

方程焦點(diǎn)準(zhǔn)線開口方向開口向右開口向左開口向上開口向下（二）歸納：拋物線的幾何性質(zhì)圖形方程焦點(diǎn)準(zhǔn)線范圍頂點(diǎn)對(duì)稱軸elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2px（p>0）y2=-2px（p>0）x2=2py（p>0）x2=-2py（p>0）x≥0y∈Rx≤0y∈Ry≥0x∈Ry≤

0x∈R(0,0)x軸y軸1xyOFABy2=2px2p過焦點(diǎn)而垂直于對(duì)稱軸的弦AB，稱為拋物線的通徑，利用拋物線的頂點(diǎn)、通徑的兩個(gè)端點(diǎn)可較準(zhǔn)確畫出反映拋物線基本特征的草圖.|AB|=2p通徑5、2p越大，拋物線張口越大.P越大,開口越開闊連接拋物線任意一點(diǎn)與焦點(diǎn)的線段叫做拋物線的焦半徑。|PF|=x0+p/2焦半徑公式：焦半徑6、xyOFPx0p/2焦半徑及焦半徑公式拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離P(x0，y0)在y2=2px上，P(x0，y0)在y2=-2px上,P(x0，y0)在x2=2py上,P(x0，y0)在x2=-2py上,歸納:

(1)、拋物線只位于半個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)，雖然它也可以無限延伸，但沒有漸近線；

(2)、拋物線只有一條對(duì)稱軸,沒有對(duì)稱中心;(3)、拋物線只有一個(gè)頂點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)，一條準(zhǔn)線；

(4)、拋物線的離心率e是確定的為１,⑸、拋物線的通徑為2P,2p越大，拋物線的張口越大.例1過拋物線y2=2px的焦點(diǎn)F任作一條直線m，交這拋物線于A,B兩點(diǎn)，求證：以AB為直徑的圓和這拋物線的準(zhǔn)線相切．分析：運(yùn)用拋物線的定義和平面幾何知識(shí)來證比較簡捷．證明：如圖．

所以EH是以AB為直徑的圓E的半徑，且EH⊥l，因而圓E和準(zhǔn)線l相切．設(shè)AB的中點(diǎn)為E，過A,E,B分別向準(zhǔn)線l引垂線AD，EH，BC，垂足為D,H,C，則｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜故｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝｜AD｜＋｜BC｜=2｜EH｜（5）y1y2＝－P2，x1x2＝p2/4。1、已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸，焦點(diǎn)在直線3x-4y-12=0上，那么拋物線通徑長是

.2、一個(gè)正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，都在拋物線上，其中一個(gè)頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則這個(gè)三角形的面積為

。課堂練習(xí)：

因?yàn)閽佄锞€關(guān)于x軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過點(diǎn)M（２，），解:所以設(shè)方程為：又因?yàn)辄c(diǎn)M在拋物線上：所以：因此所求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為：

例2：已知拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過點(diǎn)M（２，），求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.坐標(biāo)軸當(dāng)焦點(diǎn)在x(y)軸上,開口方向不定時(shí),設(shè)為y2=2mx(m≠0)(x2=2my(m≠0)),可避免討論|AB|＝8

例3斜率為1的直線l經(jīng)過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的長.OxyBAF法1：解出交點(diǎn)坐標(biāo)；計(jì)算弦長(運(yùn)算量一般較大);法2：設(shè)而不求,運(yùn)用韋達(dá)定理,計(jì)算弦長(運(yùn)算量一般);法3：焦半徑公式。xyOFABB’A’例3.斜率為1的直線L經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F,且與拋物線相交于A,B兩點(diǎn),求線段AB的長.y2=4x解法一:由已知得拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0),所以直線AB的方程為y=x-1xyOFABB’A’例4.斜率為1的直線L經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F,且與拋物線相交于A,B兩點(diǎn),求線段AB的長.y2=4x解法二:由題意可知,焦點(diǎn)弦公式：例5已知拋物線的方程為y2=4x,直線l過定點(diǎn)P(-2,1)，斜率為k,k為何值時(shí)，直線l與拋物線y2=4x:只有一個(gè)公共點(diǎn)；有兩個(gè)公共點(diǎn)；沒有公共點(diǎn)？XYO·P例5已知拋物線的方程為y2=4x,直線l過定點(diǎn)P(-2,1)，斜率為k,k為何值時(shí)，直線l與拋物線y2=4x:只有一個(gè)公共點(diǎn)；有兩個(gè)公共點(diǎn)；沒有公共點(diǎn)？練習(xí):1.已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸，焦點(diǎn)在直線3x-4y-12=0上，那么拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程_________.2.過拋物線的焦點(diǎn),作傾斜角為的直線,則被拋物線截得的弦長為_________3.垂直于x軸的直線交拋物線y2=4x于A、B,且|AB|=4,求直線AB的方程.

y2=8xX=3令y=0,得到焦點(diǎn)坐標(biāo)例6：探照燈反射鏡的軸截面是拋物線的一部分，光源位于拋物線的焦點(diǎn)處。已知燈口圓的直徑為60cm，燈深40cm，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)位置。xyO(40,30)解:所在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系,使反射鏡的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,x軸垂直于燈口直徑.在探照燈的軸截面設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:y2=2px由條件可得A(40,30),代入方程得:302=2p·40解之:p=故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:y2=x,焦點(diǎn)為(,0)例7.正三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn),另外兩個(gè)點(diǎn)在拋物線y2=2px(p>0)上,求這個(gè)正三角形的邊長.例6.等腰直角三角形AOB內(nèi)接于拋物線