2023屆江西省上饒市、景德鎮(zhèn)市六校高三上學期10月聯(lián)考數(shù)

學(理)試題

一、單選題

1.已知集合y=3',x<l},N={x|y=ln(x—1)},則MQN=()

A.[0,3)B.[1,3)C.(1,3)D.(0,1]

【答案】C

【分析】分別求出集合M和N,取交集即可，一定要注意集合中元素是什么.

【詳解】集合M={yly=3，,x<i}中的元素是y,表示函數(shù)值y的范圍，

易知y<3,.'.M=(^3O,3),

%={乂產(chǎn)皿*-1)}中的元素是工，表示自變量x的范圍，

易知x—1>0,則有x>l,，N=(1,”)，

所以MAN=(1,3).

故選：C

2.著名數(shù)學家華羅庚曾說“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂

分家萬事休”，在數(shù)學的學習和研究中，常用函數(shù)的圖像研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)

【答案】D

【解析】根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)，排除8,利用導數(shù)得到單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性排除A、C,

由此可得答案.

【詳解】令/。)=曾畀，則”>二(T)”「l'/(x),所以函數(shù)/(X)為偶函數(shù)，

|x||-x|

其圖象關于y軸對稱，故排除B；

當x>0時，f(x)=xlnx,f\x)=l+Iwc,由/'(x)<0,得0<x<L令/'(x)>0,得x>,，

ee

所以函數(shù)/(X)在(0,3上遞減，在d,2)上遞增，故排除A、C;

ee

故選：D

【點睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)的解析式識別函數(shù)的圖像，考查了函數(shù)的奇偶性，考查了

利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎題.

f—3x+3,xv0

3.已知函數(shù)f(x)=一，八，則不等式/⑷1)的解集為()

e+l,x>0

【答案】C

【分析】由函數(shù)解析式判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為自變量的不

等式，解得即可；

f—3x+3,x<0

【詳解】解：因為f(X)=,、八，

[e+l,x>0

當x<0時/(x)=-3x+3函數(shù)單調(diào)遞減，且/(x)>-3x0+3=3,

當0時/(x)=e-*+1函數(shù)單調(diào)遞減，且/(0)=e0+1=2<3,

所以函數(shù)/(x)在(-8,+w)上是單調(diào)遞減，

所以不等式等價于。>3〃一1,解得“<；.

即不等式的解集為[孫g);

故選：C

4.下列說法正確的是()

A.函數(shù)“X)為實數(shù)集R上的奇函效，當北0時，/(x)=3*—a(“為常數(shù))，則/(-1)=2

B.已知基函數(shù)/(力=(加一機-1)?一37在X?0,M)單調(diào)遞減，則實數(shù)m=2

C.命題“Vx>l,2、-1>0”的否定是“VxVl,2*-1>0”

D.AABC中.角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,則sin?A<sin?8是a?的充分不

必要條件

【答案】B

【分析】根據(jù)題意可得/(。)=0,求得。，從而可判斷A；

—\=1

根據(jù)某函數(shù)的定義及性質(zhì)可得小—從而可求出加，即可判斷B；

根據(jù)全稱命題的否定相關知識，即可判斷C；

直接利用正弦定理邊角互化結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可判斷D.

【詳解】對于A,因為函數(shù)f(x)為實數(shù)集R上的奇函數(shù)，當xNO時，/(x)=3*-a(a

為常'數(shù))，所以/(O)=]_a=O,所以a=l,則,f(_l)=二/'(1)=_(3_1)=_2,故A錯誤；

對于B,因為幕函數(shù)f(x)=(/n2-w-l)-在xe(0,-+w)上單調(diào)遞減，

m—m—\=\

所以心2時3<。'解得故B正確;

對于C,命題的否定是“土>1,2x-l<0，\故C錯誤;

對于D,在△ABC中，由正弦定理可知sin?AvsiYB=a1vb?,所以sin?A〈sin?B是

的充要條件，故D錯誤.

故選：B.

5.已知罌函數(shù)/(*)=*"的圖象過點(9,3),則函數(shù)y=在區(qū)間[13]上的值域為

J(X)+1

()

A.[-1,0]B.[-1,0]C.[0,2]D.

22

【答案】B

【分析】根據(jù)惠函數(shù)經(jīng)過的點可求解析式，代入丫=宗不中通過分離常數(shù)法即可求

解.

【詳解】解法一：因為塞函數(shù)〃x)=P'的圖象過點(9,3),所以9"=3,可得a=g,所

以尸懦=黑=7然=七-因為卬應所以

246+144,故）,=3+]-le-；,0.因此，函數(shù)y=吳埠在區(qū)間[1,9]上的值域

為4'°?

故選：B.

解法二：因為黑函數(shù)八X)=X"的圖象過點(9,3),所以9“=3,可得“=；,

所以/'⑴二五.因為xe[l,9],所以/(x)e[l,3].因為

/W+1

I—V1—V11—f(x)

所以/(x)=T，所以14T43,解得一：VyVO,即函數(shù)>=77/*在區(qū)間[1,9]

y+1y+12/U)+l

上的值域為-；,0.

故選：B.

6.函數(shù)〃x)在(YO,”O(jiān))單調(diào)遞減，且為奇函數(shù).若f(l)=-l,則滿足-lMf(x-2)Ml的

x的取值范圍是()

A.[-2,2]B.[-1,2]C.[0,4]D.[1,3]

【答案】D

【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，并根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解即可.

【詳解】由函數(shù)/(X)為奇函數(shù)，得/(一1)=一/(1)=1,

不等式-1<f(x-2)<1即為/(I)</(x-2)</(-I),

又/(X)在(70,+00)單調(diào)遞減，.?.得1WX-2W-1,即14X?3.

故選：D.

7.函數(shù)y=21n(x+l)+cosx的圖象在x=0處的切線對應的傾斜角為a,貝ijcos2a=()

3333

A.—B.土—C.—D.--.

101055

【答案】D

【分析】先求導，通過導數(shù)的幾何意義得到函數(shù)在x=0處的切線斜率，再利用二倍角

公式和平方關系式得到cos2a的值.

【詳解】因為y=21n(x+l)+cosx,

2

所以"77rsinx,

當x=0時，y'=2,此時tana=2,

sin*-a+cosatana+15

故選：D.

8.已知函數(shù)〃x)=d—3x,則“a>l”是“的(

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】對函數(shù)〃X)=X3—3X進行求導可得到：r(x)=3(V-l)=3(x—l)(x+l)從而可

得出函數(shù)〃x)=d—3x在上遞增，在遞減，在XG(1,4W)遞增，根

據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知：當0>1時，有成立，即充分性成立；當“。)>/(1)時,

。的范圍不一定是。>1,可能即必要性不成立，所以“〃>「'是'"(a)>〃l)”

的充分不必要條件.

【詳解】由題意可得：r(x)=3(x2-l)=3(x-l)(x+l),

令尸(x)>0解得x>l或x<-l,

即函數(shù)/(6=丁-3x在xe(-oo,-l)上遞增，在xe(-1,1)遞減，在xe(l,+oo)遞增，

根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性：

當”>1時，有/(a)>/⑴成立，即充分性成立；

當時，。的范圍不一定是。>1,可能—l<a<l,即必要性不成立，

所以“。>1”是的充分不必要條件

故選：A

【點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性及充分條件，必要條件的判斷，屬于一般題.

9.若存在使得不等式成立，則實數(shù)。的取值范圍是()

【答案】B

【分析】整理可得a>￡二在(-L1]上有解，令f(x)=￡二，則只需a>/(x)min即可,

X+lX+1

利用導數(shù)求得"X)的單調(diào)性和最值，即可得答案.

【詳解】?.飛2，-依<0在(—1』]上有解，

.?.4>匚在(—1』上有解，

X+1

令/(》)=匚，xe(-l,l],貝!]4>/。焉即可.

X+1

▽-2e2'(x+l)-e2*e2'(2x+l)

(X+1)(X+1)

令/'(x)=0,解得x=-；,

.?.當時，f'(x)<0,則/(x)為減函數(shù)，

當時，/'(x)>0,則f(x)為增函數(shù)，

.?.當X=-1時，f(x)取得最小值

.,??>!，則實數(shù)a的取值范圍是(|,+8).

故選：B.

10.已知函數(shù)〃x)=lnx-a(x—l)-b-l(aHO,b€R),若Vx>0J(x)40恒成立，則2

的最小值是()

A.1+eB.1-eC.l-e~lD.e-2

【答案】B

【分析】求導后分析函數(shù)的單調(diào)性，令〃司儂工。，然后設2=構(gòu)造函數(shù)然后求最

值.

【詳解】解：由題意得：

?：f\x)=^--a

當。<0時，r(x)=l-?>0,函數(shù)/(x)在R上單調(diào)遞增，無最大值，不符合題意；

當a>0時，令/'(耳=卜=0,解得x=：,當xe(0,力時，f\x)>0,函數(shù)〃x)在

(0,：)上單調(diào)遞增，當X€(：,+Oo)時，/(力<0,函數(shù)f(x)在\,+?))上單調(diào)遞減，

所以“X)1mx=U=_[na_ag_l)_/_l=_lna+a_b_240.

令2=則匕=心，所以-1114+(1_4)4一240,設e(a)=-lnq+(l—左)a—2,則

(p'{a)=_■-+(1-^:)

若l-k￡0,即右],貝ij"(a)<o,此時研a)單調(diào)遞減，符合題意；

若&<1,由/(a)=0,得。=占，此時。(4濡=皿1一%)-140,解得Z21—e,所以

k的最小值為1-e.

故選：B

11.已知函數(shù)f(x-l)(xwR)是偶函數(shù)，且函數(shù)/(x)的圖像關于點(1,0)對稱，當x己一1,1]

時,f(x)^ax-l,則/(2022)=()

A.-1B.-2C.0D.2

【答案】A

【分析】先由題給條件求得函數(shù)/(x)的最小正周期為8,再利用周期、對稱軸的性質(zhì)即

可求得/(2022)的值.

【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)/(x-D(xeR)是偶函數(shù)，則函數(shù)/(x)的對稱軸為x=-l,

則有/(x)=/(-2-x),又由函數(shù)/(x)的圖像關于點(1,0)成中心對稱，

貝1」/(為=一/(2—幻，則有/(-2-x)=-/(2-x),則/(x+4)=-/(x),

則有/(x+8)=-/(x+4T(x),則函數(shù)/(x)是周期為8的周期函數(shù)，

則/(2022)=/(-2+253x8)=/(-2)=/(0)=-1

故選：A.

12.函數(shù)〃x)=cosx-gor2,定義域為,用，f(x)有唯一極值點，則實數(shù)〃的取值

范圍為()

【答案】A

【分析】由已知，根據(jù)題意，分別從aNO,1和TVaVO三種情況借助導數(shù)研究

函數(shù)/(x)的單調(diào)性，并判斷是否滿足題意，然后對應列式求解即可.

【詳解】由己知，/(x)=cosx-；ay2,所以r(x)=-sinx-ar,

當aNO時，因為xe，所以—sinx<0,所以/(力40,因此〃x)在區(qū)間O.j±

單調(diào)遞減，不符合題意；

/z(x)=-sinx-ar,所以〃'(x)=-cosx-a,

當1時，軟x"0,所以〃(x)在在區(qū)間0胃上單調(diào)遞增，而〃(0)=—sinO-O=O,

所以Mx)N/?(0)=0,所以〃x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，不符合題意；

當TVaVO時，要使得〃x)有唯一極值點，即滿足尸(3=-1-]”>0,解得

所以實數(shù)a的取值范圍為1-1,-：).

故選：A.

二、填空題

x+l,x<0,

13.若函數(shù)f(x)={兀則/(x)與x軸圍成的封閉圖形的面積為___________.

cosx,()?xK,,

3

【答案】y1.5

【分析】畫出函數(shù)/(》)的圖象，明確/(x)與x軸圍成封閉圖形，利用定積分表示后就

是即可.

x軸圍成封閉圖形如,

故答案為：j3

14.若x=l是函數(shù)〃x)=e'-ax的極值點，則方程f(x)=a在⑵y)的不同實根個數(shù)為

【答案】1

【分析】求導函數(shù)，根據(jù)((1)=0列式求解“，利用導數(shù)判斷函數(shù)/(X)的單調(diào)性，再結(jié)

合函數(shù)圖象即可判斷根的個數(shù).

【詳解】由f(x)=e'-or,得f(x)=e'-a,

x=l是函數(shù)f(x)=e*-ax的極值點,

/'(I)=e'—a=0=>a=e,

;xe(2,+oo)時，:(x)=e*-e>0,

/(X)在(2,+8)上單調(diào)遞增,

.-./(x)>/(2)=e2-2e<e,

結(jié)合圖象可知，〃幻=6在(2,+00)上有1個實數(shù)根.

故答案為：1

15.將邊長為1m的正三角形薄鐵皮沿一條平行于某邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯

形'記s=分=,則S的最小值是

【答案—

4(37尸

【分析】設CD=x(O<x<l),可求得S=,利用導數(shù)法可求得S的最小值.

43（l-x2）

【詳解】如圖，設CO=x(0<x<l),

則梯形ABED的周長為x+2(l-x)+l=3-x,

梯形A8ED的面積為:乎一乎"2=-^(1-^2),

(3-x)2-4(3-x)28(x-3)(3x-l)

所以,于二f商二百,則-G(一丁，

2

],r4(3-x)

當0cxe彳時，S'<0，此時函數(shù)S=-y^---、單調(diào)遞減，

3V3l-x-

,4(3-才

當:<x<l時，S'>0,此時函數(shù)5=](1_；,單調(diào)遞增,

故當x=2時，S取得最小值邑

33

故答案為：乎

x+2^,x<0

16.已知函數(shù)f（x）=e*八，若存在玉40,%>0,使得〃與）=/（左），則%/（為）

—,x>0

.x

的取值范圍是.

【答案】［-（；，。］.

【分析】由，（芭）=F（X,）,得至也="-2e,再研究函數(shù)/（X）的單調(diào)性，得至IJev"w2e,

%々

將xj（馬）表示為々的函數(shù)，然后利用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值.

【詳解】解：???/（%）="々），.T+2e=e,得不上_2e,

X,x2

QX］W0,—<2e,

x2

.□-+rz\e”4（、xex—exex（x—1）

當x>0n時，/（x）=—,f（x）=——--=——--,

XXX

由r（x）>0,得x>l,由r（x）v。，得Ovxvl,

丁?fM在（0,1）上單調(diào)遞減，在（1,田）上單調(diào)遞增，

.,.）（%）在％=1處取得最小值％

x2

/eX2eX2.泊

x{f（x2）=（---2e）=（—Y-2e,

x2x2Ax2

*

令1=一,則/.XJU2）=t2-let=（/-e）2-e2,

九2

當，=e時，%/（毛）取得最小值-/,當，=2。時，內(nèi)/（&）取得最大值0,

—（七）的取值范圍是0］,

故答案為：I-,。］.

三、解答題

17.己知命題P：實數(shù)x滿足工2一5奴—6〃2<0（其中a>0）；命題必實數(shù)工滿足

-2<x<4.

⑴若。=1,〃八4為真命題，求實數(shù)1的取值范圍；

⑵若〃是q的必要不充分條件，求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】（D—1VXV4

（2）a>2

【分析】（1）由a=l得命題p：-l<x<6,然后由〃八4為真命題求解；

（2）由Y一5以一6〃2<0得-〃<x<6。，再根據(jù)，是4的必要不充分條件求解.

【詳解】⑴解：當。=1時，x2-Sax-Ga1<0,

解得：-I<x<6,

由PA<7為真命題，

J-1<x<6

,,［-2<x<4'

解得一1<x<4；

(2)由f—5ox-6/<0(其中a>0)可得一a<x<6a,

a>0

因為。是<?的必要不充分條件，則，-22-。，

4<6a

解得：a>2.

18.已知函數(shù)/(數(shù)=xlnx-2x,求：

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)求函數(shù)/(x)在［l,a］的最小值.

【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為(0，e),單調(diào)遞增區(qū)間為(e,+8)；

(2)答案見解析.

【分析】(1)對“X)求導，根據(jù)導函數(shù)的符號求單調(diào)區(qū)間即可；

(2)討論a<e、?>e,結(jié)合(1)所得函數(shù)的單調(diào)性求其最小值.

【詳解】(1)由題設，//(x)=lnx-l,x>0,

令r(x)>0,解得X>e；

令尸(x)<0,解得0<x<e.

/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,e),單調(diào)遞增區(qū)間為(e,+<?).

⑵由(1)知，當l<a4e時f(x)在口,。］上單調(diào)遞減,

=f(a)=a\na-2a,

當a>e時，，(x)在U,e)上單調(diào)遞減，在［e,a］上單調(diào)遞增，

=/(e)=elne-2e=-e.

19.如圖所示，將一個矩形花壇A8CQ擴建成一個更大的矩形花壇AMPN,要求何在

射線AB上，N在射線AO上，且對角線過C點?已知他=4米，A￡>=3米，設AN

的長為可了>3)米-

(1)要使矩形AMPN的面積大于54平方米，則4N的長應在什么范圍內(nèi)？

(2)求當AM,4V的長度分別是多少時，矩形花壇AMPN的面積最小，并求出此最小值;

9

【答案】⑴(3q)U(9,y)

(2)AN=6,AM=8最小面積為48平方米

【分析】(1)先表達出AMPN的面積表達式，5.附>54時解出不等式，即可知AN的

取值范圍.

(2)令，=x-3,將式子化成對勾函數(shù)后求最值.

【詳解】⑴解：設4V的長為x米(x>3)

ABC。是矩形

DN_\DC\

"AAT-|AM|

4工2

???^W=K.|AM|=—^(x>3)

4r2

由SW/W>54,得^—>54

x-3

vx>3

9

.*.(2x-9)(x-9)>0,解得3<工<乙或x>9

2

9

即AN的取值范圍為(3q)U(9,+8)

4r2

(2)令y=t=x-3(r>0),則x=f+3

x-3

，y=^<=4Q+2+6)“8

tt

9

當且僅當f=—(f>0),即r=3時，等號成立，此時AV=6,AW=8最小面積為48平

t

方米

20.已知函數(shù)/(x)=。-2、-2-是定義在R上的奇函數(shù).

⑴求實數(shù)”的值;

⑵求不等式/(/*)-2)>3的解集;

(3)若關于x的不等式f(x)>白+2恒成立，求實數(shù)k的取值范圍.

【答案】(1)。=2

⑵(1*)

⑶(fT

【分析】(I)根據(jù)奇函數(shù)滿足/(-x)+/(x)=O,即可求解；(2)根據(jù)Ax)的單調(diào)性，

即可根據(jù)函數(shù)值的大小確定自變量的大小，即可轉(zhuǎn)化求解，(3)將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最

值問題，即可利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值進行求解.

【詳解】(1)因為/(x)=a-2，-2T是定義在R上的奇函數(shù)，所以/(-x)+/(x)=0,

即a.2-*-2"，+a2-2i=0，即(〃-2)(2*+/)=0,

因為2，+?>0,所以“-2=0,所以。=2(經(jīng)檢驗，。=2符合題意)

⑵由(1)得f(x')=2'+I-2'-x,

因為y=2"，與y=-21在R上均為增函數(shù)，所以/(*)=2什*-21在口上為增函數(shù)，

又/(1)=3,所以/(/(x)-2)>/⑴，

所以/(x)-2>l,gp/(x)>3=/(l),

所以x>l,所以不等式/"(幻一2]>3的解集是(1,”).

⑶因為關于x的不等式f(x)>擊+2恒成立，即2"、一2=>擊+2恒成立，

所以k<22'—2*-1恒成立，所以無<(22，一2*—1).，

因為22*_2*_[=(2*_；)—；，

所以當2，=:，即x=—l時，22、一2,—1取得最小值

24

所以％即實數(shù)”的取值范圍是100,-￡|

21.已知函數(shù)f(x)/x-arlnx(a>0)的圖象在點(1J⑴)處的切線與直線y=(l—a)x平

行.

(1)若函數(shù)y=f(x)在[e,2e]上是減函數(shù),求實數(shù)。的最小值;

(2)設g(x)=轡，若存在々W[e,e2],使成立，求實數(shù)〃的取值范圍.

\nx4

【答案】(1)y;(2)；一^7-8).

【解析】根據(jù)((1)=1-a，解得6=1,

(1)轉(zhuǎn)化為介在［e,2e］上恒成立，利用函數(shù)/7。)=丁二在［e,2e］上遞減，求

lnx+1lnx+1

出Mx)的最大值即可得解；

(2)等價于存在［e,e2］,使------成立,設9(x)=;---------,則滿足〃之0⑴*

\nx4xInx4x

即可，利用導數(shù)求出e(x)的最小值即可得解.

【詳解】9.f(x)=h—a—a\nx,.,./(I)=/?—?,67=1—tz,.\h=l.則?r)=x—adn

x.

(1)???y=/U)在［e，2e］上為減函數(shù)，??.1(五)=1一a—〃ln爛0在［e，2e］上恒成立,

即a>-~1—在［e,2e］上恒成立.

lnx+1

;函數(shù)〃(%)=?；--一；在［e,2e］上遞減，，力(x)a=力3)=?，所以〃之工.

Inx+l22

***〃min=7*

/-、，、x-axlnxX

⑵g(")=F^=-------ax

\nx

存在xe［e,e」，使g(x)?!成立，即二^--0x4：成立

4Inx4

因為x>0,所以等價于存在xe［e,e2］,使；成立

Inx4x

設夕(x)=則滿足aNe。)*即可

Inx4x

因為03:07，?［J/Ix

(Inx)24x2(2xlnx)2

e<x<e2f

/.l<lnx<2,l<ln2x<4：-4/S-4x4-4c<-4

/.ln2x-4x<0

.?〃(x)vO,°(x)在［e,/］單調(diào)遞減

“dis)：；-}

24e

、11

Cl>--------7-

24e2

綜上，實數(shù)a的取值范圍為［；-5,”).

【點睛】本題考查了導數(shù)的幾何意義，考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用

導數(shù)研究不等式能成立問題，屬于中檔題.

22.已知函數(shù)/(x)=(x-2)e*-ar+alnx(awR).

(1)當”=-1時，求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵當“<e時，討論/(x)的零點個數(shù).

【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間是(0