第十二章達(dá)朗伯原理第一頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五達(dá)朗貝爾原理提供了研究動(dòng)力學(xué)問題的一個(gè)新的普遍的方法，即用動(dòng)力學(xué)中研究平衡問題的方法來研究動(dòng)力學(xué)問題，故又稱為動(dòng)靜法。動(dòng)靜法在形式上將動(dòng)力學(xué)問題化為靜力平衡問題，以靜力平衡方程的形式列出動(dòng)力學(xué)方程。第二頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五由于物體具有慣性，力圖保持其慣性運(yùn)動(dòng)，所以它同時(shí)給予施力體以反作用力，這種反作用力稱為慣性力。例如，一質(zhì)量為m的小球M，用細(xì)繩系住，繩的另一端用手握住，使小球在水平面內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其速度為v，半徑為r，如圖14-1所示。第一節(jié)慣性力的基本概念受非零力系作用的物體將改變運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。第三頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五(b)(a)與上述例子實(shí)質(zhì)相同的力學(xué)現(xiàn)象不勝枚舉?？蓪①|(zhì)點(diǎn)慣性力的概念歸結(jié)如下：一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)受到力F的作用，具有加速度a。則由動(dòng)力學(xué)第二定律有第四頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五質(zhì)點(diǎn)對(duì)施力體的反作用力并記作，則有,稱為質(zhì)點(diǎn)的慣性力，可見，質(zhì)點(diǎn)慣性力的大小等于質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量與其加速度的乘積，方向與加速度方向相反，而作用在迫使質(zhì)點(diǎn)改變運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的施力物體上。將（14－1）式可向固定直角坐標(biāo)系投影有

（12－2）

（12－1）第五頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五若在自然軸系上投影則有（12－3）上式表明，質(zhì)點(diǎn)的慣性力也可分解為沿軌跡的切線和法線的兩個(gè)分力：切向慣性力和法向慣性力，他們的方向分別與切向加速度和法向加速度相反。第六頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五一、質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理

設(shè)質(zhì)量m為的質(zhì)點(diǎn)，在主動(dòng)力、約束反力的作用下運(yùn)動(dòng)，其加速度為a，如圖（a）所示。(a)(b)第二節(jié)質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理第七頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五對(duì)質(zhì)點(diǎn)M應(yīng)有上式可改寫為由于，則上式記作：

（12－4）這說明，在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的任一瞬時(shí)，質(zhì)點(diǎn)所受的主動(dòng)力、約束反力與質(zhì)點(diǎn)的慣性力的矢量和為零。也可理解為：在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的任一瞬時(shí)，質(zhì)點(diǎn)所受的主動(dòng)力、約束反力與虛加的質(zhì)點(diǎn)的慣性力構(gòu)成一零力系，這即為質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理。應(yīng)該明確：式（12－3）只具有靜力平衡方程的形式，而沒有平衡的實(shí)質(zhì)。第八頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五【解】以擺錘為研究對(duì)象，設(shè)它的質(zhì)量為。擺錘與車廂一樣，有向右的加速度。則擺錘上作用的力有：(a)(b)(c)、和，其中。例12-1如圖所示，一沿水平直線向右作勻加速運(yùn)動(dòng)的車廂內(nèi)懸掛一單擺，在正常狀態(tài)下擺的懸線向左偏斜，與鉛垂線成角，相對(duì)于車廂靜止。試求車廂的加速度a。第九頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五由靜力平衡方程則即二、質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理對(duì)質(zhì)點(diǎn)系中每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理，然后加以綜合，就得到質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理。第十頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，其中第個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為。它在主動(dòng)力和約束反力作用下運(yùn)動(dòng)，其加速度為。則點(diǎn)虛加的慣性力，相應(yīng)地有（12－5）對(duì)整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系而言，這樣的零力系共有n個(gè)，它們綜合在一起仍構(gòu)成一零力系。因此，在質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)的任一瞬時(shí)，作用于質(zhì)點(diǎn)系的主動(dòng)力、約束反力與虛加的質(zhì)點(diǎn)系的慣性力構(gòu)成一零力系。這即為質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理。在應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)靜法時(shí)，應(yīng)當(dāng)分析并畫出質(zhì)點(diǎn)系所受的外力，再虛加上質(zhì)點(diǎn)系的慣性力，兩者共同構(gòu)成一個(gè)虛擬的零力系?？砂挫o力學(xué)方法列出該力系的平衡方程。第十一頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五若研究整個(gè)剛體的運(yùn)動(dòng)，可以用靜力學(xué)中所描述的方法將剛體的慣性力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化，用簡(jiǎn)化結(jié)果等效地代替原來的慣性力系。設(shè)將剛體的慣性力系向任選一點(diǎn)O的簡(jiǎn)化，則慣性力系的主矢為又有，故有（12－6）第三節(jié)剛體慣性力系的簡(jiǎn)化第十二頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五即慣性力系主矢的大小等于剛體的質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積，方向與質(zhì)心加速度相反。不論剛體作任何運(yùn)動(dòng)，這個(gè)結(jié)論均成立。至于剛體慣性力系的主矩，則與簡(jiǎn)化中心的位置和剛體的運(yùn)動(dòng)形式有關(guān)。現(xiàn)討論剛體作平行移動(dòng)、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和平面運(yùn)動(dòng)三種情況下剛體慣性力系的簡(jiǎn)化結(jié)果。一、剛體作平行移動(dòng)在同一瞬時(shí)，平動(dòng)剛體上各質(zhì)點(diǎn)具有相同的加速度。任一質(zhì)點(diǎn)的慣性力為第十三頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五可見各質(zhì)點(diǎn)的慣性力的大小與各自的質(zhì)量成正比，方向都與共同的加速度相反。即此時(shí)平動(dòng)剛體的慣性力系是一個(gè)同向平行力系，各力大小與各點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量成正比，如圖所示。＝由平行力系中心的概念，可知此力系合成為通過質(zhì)心C的合力。第十四頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五即（12－7）此式表明：剛體平動(dòng)時(shí)，其慣性力系向質(zhì)心C簡(jiǎn)化為一力，這個(gè)力的大小等于剛體質(zhì)量與加速度的乘積，方向與加速度相反。二、剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)這里限于研究剛體具有垂直于轉(zhuǎn)軸系的質(zhì)量對(duì)稱平面N的情況，如圖所示。第十五頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五＝(a)(b)通過上圖可將整個(gè)剛體的慣性力系從空間力系轉(zhuǎn)化為對(duì)稱平面內(nèi)的平面力系。再將該平面力系向?qū)ΨQ平面的轉(zhuǎn)動(dòng)中心O（即為轉(zhuǎn)軸與對(duì)稱平面的交點(diǎn)O）簡(jiǎn)化，可得到一個(gè)力和一個(gè)矩為的力偶。第十六頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五力矢可由（12－5）式求得，即（12－8）而應(yīng)等于慣性力系對(duì)O點(diǎn)的主矩。設(shè)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω，角加速度為α。記的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑為，則，

相應(yīng)地方向如圖（b）。于是第十七頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五即（12－9）上式的負(fù)號(hào)表示慣性力主矩的轉(zhuǎn)向與角加速度相反。式（12－7）和式（12－8）表明：剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其慣性力系向轉(zhuǎn)動(dòng)中心簡(jiǎn)化為一個(gè)力和一個(gè)力偶。其中這個(gè)力的大小等于剛體的質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積，方向與質(zhì)心加速度方向相反，作用線通過轉(zhuǎn)化中心。這個(gè)力偶的矩等于剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積，作用在垂直于轉(zhuǎn)軸的對(duì)稱平面內(nèi)，轉(zhuǎn)向與角加速度的轉(zhuǎn)向相反。得出上述的結(jié)論有兩個(gè)限制條件：第十八頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五（1）剛體具有垂直于轉(zhuǎn)軸系的質(zhì)量對(duì)稱平面；（2）以轉(zhuǎn)動(dòng)中心（轉(zhuǎn)軸系與質(zhì)量對(duì)稱平面的交點(diǎn)）為簡(jiǎn)化中心。特殊情況：（1）轉(zhuǎn)軸通過剛體的質(zhì)心O，如圖（a）所示。此時(shí)（2）剛體作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖（b）所示。此時(shí)第十九頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五(a)(b)（α=0）三、剛體作平面運(yùn)動(dòng)（1）平面運(yùn)動(dòng)剛體慣性力系的簡(jiǎn)化設(shè)剛體的角速度為，角加速度為，質(zhì)心加速度為

。選質(zhì)心C為基點(diǎn)，則剛體對(duì)稱平面內(nèi)任意代表點(diǎn)的加速度可以分解為牽連加速度和相對(duì)加速度，相應(yīng)地慣性力也有此關(guān)系，如圖（a）所示。第二十頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五這樣，剛體的慣性力系可設(shè)想為分成兩組：一組是牽連慣性力，它的分布情況與剛體以加速度作平動(dòng)時(shí)相同；另一組是相對(duì)慣性力，它的分布情況與剛體繞質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)相同。則由剛體作平行移動(dòng)和剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)（轉(zhuǎn)軸通過剛體質(zhì)心）的結(jié)果可知：前一組慣性力合成為作用在質(zhì)心的一個(gè)力，后一組慣性力合成為一個(gè)力偶。(a)(b)第二十一頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五即

（12－10）

（12－11）式（12－9）和（12－10）即為平面運(yùn)動(dòng)剛體的慣性力系的簡(jiǎn)化結(jié)果。例14-2重量為G，半徑為R的均質(zhì)圓盤可繞垂直于盤面的水平軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，O軸正好通過圓盤的邊緣，如圖所示。圓盤從半徑CO處于鉛垂位置1無初速度釋放轉(zhuǎn)下。求當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)到OC成為水平位置2時(shí)軸的動(dòng)反力。第二十二頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五【解】（1）應(yīng)用動(dòng)能定理求在位置2時(shí)的瞬時(shí)角速度ω，有

代入（1）式得又（1）（2）（2）設(shè)圓盤得角加速度為，則有得（3）1CO2第二十三頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五代入（3）式有（4）將（2）式代入有（5）第二十四頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五【解】例14-3滾子半徑為R，質(zhì)量為m，質(zhì)心在其對(duì)稱中心C點(diǎn)，如圖(a)所示。在滾子得鼓輪上纏繞細(xì)繩，已知水平力沿著細(xì)繩作用，使?jié)L子在粗糙水平面上作無滑動(dòng)得滾動(dòng)。鼓輪得半徑為r，滾子對(duì)質(zhì)心軸得回轉(zhuǎn)半徑為ρ。試求滾子質(zhì)心的加速度ac和滾子所受的摩擦力F1。以滾子為研究對(duì)象。作用于滾子上的外力有重力、水平拉力、地面法向反力和滑動(dòng)摩擦力，如圖所示。設(shè)滾子的質(zhì)心加速度為，則由純滾動(dòng)條件有，相應(yīng)地有第二十五頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五對(duì)圖（b），由平衡方程得將代入上式有則代入，有討論：靜摩擦因數(shù)滿足什么條件，滾子才能發(fā)生純滾動(dòng)？第二十六頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五【典型題精解】例14-5半徑為r的均質(zhì)圓柱形滾子重，被繩子拉住沿水平面作純滾動(dòng)，此繩跨過滑輪B（不計(jì)重量）后懸掛重為的物體A。如重物A下降的加速度大小為2a，試求各物體的慣性力并將他們分別畫于圖中各相應(yīng)物體上?！窘狻恳蚶K長(zhǎng)不可伸長(zhǎng)，故因滾子作純滾動(dòng)，故第二十七頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五將滾子的慣性力系向質(zhì)心C簡(jiǎn)化，主矢為主矩為重物A的慣性力為如圖（b）所示。例12-6均質(zhì)細(xì)桿支承如圖（a）所示。已知桿長(zhǎng)為l，重為G，斜面傾角。若桿與水平面交角瞬時(shí)，A端的加速度為，桿的角速度為零，角加速度為。試求此瞬時(shí)桿上慣性力系的簡(jiǎn)化結(jié)果。(b)第二十八頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五【解】(a)(b)桿AB作平面運(yùn)動(dòng)，可將慣性力系向質(zhì)心C簡(jiǎn)化，故需求得質(zhì)心C的加速度，以桿端點(diǎn)A為基點(diǎn)，則上式中方向如圖（b）所示，故第二十九頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五因此得此桿慣性力系得主矢為式中慣性力系向質(zhì)心簡(jiǎn)化得主矩為方向如圖（a）所示。第三十頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五例12-7均質(zhì)棒AB得質(zhì)量為m=4kg，其兩端懸掛在兩條平行繩上，棒處在水平位置，如圖（a）所示。其中一繩BD突然斷了，求此瞬時(shí)AC繩得張力F。(a)(b)【解】當(dāng)BD繩斷了以后，棒開始作平面運(yùn)動(dòng)，則慣性力系的簡(jiǎn)化中心在質(zhì)心C上。因瞬時(shí)系統(tǒng)的速度特征量均為零，則點(diǎn)加速度為。以A為基點(diǎn)，有第三十一頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五其中,l為棒長(zhǎng)。虛加慣性力系，如圖（b）所示，有則因，得

又第三十二頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五得【思考題】

1、是非題（1）不論剛體作何種運(yùn)動(dòng)，其慣性力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化得主矢都等于剛體得質(zhì)量與其質(zhì)心加速度的乘積，而取相反方向。（）對(duì)

（2）質(zhì)點(diǎn)有運(yùn)動(dòng)就有慣性力。（）錯(cuò)（3）質(zhì)點(diǎn)的慣性力不是它本身所受的作用力，其施力體事質(zhì)點(diǎn)本身。（）對(duì)第三十三頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五1．選擇題

（1）設(shè)質(zhì)點(diǎn)在空中，只受到重力作用，試問在下列兩種情況下，質(zhì)點(diǎn)慣性力的大小和方向如何？（a）質(zhì)點(diǎn)作自由落體運(yùn)動(dòng)；（b）質(zhì)點(diǎn)被鉛垂上拋

（）A．（a）與（b）的慣性力大小相等，方向都鉛直向下

B．（a）與（b）的慣性力大小相等，方向都鉛直向上C．（a）與（b）的慣性力大小相等，（a）向上、（b）向下D．（a）與（b）的慣性力大小相等，（a）向下、（b）向上B第三十四頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五（2）如圖所示，半徑為R，質(zhì)量為m的均質(zhì)細(xì)圓環(huán)沿水平直線軌道作勻速純滾動(dòng)，試問應(yīng)如何虛加慣性力系？()A.虛加慣性力且過速度瞬心